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数学建模的常见类型

作者:高考题库网
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2020-09-22 02:12
tags:高中数学建模

高中数学共几本-高中数学真题解析

2020年9月22日发(作者:鲁斐然)


-
新课标下初中数学建模的常见类型
汕头市澄海溪南中学 陈耀盛 全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求,标准强调“从
学生以有的经验出发,让学 生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析
与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在 思维能力。情感态度与
价值观等方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力,不仅能使学生更好地掌< br>握数学基础知识,学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识,
提高分析问题,解 决实际问题的能力。2007年全国各地的中考试题考查学生建
模思想和意识的题目有许多,现分类举例 说明。
一、建立“方程(组)”模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“ 方程(组)”模型是研究现实
世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正 确、
清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增
长率、储蓄利 息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成“方
程(组)”模型,通过列方程(组)加以 解决
例1(2007年深圳市中考试题)A、B两地相距18公里,甲工程队要在A、
B两地 间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管
道。已知甲工程队每周比乙工程 队少铺设1公里,甲工程对提前3周开工,结
果两队同时完成任务,求甲、乙两工程队每周各铺设多少公 里管道?
解:设甲工程队每周铺设管道x公里,则乙工程队每周铺设管道(x+1)公
里。
依题意得:
1818
??3

xx?1
解得x
1
=2, x
2
=-3


-
经检验x
1
=2,x
2
=-3都是原方程的根。
但x
2
=-3不符合题意,舍去。
∴x+1=3
答:甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里。
二、建立“不等式(组)”模型
现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如 统筹安排、
市场营销、生产决策、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分
析,将 实际问题转化成相应的不等式问题,利用不等式的有关性质加以解决。
例2 (2007年茂名市中考 试题)某体育用品商场采购员要到厂家批发购进
篮球和排球共100只,付款总额不得超过11815元 。已知两种球厂家的批发价
和商场的零售价如下表,试解答下列问题:
品名 厂家批发价(元只) 商场零价(元只)
篮球
排球
130
100
160
120
(1)该采购员最多可购进篮球多少只?
(2)若该商场 能把这100只球全部以零售价售出,为使商场获得的利润不低于
2580元,则采购员至少要购篮球多 少只?该商场最多可盈利多少元?
解:(1)该采购员最多可购进篮球x只,则排球为(100-x)只,
依题意得:130x+100(100-x)≤11815
解得x≤60.5
∵x是正整数,∴x=60
答:购进篮球和排球共100只时,该采购员最多可购进篮球60只。
(2)该采购员至少要购进篮球x只,则排球为(100-x)只,


-
依题意得:30x+20(100-x)≥2580
解得x≥58
由表中可知篮球 的利润大于排球的利润,因此这100只球中,当篮球最多
时,商场可盈利最多,即篮球60只,此时排 球平均每天销售40只,
商场可盈利(160-130)×60+(120-100)×40=180 0+800=2600(元)
答:采购员至少要购进篮球58只,该商场最多可盈利2600元。
三、建立“函数”模型
函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关 系及运动规
律。现实生活中,诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优
化问题 ,常可建立函数模型求解。
例3 (2007年贵州贵阳市中考试题)某水果批发商销售每箱进价为4 0元
的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50
元的价格销 售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱。
(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元箱)之间的函数关系式。
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元箱)之间的函数
关系式。
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
解:(1)y=90-3(x-50) 化简,得y=-3x+240
(2)w=(x-40)(-3x+240)
=-3x
2
+360x-9600
(3)w=-3x
2
+360x-9600
= -3(x-60)
2
+1125
∵a=-3<0 ∴抛物线开口向下
当x=60时,w有最大值,又x<60,w随x的增大而增大,


-
∴当x=55时,w的最大值为1125元,
∴当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得最大利润1125元的最
大利润
四、建立“几何”模型
几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程 定位、道路
拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何模型,把实际问题转化为
几何问 题加以解决
例4 (2007年广西壮族自治区南宁市中考试题)如图点P表示广场上的一盏
照明灯。
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示);
(2)若小丽到灯柱M O的距离为1.5
米,小丽目测照明灯P的仰角为55°,
她的目高QB为1.6米,试求照明 灯P
55°
M P
到地面的距离;结果精确到0.1米;
参考数据:tan55

