中学数学建模及其活动设计

中学数学建模及其活动设计


随着“数学应用意识”教育的 不断深入，近几年来开始开展的“中学生数
学建模”活动也日益得到广泛的注重，它作为“数学应用意识 ”教育的突破
口和出发点，促进数学素质教育的发展，已是历史的必然。

一、数学模型、数学模型法与数学建模

1．数学模型

数 学模型有广义和狭义两方面的理解。广义地理解，一切数学概念、数学
理论（公式、定理、法则等）、数 学事实（各种方程、函数式等），都可以
称之为数学模型。狭义地理解，只有反映特定现实原型的数学关 系结构才称
为数学模型。应用数学中的数学模型都是指狭义理解的数学模型。作为实际
问题的数 学模型，还必须具有抽象性、准确性、演绎性、预测力等特性。

数学模型按其所描述的不同的自然现象和过程，大致有以下四种：

（1）确 定性数学模型。它描述自然界中最普遍、最常见的必然现象，这类
现象或事物的产生和变化服从确定的因 果关系，其表现形式可以是各种各样
的方程、关系式、逻辑关系式、网络图等。使用的工具是经典数学的 方法。

（2）随机性数学模型。它描述自然界中大量存在的自然现象，这类现象对< br>于某一特定事件来说，它的变化发展结果有许多可能性，但对大量这类事件
或同一事件多次重复出 现的总体来说，这种变化是有规律的。使用的工具是
概率论与数理统计。

（3）变突性数学模型。它描述自然界中不连续的突变现象。使用的工具是
变突理论。

（4）模糊性数学模型。它描述一类内涵和外延都没有明确边界的模糊事物
或现象。所 用的工具是模糊数学。

当然，由于现实世界关系的复杂性和多样性，有些数学模型也 可能是兼有
几类特性的混合型数学模型。

数学模型具有以下性质：

（1）能通过数学模型对所研究的问题进行理论分析，逻辑推导并能得出明
确的解。

（2）数学模型的解能回到具体研究中解决实际问题，能为人们提供更多的
信息，推出未知的事实，作出 预言。

（3）数学模型作为科学抽象的结果，应在不同程度上，抓住 支配现象的最
基本的东西，能使人们对原系统的认识更加容易，能起到化繁为简、化难为
易的作 用。

2．数学模型法

数学模型法是将所考察的实际问题 化为数学问题，构造出相应的数学模型，
通过对数学模型研究结果的解释，使实际问题得以解决的一种数 学方法，运
用数学解决实际问题是通过数学模型这个桥梁来实现的。

运用数学模型法解决实际问题的大致步骤是：

（1）分析实际问题，忽略某些次要因素，作必要的简化和近似，构成现实
模型；

（2）将所得的现实模型用数学语言进行描述，抽象成一个数学问题，建立
数学模型；

（3）运用和研究数学理论，对所得的数学模型求解；

（4）将所 得的数学解答返回到实际问题进行解释、检验与评价，形成对实
际问题的判断或预见。

3．数学建模

数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示，是运用 数学模型法的重要环
节，是对研究对象进行科学的分析、简化、抽象的过程。数学建模的主要过
程可用如下框图来说明：

数学建模就是上述框 图（流程图）的多次循环执行不断修正、发展的过程。
值得注意的是：初步的数学模型建立以后，要根据 精确性和简单性统一原则，
选用最简单、最容易得到结果而又最能反映对象特征的模型。如果模型不能< br>得出确定的结果，有时需要补充一些实际条件，例如建立的数学模型是一个
微分方程，往往需要考 虑问题的初始条件与边界条件；如果模型太复杂，参
数太多，无法确定结果或所得的模型难以求解，就要 设法简化这个模型；如
果模型的求解结果与实际测得的数据或常识的预测差距过大，就要设法修改
参数或重新考虑被忽略的某些因素，经过反复修改，使建立的数学模型能比
较准确地（在允许的误差范 围内）反映实际情况。

