数学建模试题

2012-2013第一学期
《数学建模》试题卷



班级：2010级 统计
姓名：石光顺
学号：2
成绩：














１

一、用Matlab求解以下优化问题（10分）
用Matlab 求解下列线性规划问题：

解：首先化Matlab标准型，即
minw??3x
1
?x
2
?x
3

?< br>x
1
?
?
1?21
?
??
?
11< br>?
?
4?1?2
?
?
x
2
?
??
?3
?
，
??
??
??
?
x3
?
?
?201
?
?
?
x
1
x
2
x
3
?
?1

T
然后编写Matlab程序如下：
f=[-3,1,1];
a=[1,-2,1;4,-1,-2];
b=[11,-3];
aeq=[-2,0,3];
beq=1;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x,y=-y
运行结果：
x =

0.0000
2.3333
0.3333


y =

-2.6667
即当
x
1
?0,x
2< br>?2.3333,x
3
?0.3333
时，
maxz??2.6667
。



２

二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分）
某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A, B两道工序加
工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1, A2表示；
有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可
在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上
加 工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2
与B2设备上加工。已知在各种 机床设备的单件工时，原材料费，产
品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如
表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。
表1



解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，
并作如下假设：
按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为
x
1

按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为
x
2
;
按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为
x
3
;
按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为
x
4
;
按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为
x
5
;

３

按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为
x
6
;
按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为
x
7
;
按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为
x
8
;
按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为
x
9
;
则目标函数为：
maxZ?(1.25?0.25)(x
1
?x
2
?x
3< br>?x
4
?x
5
?x
6
)
?(2.00?0. 35)(x
7
?x
8
)?(2.80?0.5)x
9
300
[5(x
1
?x
2
?x
3
)?10x
7< br>]
6000
321
?[7(x
4
?x
5
?x
6
)?9x
8
?12x
9
]
10000
2 50
?[6(x
1
?x
4
)?8(x
7
?x
8
)]
4000
783
?[4(x
2
?x
5)?11x
9
]
7000
?
约束条件为：

?
5(x
1
?x
2
?x
3
)?10x
7< br>?6000
?
7(x?x?x)?9x?12x?10000
89
?< br>456
?
?
6(x
1
?x
4
)?8(x7
?x
8
)?4000

s..t
?
4(x? x)?11x?7000
9
?
25
?
7(x
3
?x
6
)?4000
?
?
?
x
i
?0,(i? 1,2
?
9)
目标函数整理得：
MaxZ?0.37x
1
?0.31x
2
?0.40x
3
?0.34x
4
?0.34 x
5
?0.43x
6
?0.65x
7
?0.86x
8
?0.68x
9

（2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下：
f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65; -0.86;-0.68];
a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0
0,0,0,7,7,7,0,9,12
6,0,0,6,0,0,8,8,0
0,4,0,0,4,0,0,0,11
0,0,7,0,0,7,0,0,0];
b=[6000;10000;4000;7000;4000];
[x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1));
x,y=-y



４

输出结果为：
x =

0.0000
762.7155
437.2845
0.0000
95.9051
134.1441
0.0000
500.0000
324.1379

y =

1.1521e+003
即当
x
1
?0,
x
4
?0,
x
7
?0,
可以获得最大利润1152元。






















x
2
?762.7,
x
5
?95.9,
x
8
?500,
５
x
3
?437.3,
x
6
?134.1,
x
9
?324.1;

三、使用图论知识求解下面问题，并使用Matlab求解（20分）
北京（Pe）、东京( T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎
(Pa)各城市之间的航线距离如表2。
表2


由上述交通网络的数据确定最小生成树。
解：（1）根 据表2得北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦
(L)、巴黎(Pa)之间的 无向连线图如下：


（2）用prim算法求上图的最小生成树
用result
3?n
的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matl ab
程序如下：
a=zeros(6);
a(1,2)=56;a(1,3)=3 5;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;
a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;
a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68;
a(4,5)=51;a(4,6)=61;
a(5,6)=13;
a=a+a';
a(a==0)=inf;

