2015年数学建模试题答案

2014—2015第二学期《数学建模》试卷
班级： 学号：姓名：
一、填空题（每题8分，共40分）
1. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为: 问题分析 ；
模型分析； 模型建立 ； 模型求解 ； 误差分析 .
2. 学校共有1000名学生， 235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一
个10人的委员会. 若按Q值方法，则A宿舍委员数为 5 ；B宿舍委员数为 3 ；C宿舍委员数为 2 .
3. 设开始时的人口数为
x
0
，时刻
t
的人口数为
x(t)
，若人口增长率是常数
r
，那么人口增长问题的马
尔萨斯模型应为 a(t)=a×exp(t) .
4.要指派4名工人完成4项工作，每人做且只做一项工作，每人做各项工作的成本如下表：

工人甲
工人乙
工人丙
工人丁
工作A
23
17
21
25
工作B
22
16
23
20
工作C
18
19
17
26
工作D
21
27
25
19
分配工作甲做 C ；工人乙做 B ；工人丙做 A ；工人丁做 D ，可使总成本最少.
5. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 32.58万元 .
二、建模题（每题20分，共60分）
1.【贷款修路问题】某市政府拟货款10亿元人民币 修建一条高速公路，估计公路建成后每天可收取35
万元车辆过路费.另外，每年养路费和职工工资等开 支费用为2 000万元.
（1）若银行货款的年利率为8%，问市政府需要多少年才能还清这笔货款？
（2）如果每天所收车辆过路费只有30万元，那么该市政府能否还清货款？
（3）如果该公路只能收费20年，问每天至少要收费多少过路费才能还清货款？
解：（1）假设这条高速公路每年有350天正常收费。这条高速公路每年的纯收入为:
0.0035×350-0.2=1.025
把这条高速公路每年的纯收入全部用于还款，即年还款额a=1.025（亿元）
10×0.08×(1+0.08)^x
1.025=--------------------------------
(1+0.08)^x-1
解得：x=19.7（年）
∴政府需要19.7年才能还清贷款。
（2）该问题的条件改为每天所收车辆过路费只有30万元，则该条公路每年的纯收入为：
0.003×350-0.2=1.05（亿元）
用等额本息还款法的计算模型得出本问计算方程;
10×0.08×(1+0.08)^x
0.85=----------------------------------
(1+0.08)^x-1
解得：x=36.8（年）
∴该市要36.8年才能还得清贷款。
（3）该公路只能收费20年则：
10×0.08×（1+0.08）^15
a=-----------------------------------------
(1+0.08)^15-1
解得：a=1.1683（亿元）
则该条高速公路每天的过路费为：

（1.1683+0.2）350=0.0039（亿元）
∴所以每天至少要收0.0039亿元过路费才能还清贷款。
2.【效益合理分配问题】某甲（农民） 有一块土地，若从事农业生产可收入1万元.若将土地租给某乙
（企业家）用于工业生产，可收入3万元 .当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元.为促成最高
收入的实现，试用Shapley值方法 分配各人所得.
解： 甲、乙、丙三人记为I={1，2，3}，经商获利 定义为I上的特征函数，即vvv=0, v(1)=1,
v(2)=v(3)=0, v(1,2)=2, v(1,3)=3, v(2,3)=0, v(I)=4 容易验证v满足上述③和④式，为计算vvvv首 先
找出I中包含1的所有子集S1：{1}， {1，2}，{1，3}，{1，2，3}然后令s跑遍S1, 由此我们得到表一
如下：

s
v(s)
v(s1)
v(s)- v(s1)
s
w(s)
w(s)[v(s)-
v(s1)]
由表一我们得出vvv1=2.5万元，即甲的收益 为2.5万元。 对此表中的解释： 对表一中的s,比如{1，
3}，v(s)是有甲 （即{1}）参加时合作s的获利，v(s1)是无甲 参加合作时s的获利， v(s)- v(s1)视为
甲对这 一合作的“贡献”，用Shapley值计算的甲的 分配值vvv是甲对他所参加的所有合作（S1） 的
加权平均值，加权因子w(s)取决于这个合 作s的人数.也就是按贡献取得报酬. 于是，接下来我们可
以用同样的方法得
s
v(s)
v(s1)
{3}
0
0
{1，3}
3
1
{1，2，3}
4
2
{2}
0
0
0
1
13
0
{1，2}
2
1
1
2
16
16
{1，2，3}
4
3
1
3
13
13

v(s)- v(s1)
s
w(s)
w(s)[v(s)-
v(s1)]
0
1
13
0
2
2
16
13
2
3
13
23
vvvv1=2.5万元， vvvvv2=0.5万元 vvvv3=1万元，他们可作为按照Shapley值 方法计算的甲、乙、
丙三人应得的分配。

3.【货款买房问题】当前货款买房成为 人们生活的热点.有的买房由于缺少资金，必须向银行货款，月
利息按银行最新标准计算，货款期限自定 .请建立数学模型，解决按月还款的货款买房问题.