数学建模与数学模型法是两个不同的概念，前者侧重于一种活动、一个 过程，
后者侧重于一种数学方法。

二、世界各国开展数学建模活动具体做法

早在70年代，西方不少发达国家的一些有 识之士已经开始研究在中学开展
数学建模活动的可能性，各种案例相继出现。进入80年代，数学建模已 成为
国际数学教育改革的主旋律，世界各国的课程标准也都要求在各年级水平或
多或少地含有数 学建模内容，具体做法主要有以下几种：

（1）两分法。数学课程方案由两部分构成 ，前一部分主要处理纯数学内容；
后一部分处理的与前一部分纯数学内容相关的应用和数学建模，它有时 是现
成模型结果的应用，有时是整个建模过程。着做法可表示为：纯数学内容的
学习→数学应用 和建模。

（2）多分法。整个教学由很多小单元组成，每个单元的做法类似于“两分
法”。

（3）混合法。在这种做法里，新的数学概念和理论的形成与数学建模活动
被设计在一起互相作用。这种 做法可表示为：问题情景的呈现→数学内容的
学习→问题情景的解决→新的问题情景的呈现→??。
（4）深程内并入法。在这种做法里，一个问题首先被呈现，随后与这问题
有关 的数学内容被探索和发展，直至问题被解决。

（5）深程间并入法。由于所呈现的问 题未必都能单独用数学知识来解决，
可能需用其他科知识，即“跨学科设计教学法”。

三、中学数学建模的活动设计

1．中学数学建模的活动设计目标

①树立面向新世纪数学观（数学是 工具、技术、文化）。体现数学的应用
价值，培养数学的应用意识。

②增强数学学习的兴趣，学会团结合作，提高分析和解决实际问题的能力。

③知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。

2．中学数学建模的活动设计原则

数学建模的活动设计应反映数学教育发展、改革的方向，具体说来它更应
强调以下原则：

（1）着重发展学生的数学能力，特别是数学应用的能力，这不仅包括计算、
推理、空 间想象，还应包括辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、
能进行口头和书面的分析和交流。< br>
（2）强调计算工具（计算器、计算机）使用，这不仅指在计算过程中使用
计 算工具，而且还指在猜想、争辩、探索、发现、模拟、证明、作图、检验
中使用计算工具。

（3）更强调学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过
程。教师不 应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列
角色：模特――他不仅演示正确的开始， 也表现失误的开端和“拨乱反正”
的思维技能；参谋――提一些求解的建议，提供可参考的信息但并不代 替学
生做出决断；询问者――故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说
明白，完成进度 ；仲裁者和鉴赏者――评判学生工作及成果的价值、意义优
劣，鼓励学生有创造性的想法和做法。

3．中学数学建模活动设计要求

在设计数学建模活动时，应该注意以下几点：

（1）数学建模对教师、学生都有一个 逐步的学习和适应的过程，在设计数
学建模活动时，特别应考虑学生实际能力和水平，起始点要低，要给 学生留
有充分思考的余地，形式应有利于更多的学生能参与。比如在低年级的数学
教学中，教师 可以在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景，在应用
的重点环节有比较多的训练，如实际语言和 代数语言（用字母表示某种量，
用代数式表示某些条件和结果）、列方程和列不等式解应用题等，逐步扩 展
到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地
解决一些比较确定 的应用问题，到独立地解决教师提供的数学应用问题和建
模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实 际问题，并能用数学建模的
方法解决（或部分解决）这些问题。

（2）注意结合正常教学的教材内容

数学建模应与现行数学教材有机结合，把建模和 数学课内知识的学习更好
地结合起来，要以建模的视角来对待和处理教学内容，而不要形成两套系统，< br>教师应特别注意把握数学建模与学生现实所学数学知识的“切入点”，引导
学生在学中用，在用中 学。