°≈1.428,sin55°
≈0.819,cos55°≈0.574。
解:(1)如图,线段AC是小敏的影子。
Q
A O 4.5米 B
小敏 灯柱 小丽
(2 )过点Q作QE⊥MO于E,过点P作PF⊥AB于F,交EQ于点D,则PF⊥
EQ。在Rt△PDQ 中,∠PQD=55°,
DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3(米)。
∵tan55°=
PD

DQ
E D
F
55°
M P
Q
∴PD=3 tan55°≈4.3(米)
C A O 4.5米 B
小敏 灯柱 小丽


-
∵DF=QB=1.6米
∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9(米)。
答:照明灯到地面的距离为5.9米。
五、建立“统计”模型
统计知识在自 然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越
多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类 投标选举等问题,常要将实际问题
转化为“统计”模型,利用有关统计知识加以解决。
例5 (2007年后湖北省荆州市中考试题)为了了解全市今年8万名初中毕业
生的体育升学考试成绩 状况(满分为30分,得分均是整数),从中随机抽取了
部分学生的体育生学考试成绩制成下面频
数分布直方图(尚不完整),已知第一小组
的频率为0.12。回答下列问题:
(1)在这个问题中,总体
180

120

60
15.5 18.5 21.5 24.5

27.5 30.5 分数(分)
频数(人)
是 ,样本容量为

(2)第四小组的频率为 ,请补全频数分布直方图。
(3)被抽取的样本的中位数落在第 小组内。
(4)若成绩在24分以上的为 “优秀”,请估计今年全市初中毕业生的体育升学
考试成绩为“优秀”的人数。
频数(人)
解:(1)8万名初中毕业生的体育升学考试
180
成绩,
60
=500。
0.12

120

60
15.5 18.5 21.5 24.5

27.5 30.5 分数(分)
(2)0.26,补图如图所示。
(3)三.


-
130?10
?
100%=28% (4)由样本知 优秀率为
500
∴估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28%×80000=2 2400
(人)。
六、建立“概率”模型
概率在社会生活及科学领域中用途非常广 泛,诸如游戏公平问题、彩票中奖
问题、预测球队胜负等问题,常可建立概率模型求解。
例6 (2007年辽宁省中考试题)四张质地相同的卡片如图所示。将卡片洗
匀后,背面朝上放置在桌面上。










(1) 求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率
(2) 小贝和小晶想用以上四张卡片 做游戏,游戏规则见信息图。你认为这
个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由。若认为不公平 ,
请你修改法则,使游戏变得公平。
游戏规则:
随机抽取一张卡片,记下数字放回,洗匀后再取一张,将抽取的第
一张、第二张卡片上的数字分别作
为十位数字和个位数 字,若组成的
二位数不超过32,则小贝胜,反之
则小晶胜.

2 2 3 6


-
解:(1)P(抽到2)=
?

(2) 根据题意可列表


2
2
3
6
画树状图如下:
第一次抛
2
4
1
2
2
22
22
32
62
2
22
22
32
62
3
23
23
33
63
6
26
26
36
66


2 2
2 2

第二次抛

2 2 3 6
2 2 3 6
2 2 3 6
2 2 3 6
从表(或树 状图)中可以看出所有可能的结果共有16种,符号条件的有10种,
∴P(两位数不超过32)= =,∴游戏不公平。
调整规则如下。
方法一:将游戏规则中的32换成26~31(包括2 6和31)之间的任何一个数都
能使游戏公平。
方法二:游戏规则改为抽到的两位数中,不超 过32的得3分,抽到的两位数超
过32的得5分。
方法三:游戏规则改为组成的两位数中,若个位数字是2,则小贝胜,反之小晶
胜。


-

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