６

result=[];p=1;tb=2:length(a);
while size(result,2)~=length(a)-1
temp=a(p,tb);temp=temp(:);
d=min(temp);
[jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
j=p(jb(1));k=tb(kb(1));
result=[result,[j;k ;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
end
result
输出结果为：
result =

1 1 3 1 5
4 3 2 5 6
21 35 21 51 13
由输出结果可知最小生成树的 边集为
{v
1
v
4
,v
1
v
3
, v
3
v
2
,v
1
v
5
,v
5v
6
}
,且有
v
1
v
4
?21,v< br>1
v
3
?35,v
3
v
2
?21,v
1
v
5
?51,v
5
v
6
?13
。 < br>最小生成树的值为sum=
v
1
v
4
?v
1
v
3
?v
3
v
2
?v
1
v
5?v
5
v
6
?141
。
该图的最小生成树如下图：






７

四、综合题（50分）
飞机降落曲线
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员
需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，
一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次
多项式. 飞行的高度为
h< br>，飞机着陆点
O
为原
点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始
图1

终保持为常数
u
. 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过
g
，此处
g
是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离
s
处开
10
始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点
s
所能允许的最
小值.










８

关于飞机降落曲线的研究
摘要
飞机的降落过程是飞机技术人员十分关注的一个问题 ，为了能够实现飞机安
全降落着地，本文采用待定系数法首先对飞机的降落曲线作出相应的假设，然后< br>对飞机在降落过程中作出合理的假设，利用微分学复合函数的求导法则，确定出
了符合实际的飞机 降落曲线以及飞机在一定的高空中开始降落时距离着地点的
最小水平距离
。
关键词：
微分学 复合函数求导 竖直加速度


























９

一、问题重述
经验表明，水平飞行的飞机，其降落曲线为一条五次多项式. 飞机的飞行高
度为
h< br>，着陆点为原点
O
，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常
g数
u
. 现考虑飞机能够安全着陆，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过，
10
其中
g
是重力加速度.若飞机从距降落点水平距离
s
处开始降落，试 解决以下两
个问题：
问题一：确定出飞机的降落曲线.
问题二：开始下降点
s
所能允许的最小值。
二、模型假设与符号约定
2.1、模型假设
1.飞机的降落曲线为
y?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?a
3
x
3
?a< br>4
x
4
?a
5
x
5
2.飞机自身的高度不计 ；
3.飞机降落过程中垂直加速度的最大绝对值不得超过
g
；
10
(0?x?s)
；
4.飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态； 5.为了能够保证飞机安全着陆，假设有飞机开始降落时竖直方向的加速度与速度
大小均为0，飞机 在原点着地时竖直方向上的加速度与速度大小也为0.

2.2、符号说明
1.
h
：飞机开始降落时的竖直高度；
2.
u
：飞机降落过程中的水平恒定速度；
3.
s
：飞机开始降落时与着陆点o的水平距离；
4.
y
:飞机降落过程中与地面的竖直高度;
5.
x
：飞机降落过程中与着陆点o的水平距离；
d
2
y
6.
2
：飞机降落过程中竖直方向的加速度；
dt
7.
dy
：飞机降落过程中竖直方向的速度。
dt

１０

三、问题分析
本模型主要是对飞机降落曲线进行模 拟，以便更好的预测飞机开始降落到着
陆点的水平距离，为飞机驾驶员提供一定的数据支撑，以此避免发 生不必要的危
险。飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态，能过让乘客感觉不到有任何的不适；
在模型中采用待定系数法，列出飞机的飞行曲线，并根据飞机的竖直加速度的最
g
大绝对值不能 超过，以此求解s的最小值。
10
四、模型建立与求解
4.1、问题一模型建立与求解
根据微分学中复合函数求导法则有：
dydydx
??y'(x)?u
； 飞机在竖直方向的速度大小
dtdxd t
dy
d()
2
dy
飞机在竖直方向的加速度大小
2
?
dt
?y''(x)?u
2
.
dtdt
由假定飞机降 落曲线为
y?a
0
?a
1
x?a
2
x
2< br>?a
3
x
3
?a
4
x
4
?a
5
x
5
得：
dy
?u(a
1
?2a
2
x?3a
3
x
2
?4a
4
x
3
? 5a
5
x
4
)

dt
d
2
y223
?u(2a?6ax?12ax?20ax)

