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高中数学建模之一

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 02:18
tags:高中数学建模

高中数学几何典型例题-高中数学体系归纳

2020年9月22日发(作者:匡培根)


高中数学建模之一
以 函 数 为 模 型 的 应 用 题

南平市高级中学
林奕生

函数主要研究两个变量间的变化规律,它在现实生活中有着非常广泛的应用。以函数为
模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一,也是高考考查的热点之一。而从应用题中抽
象出问题的 数学特征,找出函数关系,解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一。问
题世界中普遍存在着的最 优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函
数,确定变量的限制条件,运用函数知 识和方法去解决.

例1:
某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图 所示,塔高BC=80(米),塔所在
的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山 坡可视为直线
l
且点P在直线
l
上,
l

水平地面 的夹角为
?
,tan
?
=12试问此
人距水平地面多高时,观看塔 的视角∠BPC
最大(不计此人的身高)
(2005年天津卷,第20题)
解:如图所示,建立平面直角坐标系,

A(200,0)

B( 0,220)

C(0,300)

直线
l
的方程为y?(x?200)tan
?
,即
y?
设点
P
的坐标为
(x,y)
,则
P(x,
由经过两点的直线的斜率公式
x?200
k
PC
?
2
x
?300
?
x?200x?800
2x
2
x
?220
?
x?640
2 x
x?200
2
x?200
2

)

x?200


k
PB
?

由直线
PC
到直线
PB
的角的公式得
160
ta nBPC?
k
PB
?k
PC
1?k
PB
k
PC
?
64x
2x

?
2
x?800x?640< br>x?288x?160?640
1??
2x2x
1



?

x?200

16?0640
x??288
x
160?640
x
?288
达到最小.
160?640
64
要使
tanBPC
达到最大,只须
x?
由均值不等式
x ?
160?640
x
?288?2160?640?288
.当且仅当
x?
取等号.故当
x?320

tanBPC
最大.这时,点P
的纵坐标
y

y?
由此实际问题知,
0??BPC?
?
2
x
320?200
2
时上式
?60

,所以
tanBPC
最大时,
?BPC
最大.故当此人距水平
地面60米高时,观看铁塔的视角
?BPC
最大.
评注:
根据实际情况 ,把实际问题解析几何化,建立适当的坐标系,选用适当公式列出函数关
系,利用代数方法解决问题,考 查了学生解决实际问题的能力。
在函数的定义域、数列的范围,不等式的成立条件等细节上构造陷阱等 ,是出题者的意
图。解题时应特别注意,防止落入命题者设置的陷阱。

例.2随着机 构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员
2a

(140<< br>2a
<420,且
a
为偶数),每人每年可创利
b
万元.据评 估,在经营条件不变的前提下,
每裁员则留岗职员每人每年多创利
0.01b
万元,但 公司需付下岗职员每人每年
0.4b

...
1人,
....
元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
益,该公司应裁员多少人?
解:设裁员
x
人,可获得的经济效益为
y
万元,则

y?(2a?x)(b?0.01bx)?0.4bx
=
?
依题意 2a?x

(1)当0<
a?70

(2)当
a?70
>
a
2
3
?2a
, ∴0<
x
≤< br>a
2
b
100
[x?2(a?70)x]?2ab

2
3
4
,为获得最大的经济效
4
a
2
. 又140<
2a
<420, 70<
a
<210.
,即70<
a
≤140时,
x?a?70

y
取到最大值;
a
2
,即140x?

y
取到最大值;
a
2
综上所述,当70<
a
≤140时,应裁员
a?70
人;当140<
a
<210时,应裁员

人.
评注:
在多字母的数学问题当中,分类求解时需要搞清:为什么分类?对谁分类?如
何分类?
例3.(2004年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京卷理工19))
某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商
2


订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就 降低
0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(I)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(II)设一次订购量 为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数
P?f(x)
的表达式;
(III) 当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利
润又是多少元? (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
解:(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51 元时,一次订购量为
x
0
个,则

x
0
?100?
60?51
0.02
?550

因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
(II)当
0?x?100
时,
P?60


100?x?550
时,
P?60?0.02(x?100)?62?