（3）注意数学建模的“活动性”

数学建模的目的 并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识。也不是
仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的 应用意识、数学能力和数学
素质。因此，不应该把数学建模活动变成老师讲题，学生模仿练习的套路，< br>而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。

4．中学数学建模的活动设计形式

（1）利用数学建模课程

数学建模课程是教师指导学生进行数学建模的主要形式。利用好数学建模
课程能加深学生对数学建模的理 解，充分战士数学建模的活动特点，更能进
行数学建模理论的系统训练，建立一个数学建模的完整体系， 提高学生的数
学建模能力。

（2）利用中学生数学知识应用竞赛

中学生数学应用知识竞赛，是一种不影响中学生正常教学秩序的具有相当
规模的教学改 革试验，是一项科技活动，学生喜欢挑战。利用好中学生数学
知识应用竞赛，可以开发、培养、发展学生 的想象力、联想力和创造力，从
而提高他们的数学建模能力。

（3）利用课堂教学

利用课堂教学，在部分环节上“切入”建模的内容，把一些较小 的数学建
模的问题。通过把问题解决的过程分解后，放到课堂教学的局部环节上去做。
比如在新 知识的引入、复习课时，可以用一点时间穿插介绍一个数学建模的
问题，学生通过讨论仅仅完成“问题数 学化”的过程（不如建立起响应的方
程或不等式），而把求解过程放到课堂外完成。要注意的是：“切入 ”的内
容应该和教学内容、教材的要求相近，以便于学生的理解和对教材知识的掌
握。

（4）利用课外的活动

课外的活动是进行数学建模活动的辅助形式 ，它不受时间（可以是课间休
息、课外活动、周末、节日、寒暑假）、地点（可以在教室内、宿舍内、校

外等各场合）、内容（可以是课本某一知识的应用，也可以是某一实际问题，
如 ：电梯问题、七桥问题、四色问题、体育彩票问题、打包问题等的限制。
课外活动的形式也多种多样，可 以是师生一起研讨数学建模问题，其中包括
一起观察实际现象，采纳实际数据，讨论求解方案，让学生宣 讲求解的结果
或小论文等等，也可以是一个学生或一组学生就实际问题进行数学建模活动，
还可 以收集有关数学建模方面的资料。组织的方式也较为灵活，如采用数学
建模讲座、数学建模欣赏、数学建 模竞赛、数学建模阅读、数学建模小论文
写作，办数学建模小报等，丰富学生数学建模活动。

5．中学数学建模的活动设计课题的选择

①研究、消化、改造传统的课题，给教学内容赋予生活、生产、科技实验
的背景。

②从国内外相关教参和期刊中引进、消化、吸收。

③从大学数学建模“成品”中简化、移植。

④亲自到一线调查研究，结合教学实践改编、提炼和挖掘。

⑤发动学生找课题。

立足与中学数学建模，在选择充足的“好问题”、“好课题”时 ，还应充
分考虑：贴近中学学生的数学现实，适合学生的知识和能力水平，求解中并
不需要补充 大量的知识；有较明显的生产、生活或物理等学科的实际背景和
应用价值；求解中能充分体现数学模型或 数学建模的特点和过程。并可以在
不同水平上运用多种模型来分析和求解；有较强的挑战性、探索性与延 展性，
以及趣味性；最好还能充分发挥计算机在求解中的作用。

