最新高中数学人教版-高中数学优化设计2-2
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高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:瞬时速率。一
般的,函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
?x
?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
, <
br>?x
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导
数,记作
f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
,
即
f
?
(x
0
)<
br>=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0)
?x
2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点P
n
趋近于
P
时,直线
PT
与曲线相切。容易
知道,割线
PP
n
的斜率是
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
)
,当点
P
n
趋近于
P<
br>时,函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导
x
n
?x
0
f(x
n
)?f(x
0
)
?f<
br>?
(x
0
)
x
n
?x
0
数就是切线PT的斜率k,即
k?lim
?x?0
3. 导函数:当x变化时,
f
?
(x)
便是x的一个函数,我们称它为
f(x)
的导函数.
y?f(x)
的导函数有
时也记作
y
?
,即
f?
(x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)
?x
二.导数的计算
1)基本初等函数的导数公式:
1若f(x)?c
(c为常数),则
f
?
(x)?0
;
?
2 若
f(x)?x
,则
f
?
(x)?
?
x
?
?1
;
3
若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx
4
若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
5 若
f(x)?a
,则
f
?
(x)?alna
xx
6
若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e
xx
1
xlna
1
8
若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
x
x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
(x)?
2)导数的运算法则
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1.
[f(x)?g
(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
2.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)
?f(x)?g
?
(x)
3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)
]
?
?
2
g(x)[g(x)]
3)复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f
(g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间
(a,b)
内,如果
f
?
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递
增;
如果
f
?
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
(1) 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值;
(2) 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
,
f(b)
比较,其中最大的是一个最大值,最
小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
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知识结构
合情推理
推理
推
理
与
证
明
证明
间接证明
数学归纳法
演绎推理
归纳推理
类比推理
比较法
直接证明
综合法
分析法
反证法
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤:
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质;
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);
?
证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理
由两类对象具有某些类
似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理(简称类比
).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经
过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后
提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”,
包括
⑴大前提
-----已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
用集合的观点来理解:若集合
M中的所有元素都具有性质
P
,
S
是
M
的一个子集,那么
S
中所有元素
也都具有性质P.
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M
·a S
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从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推
理形式
都正确的前提下,得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法
:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证
明的结论成
立.
框图表示:
要点:顺推证法;由因导果.
⑵分析法:从要证明的结论出发
,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件(已知条件
、定理、定义、公理等)为止.
框图表示:
要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证
明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
*
(1)(归纳奠基)证明当
n
取
第一个值
n
0
(n
0
?N)
时命题成立;
*(2)(归纳递推)假设
n?k(k?n
0
,k?N)
时命题成立,推证
当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从<
br>n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
用数学归纳法可以证明许
多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、
几何中的计算问题等.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数,
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2)
分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数.
(3)
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4)
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5)
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2.相关公式
⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d
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⑵
a?bi?0?a?b?0
⑶
z?a?bi?
⑷
z?a?bi
a
2
?b
2
z,z
指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数).
3.复数运算
⑴复数加减法:
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b?d
?
i
;
⑵复数的乘法:
?
a?
bi
??
c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
;
a?bi
?
a?b
i
??
c?di
?
?
⑶复数的除法:
c?di
?
c?di
??
c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
?
ac?bd
?<
br>bc?ad
i
c
2
?d
2
c
2
?d
2
c
2
?d
2
(类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化)
4.常见的运算规律
(1)z?z;
(2)z?z?2a,z?z?2bi;
(3)z?z?z?z?a
2?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z?R
22
(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;
(7)
?
1?i
?<
br>2
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,<
br>??
??i
1?i1?i
?
2
?
?1?3
i
3n?1
2
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
?0
,
?
2
2
(9)设
?
?
5.复数的几何意义
复平面:用来表示复
数的直角坐标系,其中
x
轴叫做复平面的实轴,
y
轴叫做复平面的虚轴.
一一对应
复数
z?a?bi?????
复平面内的点
Z(
a,b)
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一一对应
复数
z?a?bi?????
平面向量
OZ
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