数学建模高考志愿选取的层次分析

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高考志愿选取的层次分析
摘要：
本文在提取大量数据的 基础上，在综合考虑每年的各高校的录取分
数线及平均分，运用概率统计和模糊数学的方法，将学校往年 的录取分和
考生的原始分转化为标准分，以排除每年考试的难易程度带来分数波动的
影响。另外 ，运用层次分析法将各种因素纳入考虑算出权重。最后计算被
录取的概率。最后，根据我们的研究分析， 对考生填报志愿给出建议。
关键词：高考志愿 概率统计 模糊数学 层次分析 标准分 权重
1问题的提出：
高中毕业生在选报高考志愿时，通常要考虑到该学校的声誉、教学 、
科研及环境条件，同时又要结合本人的兴趣，考试成绩和毕业后的出路等
因素，在每一因素中 又有干扰子因素的情况下，做出最佳选择。
2模型的假设
首先，我们确定目标 为：填报高考志愿（A），这里考虑的主要因素有：
学校声誉（B
1
）、教学水平（B
2
）、学校环境（B
3
）、兴趣爱好（B
4
）、报考风险（B
5
）、毕业后出路（B
6
）、地理位置（B
7
） ，同时在教学水平（B2）中我们
还要同时考虑教师水平（C1）、学生水平（C2）、教学设备（C3 ）这三个子
因素。最后我们将从学生提出的四个志愿中，做出决策。
为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图

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填报高考志愿A
目标层
学
校
约 束层1
声
誉
B
1
教
学
水
平
B2
学
校
环
境
B
3
兴
趣
爱好
B
4
报
考
风
险
B
5
毕业
后
出
路
B
6
地
理
位
置B
7
约束层2
教
师
水
平
C
1
学
生
水
平
C
2
教
学
设
备
C
3
方案层学校D
1
学校D
2
学校D
3
学 校D
4

3建立模型
（一）构造成对比较阵
面临的决策 问题是：要比较n个因素x
1
，x
2
…，x
n
，对目标A的 影响，
我们要确定它们在A中所占的比重，即这n个因素对目标A的相对重要性。
我们用两两比 较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。
设有因素x
1
，x
2
…，x
n
每次取两个因素x
i
x
j
，用正数a
i j
表示x
i
与x
j
的
重要性之比。由全部比较结果得到矩阵 A=（a
ij
），称作成对比较阵A。
?
a
11,
a12
,
?
,a
1n
?
?
a,a
??
,a
22,2n
??
21

?
?????
??
a,a,
?
,a
n2nm
??
n1显然有
a
ij
?
1
,a
ij
?0,1?i,j ?n
。
a
ij
然后求出成对比较矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量
Y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
，
定义标准化向量

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??
?
YY
n
?
Y
21
Y'?
?
n
,
n
,?,
n
?
。
?
Y
?
YY
?
i
??
ii
??
i?1i?1
?
i?1
?
T
用标准化向量Y′来反应
x
?
?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
这n个因素对目标A的相对
重要性，Y′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的
排序权值。
（二）权向量
对于已知的成对比较阵A来说，有A?Y=
?
max
?Y
。由矩阵运算法则可知：
当n较大时，精确地计算成对比较A=（a
ij
）的最大特征值
?
max
和特征向量比
较麻烦，而又由于A中的元素a
ij
是重要性的比值，而重要性是人们根据目
标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十 分精确地计算出
?
max
和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似 计算
?
max
和相应的特征向量。
对成对比较阵A=（a
ij
），令
?
a
U
k?
j?1
nn
i?1j?1
n
kj
(k
?1,2,
?
,n),
（*）
ij
??
a< br>称U=（U
1
，U
2
，…，U
n
）
T
为X={x
1
，x
2
，…，x
n
}的权向量，它反映n个
因素对目标A的相对重要性。经验证，U与Y′误差很小，所以一般都用U
代替Y′。
对于公式（*），
对于一致性矩阵，
a
ij
?
U
k
可以简化为 x
i
,
即满足a
ij
?a
jk
=a
i k

y
i

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U
k
?x
k
?
j?1
x
j
n
?
x
?
x
j?1
i?1
n
n
?
x
k
i< br>?
x
i?1
n
,

i
j


则
??
?
x
x
n
?
x
21U?
?
n
,
n
,
?
,
n
?< br>(i
?
1,2,
?
,n)
.
?
x
?
xx
?
i
??
ii
??
i?1i?1
?
i?1
?
T
X
i
代表第i项因素的重要性指标。
4模型的求解
下面将调查两名学生（A
1
，A
2
），根据 他们所提供的情况，建立一致性
矩阵，帮助他们填报志愿。
设七种因素学校声誉、教学水平、 学校环境、兴趣爱好、报考风险、
毕业后出路、地理位置分别为B
1
，B
2< br>，…，B
7
。
在七种因素教学水平中设有三个子因素教师水平C
1< br>、学生水平C
2
、教
学设备C
3
。学生所要报考的八个志愿分 别为K
1
，K
2
，…，K
8
。
同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。
（一）考查学生A1（目标A1）
(1)考虑B={B
1
，B
2< br>，…，B
7
}这七个因素对目标A
1
的相对重要性。
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
B
7

目标10 9 5 7 10 10 2
A
1

U（x）=（0.189,0.170,0.094,0. 132,0.189,0.189,0.037）
T
。

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(2)考虑C={C
1
，C
2
，C
3
}这三个因素 对目标A
1
的相对重要性。