6．中学数学建模的活动设计内容

下面列出的结合高中数学教材的应用和建模的一部分参考素材：

代数：

①结合与映射：计数问题、编码问题、体育比赛的场次设计。

②函数：

一次函数：校车设站问题、线性拟合。

二次函数：栓牛问题、磁带问题。

冥函数：同种商品按包装大小的定价问题。

指、对函数：存款、借贷问题、非线性拟合和预测。

单调性：怎样存款获息多。

极值：容器的设计。

③不等式：

解法：简单线性规划问题。

证明和应用：洗衣机的问题、打包问题、加工顺序问题、罐头问题。

④数列：等差、等比数列：人口的增长、资产的折旧。

递推关系：生物种群的变化、铺转问题、雪花曲线。

求和：存款、还贷、分期付款问题，堆垛问题。

⑤排列组合：扑克牌中的问题、权力问题、电话号码问题。

⑥概率统计：有奖促销、 字典字词首字母的分布、水库的鱼量、自选市场
问题、掷币问题、怎样估计自己的单词量、怎样评价考试 成绩、歌手大奖赛
的成绩处理――歌手及裁判的水平的评价、体育彩票、密码锁问题。

立体几何：

①直线、平面：桌腿着地问题、测高与测长。

②柱、锥、台的表面与展开：电视天线的步线、暖气管道的保温材料的缠
绕、下料问题 、圆管与方管弯头的展开图。

③体积与表面积：电视塔与卫星问题、电缆求长、monte karlo方法求体
积、发电站冷却塔的体积、西瓜售价问题。

平面三角：

①解三角形：测高和测距、停车场的最多停车设计、加工精度的间接测量。

②三角函数：残料的利用、抽水站的设立位置问题。

③反三角函数：足球射门问题。

解析几何：

①直线方程：线性规划初步：长料短截、运输问题、分工问题。

②圆的方程：追及问题。

③圆锥曲线：声差定位、彗星的轨道。

④级坐标与参数方程：凸轮设计、繁花规、投篮问题、铅球问题、曲杆联
动??

7．中学数学建模的活动设计评价

评价是对数学建 模活动设计成功与否有一个较为客观、便于操作的标准，
以促进数学建模活动的开展、目标的完成。
①科学性 科学性是对一个数学建模的活动设计是否科学合理（设计是否
符合 初衷，能否解决实际问题，最佳方案的选择，设计的难度、复杂程度，
设计方案种类的多少）的一个综合 评价。

②实践性 实践性是对一个数学建模的活动设计的实用性的综合评价，设< br>计的实践性如何，关键在于模型的应用深度、范围，能否体现数学与实践的
最本质的联系。

③价值性 价值性是对一个数学建模活动设计创造多少价值（学术的、经
济的、 技术的、方法的、观念的等等）的综合评价。

④创造性 创造性是对一个数学建模 的活动设计是否具有创造性的综合评
价，一个好的数学建模，其创造性是不言而喻的。

总之，在数学建模的活动设计中，教师应把学生当做活动的主题，不要只
把问题解决的 过程展示给学生看，活动的设计应有利于发挥学生的主动性、
创造性、协作性精神，让学生能把学习知识 、应用知识、探索发现、使用计
算机工具的模型求解更好地结合起来。使学生在建模的过程中学数学、用 数
学，得到“微科研”的体验，从而达到学好数学、提高素质、增长才干的目
的，同时也要避免 赶时髦，不顾学生水平，盲目搞数学建模。

培
训
主
题

概率与统计的教学研讨及案例分析



要

一、“统计与概率”内容的教育价值

点

1、有助于培养学生以随机的观点来理解世界，形成正确
摘

的世界观和方法论。

录

2、有助于发展学生解决问题的能力。

3、有助于培养学生对数学的积极情感体验。

二、如何理解“统计观念”

三、《课标》实验教材为什么强调发展学生的统计观念?

