专题27 数学建模活动(解析版)

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提升训练3.7 数学建模活动
一、选择题
1．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量
y< br>（单位：件）与时间
t
（单位；天）之
间的函数关系，图②是一件产品的销售利 润
z
（单位：元）与时间
t
（单位：天）之间的函数关系，已知日
销 售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）

A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
【答案】C
【解析】
对于A选项，在图①中，
点坐标为
时，，故 A选项结论正确.对于B选项，根据图②，
天销售件，由图①知第
的中
天一件产品，
天与第
，故B选项结论正确.对于D选项，由图①知第
利润为元，故日销售利润 为
即第天和第
元，故D选项结论正确.由①知
天的一件产品利润高于第
的中点 为
天产品利润，故第天的销售量相同，根据图②，第
天这两天的日销售利润不相等，故C选项结 论错误.故本小题选C.
2．用一段长为
A． B．
的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
C． D．
【答案】C
【解析】
设矩形模型的长和宽分别为，则，由题意可得，所以，
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所以矩形菜园的面积
所以当矩形菜园的长和宽都为
，当且仅当
时，面积最大，为
时取等号，
．答案：
3．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享 受任何折扣；如果顾客购
物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折 扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
不超过500元的部分
超过500元的部分

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为
A．1500元
【答案】A
【解析】
设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
B．1550元 C．1750元 D．1800元
折扣率


由题设可知：
因为，所以，所以
，
，解得
（元），故选A．
，
故此人购物实际所付金额为
4．某购物网站在2017年11月开展“全部6折” 促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金
额(6折后)满300元时可减免100元”． 某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花
钱总数最少，他最少需要下的订单 张数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】
为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减 免100元”，即每张订单打
折前原金额不少于500元．
由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最多需要下的订单张数为3张．
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5．一个玩具厂一年 中12月份的产量是1月份产量的
a
倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是
（ ）
A．
11
a?1

【答案】A
【解析】
设月平均增长率为
x
，一月份的产量为
1

B．
12
a?1
C．
a

11
D．
a

12
Q
一年中
12
月份的产量是
1
月份产量的
a
倍
?
?
1?x
?
?a

即
1?x?
11
a

?x?
11
a?1

本题正确选项：
A

6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
11

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
【答案】C
【解析】
因为第二次加满油箱，加了60升，
所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里（等于6千米），
所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，所以选C.
7．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0 .1元，
则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为( )
A．2元 B．2.5元
C．1元 D．1.5元
【答案】D
【解析】
设每件降价0.1x元，则每件获利（4-0.1x）元，每天卖出商品件数为（1 000+100x）．
经济效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）=-10x
2
+300x+4 000=-10（x
2
-30x+225-225）+4000
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=-10（x-15）+6 250．
∴x=15时，y
max
=6 250．
即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
8．如图，在半径为（单位：
上，顶点在圆周上，则矩形
）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料
面积的最大 值为（ ）（单位：）.
，其顶点在直径
2

A．8 B．10
C．16 D．20
【答案】
【解析】
设BC=x, 连结
OC
，得OB=
所以矩形面积
S
＝2
，所以
A B
＝2
，
x
∈（0，4）,
．
2
，
S
＝2
即
x
＝16﹣
x
，即
x
＝2故答案为：16
2
时取等号，此时
y
max
＝16

9．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，
则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A． B．
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C． D．
【答案】B
【解析】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是
对应的值都是5，
以后毎
不足
价为
按
时，
时，
元，
).
计价，

，故选B.
10．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
累计里程
记录时间
（单位：公里）
2019年1月1日
2019年1月2日

（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电 量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均
耗电量=
4000
4100
平均耗电量（单位：剩余续航里程
（单位：公里）
280
146
kW?h
公里）
0.125
0.126
累计耗电量
剩 余电量
，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电
平均耗电量< br>累计里程
量估计正确的是（ ）
A．等于12.5
C．等于12.6
【答案】D
【解析】
由题意，可得
4100?0.126?4000?0 .125?516.6?500?16.6
，
所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，
故选D．
B．12.5到12.6之间
D．大于12.6
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11．如图，某广场 要规划一矩形区域
ABCD
，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，< br>这三块绿化区四周均设置有1 m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m
2
，则该矩形区域
ABCD
占地面
积的最小值为( )