目标A
1


U（y）=(0.348,0.391,0.261)
T
。
C
1

8
C
2

9
C
3

6
经调查学生A
1
所要选报的八个志愿为 ：北大国际金融、北大临床医学、
北大生化、清华建筑、南开机电、北京体院、复旦物理、清华数学，分 别
设这八个志愿为K
1
，K
2
，…K
8
。
(3)考虑对于因素C
1
，C
2
，…C
3
，比较K
1
，K
2
，…K
8
的相对差异。

因素C
1

因素C
2

因素C
3

K
1

10
10
9
K
2

10
10
9
K
3

10
10
10
K
4

10
10
10
K
5

10
9
9
K
6

9
6
9
T
K
7

10
8
9
K
8

10
10
9
Wc
1
（K）=（0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0. 127,0.127）,
T
Wc
2
(K)=(0.137,0.137,0 .137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137),
T
Wc< br>3
(K)=(0.122,0.122,0.134,0.134,0.122,0.122,0 .122,0.122)。
(4)考虑对于因素B
1
，B
3
，B< br>4
，…，B
7
，比较K
1
，K
2
，…K8
的相对差异
。

因素B
1

因素B
3

因素B
4

因素B
5

因素B
6

因素B
7

K
1

10
10
10
1
10
10
K
2

9
10
9
2
10
10
K
3

10
10
7
1
10
10
K
4

10
10
5
7
10
10
K
5

9
10
4
8
7
9
T
K
6

6
9
7
10
5
10
K
7

9
9
7
10
7
8
K
8

10
10
3
6
7
10
W
B1
(K)=(0.137,0.123,0.137,0.137 ,0.123,0.083,0.123,0.137),
T
W
B3
(K) =(0.128,0.128,0.128,0.128,0.128,0.116,0.116,0.128) ,
T
W
B4
(K)=(0.192,0.173,0.135,0.096 ,0.077,0.135,0.135,0.057),
T
W
B5
(K) =(0.022,0.044,0.022,0.156,0.178,0.222,0.222,0.134) ,
T
W
B6
(K)=(0.152,0.152,0.152,0.152 ,0.106,0.074,0.106,0.106),
T
W
B7
(K )=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.116,0.130,0.104,0.130 )
最后再计算学生A
1
所选报的八个志愿的得分
：
W
A1
(K
1
)=U(x
1
)?W
B1
(K
1< br>)+
?
U(x
j?3
7
j
)?W
Bj
(K
1
)?U(x
2
)?
?
U(y
i
) ?W
Ci
(K
i
)?
0.189×0.137+0.094
i?1
3
×0.128+0.132×0.192+0.189×0.022+0.189×0 .152+0.037×0.130+0.170×(0.348×0.127+0.391
×0.13 7+0.261×0.122)=0.123 12.
W
A1
(K
2
)=0.122 13，W
A1
(K
3
)=0.116 18，W
A1
(K
4
)=0.136 36，

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W
A1
(K
5
)=0.124 67，W
A1
(K
6
)=0.122 99，W
A1
(K
7
)=0.138 06，
W
A1
(K
8
)=0.117 72
很显然，得分排在前 四位的志愿为K
7
，K
4
，K
5
，K
1
， 也就是说复旦物理、
清华建筑、南开机电、北大国际金融这四个志愿最适合A1报考。
5模型的改进与推广
（1）通过上面的分析与计算，我们已经将填报高考志愿这一问题，由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为该学
生选择了四所最有希望考上 的学校。但这只是在理想状况下的结果，有很
多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如在填 报志愿时所报
考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相
差较大的 第二志愿会有更大希望被录取。我们前面所做出的模型，只是将
学生所选择的八个学校定量地排了个名次 ，所以学生在填报志愿时不能将
得分前四名的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实
际情况和侧重点。
（2）在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之 间
的重要性之比（即a
ij
），而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性指标，< br>然后再用
x
i
做出矩阵。这样做是因为直接询问高三学生每两个因素之间的x
j
重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的数
字之 比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比
较容易）。
如果 我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即a
ij
），而
将其所构成的成 对比较阵就可能会出现一致性问题。
下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。

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对于成对比较阵A来说，其中的关系应满足


a
ij
?a
jk
?a
ik
,1?i,j,k?n,
这
样的成对比较阵A为一致矩阵。

而由于人的思维活动的原因，人们用a
ij
构成的成对比较阵A往往不是
一致矩阵，即
a
ij
?a
jk
?a
ik
,所以在分析 X={x
1
,x2
,…,x
n
}对目标A的影响时，
必须对A进行一致性检验。
因为n阶成对比较阵A是一致矩阵，当且仅当A的最大特征值
?
max
?n
，
所以若A不具有一致性，则
?
max
?n
。于是我们引入 一致性指标
CI?
?
max
(A)?n
n?1
。
将CI作为衡量成对比较阵A不致程度的标准，当
?
max
(A)
稍大于n 时，
称A具有满意的一致性。
此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令 这里
RI为平均随机一致性指标（查表可得），CR称为随机一致性比率，可以用
CR代替CI 作为一致性检验的临界值。当CR﹤0.1时，就认为A有满意的一
致性，否则就必须重新调整成对比较 阵A，直到达到满意的一致性为止。
（3）关于报考风险。对于因素B
5
（报考风险 ）使用了正态分布的方法
进行估算，首先调查学生A
1
的平均成绩和最高成绩，然后调 查出他的所报
学校在去年的录取分数线，最后利用正态分布计算出他的报考的风险（即
考上的概 率），然后按0%～10%记1，11%～20%记2……90%～100%记10，将
百分比转化为重 要性指标。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系，工程数学概率统计简明教程，高等教育出版社，
2003

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年7月
[2] 周义仓、赫孝良，数学建模试验，西安：西安交通大学出版社，2002
年7
月