四、如何培养学生的统计观念？

1、是学生经历统计活动的全过程。

2、使学生在现实情境中体会统计对决策的影响。

五、“统计与概率”的内容构成

六、儿童学习统计与概率知识的主要特征

1、统计思想的形成。

2、对事件发生的可能性的认识。

七、“统计与概率”教学的具体目标和实施建议

八、“统计与概率”教学的特色理念

九、概率实验的价值

十、实践课例及评析

十一、“统计与概率”内容教学评价建议

十二、几个概率问题探讨



我



的

通过今天的学习，我意识到在当今社会里，数据是一种
感

重要的信息，统计概率所提供的“运用数据进行推断”的思
悟

考方法已成为现代社会一种普遍使用的思维方式。

在我们教学的过程中要注意培养学生：

1、统计意识，就是在现实生 活中，应用统计的方法解决
实际问题的一种行为，统计意识是统计活动的起点，是统
计教学的最 为核心的内容。

2、统计技能，就是完成统计活动所必须的各种能力和技
能。它是统 计活动得以顺利完成的保障。

3、在最终的统计过程中，学生应该具备对他人所提供的
数据或结果的评判能力，因为统计的目的在于应用。

4、理解确定事件和不确定事件的基本概念，能够辨别一
个事件是否是确定事件。
< br>5、粗略地感知某一事件发生的可能性。在定性地知道了
某一事件有时发生、有时不发生的情况下 ，学生自然希望
知道到底这一事件发生的可能性大还是不发生的可能性
大，例如转动如图1所示 的转盘，停止转动时指针落在红
色区域和落在蓝色区域的可能性哪个大，而用如图2的转
盘呢？ 再如现在经常听到某人购买某种彩票获得巨额奖
金的报道，那是否购买彩票就能获奖呢，获得巨奖的可能
性有多大呢？应该说明的是，人人梦想一夜暴富的心理是
不健康的，也是不现实的，我们的学生 应对这些事件发生
的可能性有个直觉的估计。

6 用数量具体刻画具体某一事件发生的可能性。

我对初中数学统计与概率部分培训内容的体会
新的课程改革在数学中有一个明 显变化是，增加了许多新内容。其中概率与
统计在新课程改革中，成为初中数学的一个重要分支,这部分 教学内容充分体现
基础性、层次性、典型性、综合性、新颖性，下面我简单谈谈我的一些看法。
统计的特点是与数据打交道，要对一组数据进行整理和计算，因此学生一开始学
习统计时显得不太适应 ，往往满足于会算而不愿意动手去练习，缺乏认真仔细、
一丝不苟的学习习惯，在计算中容易出错。所以 学习本章时，从一开始就应对学
生提出明确和严格的要求，并在学习过程中有意识地培养学生认真他仔细 的学习
习惯。此外，为了提高学习兴趣，应尽可能要求学生用科学计算器处理复杂计算。
在教学统计与概率时，首先要考虑教材设计的层次性。这些内容对教师和
学生都显得比较难。“由于统计 思维与确定性思维有很大差异，依赖于人的辩证
思维的发展，而思维发展心理学的研究表明，辩证思维从 初中二年级开始萌芽，
因此统计与概率的内容过早进入与学生思维发展水平不相适应。” 从义务教育< br>阶段的教科书来看，有关统计与概率部分的内容缺乏一定的连续性，特别是在难
度的把握上缺乏层 次性。课程标准将义务教育阶段的数学分为3个学段，对“统
计与概率”而言，各学段的要求是否可以用 “初步体验、感受，体验、感受并进
行简单的计算，体验、感受、计算并能进行初步的推理”来说明？同 时通过大量
的案例来对教学内容的范围、难度、开放度进行例说。总的说来，教科书中统计
与概 率内容的难度现在要降低了。其次，教学要处理好活动性与思辨性的关系。
学习任何知识都需要经过大脑 的思辨，否则就不可能实现对学习内容的压缩、整
合、内化，进而纳入到认知结构之中。对于统计与概率 这样的内容，由于很难从
理论上向小学生说清楚，只能依靠活动让学生充分感受、体验，然后抽象，实现
内化。”最后，对于小学阶段统计与概率的教学，应该通过大量的重复试验来让
学生体会频率的 稳定状态——概率。教师既要安排适当的活动，又要抓住活动的
本质。没有了活动，就没有了载体，学生 的学习就容易遇到障碍；不理解活动的
本质，不理解活动背后的理论支撑，就容易失去活动的方向。这是 统计与概率教
学应特别注意的问题。
信息社会中人们处处都面临着受随机影响的大量 信息和数据，常常需要在不
确定的情景中，根据大量无组织的数据作出合理的决策。概率与统计正是通过 对
数据的收集、整理、描述和分析，以及对不确定现象和事件发生可能性的刻画，
来为人们更好 地制定决策，提供依据和建议。因此，统计与概率的基础内容应是
一个公民必备的知识，是构成学生素质 的重要组成部分。通过统计与概率的学习，
可以缩短学生与现实社会之间的距离，使他们能用统计思想、 随机观念等来解决
现实问题，还有利于学生建立自信心，提高学生灵活处理问题的能力，培养学生
动手能力和创新精神。
这部分的教学应着重于对现实问题的探索，使学生认识到统计与概 率的广泛
应用以及对制定决策的重要作用．应当根据学生的特点提供丰富的、反映统计与
概率思 想方法的探索素材，可以从教材、报刊杂志、参考资料等许多方面寻找素
材，也可以自己设计统计活动或 从学生的实践中引出统计活动．
在教学习过程中，我提出以下建议：
1、 在教学中，我们教师就必须改变过去那种，只注重学习结果，轻视学习
过程的评价方式，而应将评价的重 心放在学生学习过程中的经历、体验、探索等
方面。注重学生在具体活动中的投入程度（教师注重观察） ——能否积极、主动
的从事探索活动；在“统计与概率”教学中，使学生主动收集身边材料进行统计