x?550
时,
P?51

0?x?100
?
60
?
x
?
所以
P?f(x)?
?
62?100?x?550(x?N)

50
?
x?550
?
?
51
x
50

(III)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则

0?x?100
?
20x

?
2
L?(P?40) x?
?
x
22x?100?x?500(x?N)
?
50
?

x?500
时,
L?6000
;当
x?1000
时,
L?11000

因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;
如果订购1000个,利润是11000元.
评注:
本题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.
利用分段函数来模拟表达问题是常见的方法,利用不同时段对应函数的最值可完成问
题求解。
例4.
某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品产量分别为1万件、1.2万件、1.3万 件,为
了估测以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量
y 与月数
x
关系,模拟函数可以选用二次函数或函数
y?a?b?c
(其中a

b
、c为常数),
已知四月份该产品的产量为1.39万件,问用以 上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由。
根据所得结果预测5月份的产量。
x
3


分析 先根据前三个月的产量,用待定系数法确定模拟函数,再用四月份产量检验 哪
个模拟函数更接近实际产量,5月份的产量用较好的那个模拟函数去计算。
解 设二次 函数为
f
1
(x)?a
1
x
2
?b
1x?c
1

?
a
1
?b
1
?c< br>1
?1
?
f
1
(1)?1

f
1
(2)?1.2

f
1
(3)?1.3
,得
?
4a
1
? 2b
1
?c
1
?1.2

?
9a?3b?c?1.3
11
?
1
解之得
a
1
??0.05

b
1
?0.35

c
1
?0.7

所以
f
1
(x)??0.05x
2
?0.35x?0.7
. 由
f
2
(x)?a?b
x
?c

f
2
(1)?1

?
ab?c?1
?
2
f
2(2)?1.2

f
2
(3)?1.3
,得
?
ab?c?1.2

?
ab
3
?c?1.2
?
解得
a?0.8,b?0.5,c?1.4
因此
f
2
(x)?0.8?(0.5)
x
?1.4


f
1
(4)?1.37?0.07

f
2
(4)?1.37?0.02


0.02?0. 07,用f
2
(x)?0.8?(0.5)
x
?1.4
作为模拟函数 较好。
有:
f
2
(5)?0.8?(0.5)
5
?1.4 ?1.425
(万件)
所以预测 5月产量为
1.425
万件。
评注 本题为科学预测问题。解此类问题一般步骤为:
(1) 根据经验选定几个模拟函数;(2)根据过去数据求出模拟函数解析式;
(2) 比较各函数模拟情况,确定最优模拟函数;
(4) 根据函数解析式预测未来情况。
例5.如下图,直线MN为宽度忽略不计的小溪,小溪的一侧是沙地,另一侧是草地。
沙地上的点A到小溪MN的距离AC=20 Km,且CD=70Km。现有一位骑士要把情报从A送到B,已知骑士在草地上的行进速度是在沙地上的行进速度的两倍,为使用时最少,骑士
应选择怎 样的行进路线?
解 设骑士的行进路线是折线AOB(O在
直线MN上)。
以10Km为单位,令CO=
x
,则
OD?7?x

A< br>M
C
x
O
D
N
B
不妨设骑士在沙地上的速度 为1,则草地
上的速度为2,
4


由题意行进的总时间为:
y?

y
?
?
x
x?4
2
x?2
22
?
1
2
(7?x)?3(0?x?7)

22?
7?x
2(7?x)?9
2
,令
y
?
?0, x?1
,因为
x?1
是唯一极值点,
即当点O选在离C点10 Km处时,能使骑士从A到B处的用时最少。
评注
上述一例所建立的数学模型为无理函数 ,对于求此类函数的最值问题利用常规方法
费力费时,学生普遍感到困难。而导数法为我们解决此类函数 最值问题提供了一般性的方法。

练习:(略)
5

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