A．248 m
2
B．288 m
2

C．328 m D．368 m
【答案】B
【解析】
设绿化区域小矩形的宽为
x
，长为
y
，
则3
xy
＝200，∴
y
＝，
22
故矩形区域
ABCD
的面积
S
＝(3
x＋4)(
y
＋2)＝(3
x
＋4)
＝208＋6
x＋
当且仅当6
x
＝
≥208＋2
，即
x
＝
＝288，
时取“＝”，
2
∴矩形区域
ABCD
的面积的最小值为288 m.
故答案为：B.
12．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励 ，其中有一个奖励项目是针对
学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n )(n－10)，n>10(其中n是任课教师所
在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省 平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数 学平均分超出省平均分18分，而乙所
教的学生高考数学平均分超出省平均分21分，则乙所得奖励比甲 所得奖励多( )
A．600元 B．900元
C．1 600元 D．1 700元
【答案】D
【解析】
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由题意可得
k(18)＝200，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．
又∵k(21)＝300，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，
∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．
二、填空题 < br>13．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者， 合
与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（
求肉数和肉价，则该问题中 ，肉价是每两__________文．
【答案】6
【解析】
设肉价是每两x
文，由题意得
16x?30?8x?18
，解得
x?6
，即肉 价是每两
6
文.
14．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记 忆一组单词的情况，她记录了随后一个
两）还差
30
文钱，买八两多十八文钱，
月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：

某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：
①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；
③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．
其中正确的结论序号有______．（注：请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】
，
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可得随着的增加而减少，故①正确；
当时，，
，故②正确；
，
9天后，小菲的单词记忆保持量低于
，故③错误，故答案为①②．
15．有一批材料 可以建成360
m
长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样< br>材料隔成三个面积相等的小矩形如图所示，则围成场地的最大面积为______围墙厚度不计．

【答案】8100
【解析】
设每个小矩形的高为
am
，则长为
则
当时，

，记面积为


所围矩形面积的最大值为
故答案为：8100． < br>16．某校要建一个面积为392m
2
的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和 4m的小路(如图所示)，则
占地面积的最小值为________m.

【答案】
【解析】
设游泳池的长为
xm
，则游泳池的宽为
又设占地面积为
ym
2
，
依题意，得，
，

2
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当且仅当，即
x
＝28时，取“＝”．
答：游泳池的长为28
m
，宽为14
m
时，占地面积最小为648
m
2
.
故答案为：648
三、解答题
17．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有 大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏
的面积之和为
45m
2
，四周空白的宽度为
0.5m
，两栏之间的中缝空白的宽度为
0.25m
，设 广告牌的高为
xm
．

（1）求广告牌的面积关于
x
的函 数
S
?
x
?
；
（2）求广告牌的面积的最小值．
45
??
【答案】（1）
S
?
x
?
?xt?x< br>?
1.25?
?
?
x?1
?
（2）广告牌的面积的最 小值为
61.25
．
x?1
??
【解析】
（1）依题意 设广告牌的宽为
tm
，则
?
x?1
??
t?1.25
?
?45
，
所以
t?1.25?
45
，且
x?1
，
x?1
?
?
45
?
?
?
x?1
?
， < br>x?1
?
所以广告牌的面积
S
?
x
?
?xt ?x
?
1.25?
（2）由（1）知，
S
?
x
?< br>?1.25x?

…
21.25
?
x?1
?
?
45x45
?1.25
?
x?1
?
??46.25

x?1x?1
45
?46.25?61.25
，
x?1
45
，即
x?7
时等号成立．
x?1
当 且仅当
1.25
?
x?1
?
?
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所以
S
?
x
?min
?S
?
7
?
?61.25
，
答：广告牌的面积的最小值为
61.25
．
18．某地的出租车价格规定： 起步费11元，可行驶3千米；3千米以后按每千米
米；以后每千米都按3.15元计价.
元计价，可再行驶7千

（1）写出车费（元）与行车里程（千米）之间的函数关系式.
（2）在坐标系中画出（1）中函数的图像.
（3）现某乘客要打车到14千米的地方，有三 个不同的方案打出租车.甲方案：每次走完起步费的路程后就
重新打出租车，直到走完全部路程；乙方案 ：先乘出租车走完10千米的路程，再重新打出租车一直走完剩
下的路程；丙方案：只乘一辆出租车到底 .试比较哪种方案乘客省钱？
【答案】（1）
方案乘客省钱
【解析】
（2）见解析；（3）丙
（1）
（2）


参考点：A、横纵坐标单位刻度可以不一致，要标注 、轴的单位；B、要体现出关键点对应的横、纵坐标；
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C、要是三条折线（段）；D、与轴的交点要画小圆圈.
（3）甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；
乙方案：10千米的路程费用为< br>剩下的4千米的费用：
乙方案共计费用为25.7+13.1=38.8（元）
丙方案：
所以，丙方案乘客省钱.
19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益， 现准备制定
一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而 增加，奖金不超过75
万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本
要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x)
?
75恒成立;
③
f
?
x
?
?
(1)判断函数
f
?
x
?
? ?10
是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;
(2)已知函数
g?
x
?
?ax?5
?
a?1
?
符合公司奖励方 案函数模型要求，求实数
a
的取值范围．
【答案】(1) 函数模型
f(x)?
【解析】
(1)对于函数模型
f(x)?
（元）
（元）
（元），
x
恒成立．
5
x
30
x
?10
，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2]
30
x
?10
,
30
x
恒
5
当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数
f(x)?
xx
x
?10?
,解得x≥60．∴
f(x)?
不恒成立，
5
305
x
?10
，满足基本要求①②，但是不满足③， 综上所述，函数模型
f(x)?
30
x
?10
，不符合公司要求． 故函数模型
f(x)?
30
成立，即
(2)当x∈[25，1600]时，< br>g(x)?ax?5(a?1)
单调递增，
∴最大值
g(1600)?a16 00?5?40a?5?75
∴
a?2