活动，应用图表来表示数据。
2、看学生的活动水平——能否通过思考， 探索出有相关的信息，能否有条
理的将在活动中探索出的信息表达出来，尝试从不同的角度去思考问题， 同时在
活动中能否有自己的见解，能否在处理问题的过程中提出新的问题。
3、学会与他人交 流是未来社会每个公民都必须掌握的基本技能，在科学技
术迅猛发展的今天，从事各项工作都必须有合作 精神，都需要善于与人交流，因
此在学习过程中学生是否学会与他人合作，学会与他人交流，是我们新一 轮课程
改革的一个重要目标。因此教师在评价学生时，能否主动与同学交流自己的看法，
听取他 们的见解。应指导学生从点滴做起——交流各自对问题的见解，交流解决
问题的思路方法与策略，交流获 得的结果等。在“统计与概率”教学中使学生通
过小组合作，发挥小组的优势，共同协商对统计结果作出 判断和有效预测。
4、运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科
学习中的问题是我们新课改的一个目标。我们在教学中注意观察学生是否有学好
数学的自信心，能够不 回避遇到的困难去解决问题的思想意识。在“统计与概
率”教学中注意学生小组合作，是否能用建构的方 式建立“统计与概率”和运用
比、分数、百分数和小数的联系，建构有意义的认知结构，从而使学生更深 入、
更灵活的学习。
5、注重考查学生在活动过程中表现出来的直观经验的合理性与局限性。
已有的生活经验构成学生进一步学习的基础，教师要及时了解并加以记录，教学
时可以在开始进 行试验前，请学生猜测试验的结果，并说明自己的理由，在试验
过程中及时了解学生思想的变化，在试验 结束并进行理论分析后，再请学生谈一
谈自己的想法，由此可以了解到，教学是否帮助学生澄清了一些错 误认识，发展
了他们正确的随机直觉，以便调整教学。
6、对知识的考查应注重理解和应用，避免单纯地套用模式进行计算。
本单元的知识主要涉及 计算一些简单事件发生的概率，对它的考查要注重理解和
在新情境中的应用。例如，可以从日常生活中挖 掘一些抽奖游戏，考查学生能否
运用所学知识对这些游戏进行分析，计算中奖的概率。在计算概率时，是 否注意
了每种结果的等可能性，而不是机械套用模式。还可以让学生自己设计一些满足
一定要求 的游戏，以由此考查他们对知识的理解和应用水平。
总之，这一学段统计与概率的教学，应重视 问题的实际背景和意义，强
调制定决策的过程以及统计与概 率在社会生活和科学领域中的应用，注重学生的
自主探索和在此基础上的合作交流，重视模拟和实验，不 要把这部分内容处理成
纯计算的内容，也不能灌输给学生过多的专业术语．