2345
2
dt
根据模型假设以及飞机从高度为
h
的高空开始降落时，距降落点（原点O）水平距离为
s
，飞机在降落的过程中保持水平；有

?
y(0 )?0,
?
y(s)?h,
?
?
dy
?
|
x?s
?0,
?
dt
?
d
2
y
?
2
|
x?s
?0,

?
dt
?
dy
?
|
x?0
?0,
?
dt
?
d
2
y
?
2
|
x?0
?0.
?
dt

１１

?
a
0
?0
?
a ?0
?
1
?
a
0
?a
1
s?a
2
s
2
?a
3
s
3
?a
4
s
4
?a
5
s
5
?h
?
即
?
< br>234
u(a?2as?3as?4as?5as)?0
2345
?
1
?
2au
2
?0
?
2
223
?
?
u(2a
2
?6a
3
s?12a
4
s?20a5
s)?0

解得：
a
0
?0,a
1
?0,a
2
?0,a
3
?
10h15h6h
,a??,a? .

45
345
sss
因此，飞机的降落曲线为：
10h 15h6h
y?
3
x
3
?
4
x
4
?
5
x
5
sss
x?[0,s]
.
4.2、问题二的模型建立与求解
由问题一飞机的降落曲线为
y?
10h< br>3
15h
4
6h
5
x?
4
x?
5< br>x
s
3
ss
x?[0,s]
，则飞机在
d
2
y60h
2
180h
22
120h
23
竖直方向的 加速度
2
?
3
ux?
4
ux?
5
ux；
dtsss
d
2
y
记
a(x)?
2
.则
dt
60h
2
360h
2
360h
22
u ?ux?ux

s
3
s
4
s
5
60h36 0h360h
令
a'(x)?
3
u
2
?
4
u
2
x?
5
u
2
x
2
?0
得：
sss
a'(x)?
x
1
?
3?3
s,
6
x
2
?
3?3
s

6
当
x
1
?
10
3?3
2
hu
s
时，
a(x)
在
[0,s]
上取得最大值；
2
6
3s
103?3
2
hu
s
时，
a(x)
在
[0,s]< br>上取得最小值
?
.
2
6
3s
10
2
hu
.
2
3s
当
x
2
?
即飞机在降落过程中的最大加速度的绝对值
|a( x)|?
于是根据题目要求有

１２

10g
2
hu?

2
10
3s
所以
s?u
100h
?10u
3g
3h
.
3g
3h
.

3g
即开始下降点
s
所能允 许的最小值为
10u
五、模型检验
由上述设计可知在飞机的降落曲线为一个五次多项 式与实际相符，飞在机开
始降落距离着地点的水平距离
s?10u
超过
3h< br>的情况下，竖直方向上的加速度不
3g
g
（远小于重力加速度g），所以在降落 曲线为该五次多项式下飞机的降落
10
过程是安全的。
六、模型的评价
优 点：飞机在降落过程中，考虑比较全面，利用微分的知识解决了相关问题；
模型假设合理，基本上符合实 际，具有可推广型。
缺点：不能很直观地看出模型。

参考文献：
[1] 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋，数学分析—3版，北京：高等教育出版
社，2007.4.
[2] 赵静 但琦，数学建模与数学实验—3版，北京：高等教育出版社，2008.1.






１３

第四题分以下几部分完成
1. 论文题目；
2. 论文摘要（不得超过300字）
3. 关键词（不得少于三个）
4. 论文正文：问题提出（按你的理解对所给题目做更清晰
的表述）；问题分析（根具问题的性质，你打算建立什么样的数
学模型）；模型假设（有些假设 须作必要的解释）；模型设计（对
出现的数学符号必须有明确的定义）；模型的解法与结果；模型
结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等；模型的优缺
点及改进的方向；必要的计算机程序。
5. 参考文献
说明
1. 文件名：学号+姓名+班级.
2. 2012年12月12-13日上课时以班为单位将电子文档、
打印文档统一交给老师.
3. 纸质文档从左边装订.
4. 将你不做的题目全部删去.
5. 电子文档用Word2003排版.


１４