设
g(x)?ax?5?< br>∵
xx
2
25x
22
?2?
, 恒成立，∴
ax?(5?)
恒成立，即
a?
55x25
25x
??2
， 当且仅当x=25时取等号，∴
a
2
≤2+2=4
x25
∵
a
≥1, ∴1≤
a
≤2, 故
a
的取值范围为[1，2]
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20．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行 ”提供了极大的方便，某共享单车公司“
Mobike
”计
划在甲、乙两座城市共投资 120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：
甲城市收益
P
与投入
a
（单位：万元）满足
P?32a?6
，乙城市收益
Q
与投入
a
（单位：万元）满足
Q?
1
a?2
， 设甲城市的投入为
x
（单位：万元），两个城市的总收益为
f(x)
（单位： 万元）．
4
（1）求
f(x)
及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【答案】（1）
f (x)??
1
x?32x?26,(40?x?80)
；（2）甲城市投资72万元， 乙城市投资48万元时，
4
总收益最大，且最大收益为44万元.
【解析】
（1）由题知，甲城市投资
x
万元，乙城市投资120-
x
万元．
∴
f(x)?32x?6?
11
(120?x)?2??x?32x?26< br>，
44
?
x?40
依题意得
?
，解得
40 ?x?80
．
120?x?40
?
故
f(x)??
（2） 令
t?
1
x?32x?26,(40?x?80)
．
4
?
x
，则
t?
?
?
210,45
?
． 2
∴
y??t?32t?26??
1
4
1
(t?62)
2
?44
．
4
当
t?62
，即
x?72
万元时，
y
的最大值为44万元
∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
2 1．沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，
一个钥匙扣定价5元，且该服务部推出两种优惠活动方式
（1）买一个水杯赠送一个钥匙扣 （2）按购买两种商品的总费用90%付款若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣个（不低于4个） ，
试按两种不同优惠方式写出实付款元关于的函数关系式，并讨论选择那种购买优惠方式更划算？
【答案】（1）
见解析
【解析】
（1）由优惠活动方式（1）可得：
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，且,，且;（2）

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，
且
由优惠活动方式（2）可得：
，
（2）由（1）可得：< br>令
解得
令
解得
令
解得
故当
，即

，即

，即

时用第一种方案，
时，采用第二种方案 22．我国开展扶贫
T
作始于上世纪80年代中期，通过近30年的不懈努力，很多贫困地 区和家庭都已脱贫
致富，扶贫
T
作取得了举世公认的辉煌成就．2013年11月，习 总书记又作出了“精准扶贫”的重要指示，
我国于2014年开始全面推动了“精准扶贫”的工作．某单 位甲在开展“精准扶贫”中，为帮扶“精准扶贫”
对象--农户乙早日脱贫致富，与乙协商如下脱贫致富 方案：让乙种植一年生易种药材，当乙种植面积不超
过4亩时，甲投入2万元的成本；当乙种植面积超过 4亩时，每超过1亩（不足1亩时按1亩计算），甲再
追加投入2千元的成本，且甲投入的成本乙必须全 部用于该药材种植．而每年该药材的总收益
R
（
x
）（单位：
元）满 足
R
（
x
）=-100
x
2
+3200
x
+45000（其中
x
为种植药材面积，其单位为亩，且
x
∈
N
*，
x
≤20）．
（
l
）试表示甲这一年扶贫乙时所 投入的成本
g
（
x
）（单位：元）关于种植该药材面积
x
的 函数；
（2）试表示乙这一年的纯收益
f
（
x
）（单位：元）（注 ：纯收益一总收益一成本），当乙种植多少亩该药材
时，才能使他当年的纯收益最大？其最大纯收益为多 少元？
【答案】（1）
元.
【解析】
（1）由题意，
g
（
x
）=
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且
，



时两方案一样
；（2）当乙种植亩时，纯收益最大，最大值为

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=
（2）
f
（
x
）=
；
．
当 0＜
x
≤4时，
f
（
x
）为增函数，∴
f
（
x
）
max
=
f
（4）=36200；
当4＜
x
≤20时，
f
（
x
）=-100（
x
- 6）
2
+36600．
故当
x
=6时，
f
（x
）
max
=36600．
又36600＞36200．
故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．


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