创设问题情景优化概念教学
?
一、创设数学概念形成的问题情景的途径

数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的，有些是由数学自身的发展
而产生的，许多 数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。根据

数学概念产生的方式及数 学思维的一般方法，结合学生的认知特点，可以用下列
几种方法来创设数学概念形成的问题情景。

（一）回顾已有相似概念，创设类比发现的问题情景

中学数学中有许多概念具有 相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引
导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题 情景，引导学生去发现，
尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。

例1、异面直线的距离的教学

（1）展示概念背景：向学生指出：刻划两 条异面直线的相对位置的一个几
何量──异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，若要刻 划其远
近程度，需要用另一个量──异面直线之间的距离。

（2）创设类比发现的问 题情景：先引导学生回顾一下过去学过的有关距离
的概念（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之 间的距离），并概括出它
们的共同点：各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离都是确定的而且
是最小的。

（3）启迪发现阶段：指出定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则， 然
后引导学生讨论：异面直线a、b上哪两点之间的距离最小？为什么？进一步诱
导：如上图， 过直线a上一点B作AB⊥直线b，垂足为点A，则线段AB的长
为异面直线a,b间的距离,对吗?因 为过A作AC⊥直线a，垂足为C，在RTΔABC
中有AB>AC,即AB不具有最小性。再过C作C D⊥直线b，如此下去…，线段
只垂直于a、b中的一条时,总是某直角三角形的斜边,不可能是a、b 上任两点间
距离的最小者，那么，异面直线a、b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条
线段 的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a、b都垂直相交的线段。

（4）表述论证阶段：最后引导学生发现：异面直线a、b的公垂线段MN
的长度具有最小性,又公垂 线是唯一的，所以，可以把线段MN定义为异面直线
a,b之间的距离。

以上通过引 导学生研究已有“距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长
点”，以类比方法获得异面直线距离 的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念
的一种自然发展，不感到别扭。这样的概念还有很多，如复数 的模与实数的绝对
值类比、二次方程与一次方程的类比、空间的二面角与平面的角类比等等。

这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数
学概念的形成提供必 要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比（类比的形式多样，
如平面与空间的类比、高维与低维的类比 、有限与无限的类比，还有方法类比、
结构类比、形式类比等等），可使学生更好地认识、理解、掌握新 的数学概念。
当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到
得 出正确结果。

（二）由已有相关概念的比较，创设归纳发现的问题情景

有 些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠
成地引入新概念。

例2、复数概念的教学

先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：

正整数
以下问题:

自然数非负有理数有理数实数，然后教师 提出
（1）上述数集扩充的原因及其规律如何？

实际问题的需要使得在已有的数集内 有些运算无法进行，数集的扩充过程体
现了如下规律：

① 每次扩充都增加规定了新元素；

② 在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；

③ 扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。

有了上述准备后，教师提出问题：负数不能 开平方的事实说明实数集不够完
善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样 解决这
个问题呢？

（2）借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定。（略）

这 样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，
使学生的思维很自然地步入知识 发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研
究奠定基础。

这类数学概念形成的问 题情景创设的关键是揭示出相关概念的扩充发展的
背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。

（三）联想相关数学概念，创设引发猜想的问题情景

许多数学概念间存在着一定 的联系，教师若能将新旧概念间的联系点设计成
问题情景，引导学生建立起新旧概念间的联系，便可以使 学生牢固地掌握新的概
念。

例3、异面直线所成角的概念教学