高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题

高中数学选修

2–2 知识点





第一章


导数及其应用





一．导数概念

1.导数的定义：函数
y



在
f (x )



x x
0

处的瞬时变化率是



lim


x


0

f ( x
0

x )f ( x )
0

，称它为函数

y



f ( x)
在


x x
0

处的导数，记作



f ( x
0
)
或
y



|
，即
x x
0

f ( x)
=
0
lim



x 0


x

f (x
0
x)

x

f ( x)


0
。导数的物理意义：瞬时速率。







2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点

P
n

无限趋近于

P

时，割线
PP
n

趋近于稳定的位置直线


PT
，


我们说直线
PT
与曲线相切。 割线

PP
n

的斜率是

k

n


f ( x
n
)

x
n

f( x )

0

，当点

P
n

趋近于

P

时，函数

y
f ( x)


在
x x
处的导数就是切线

PT

的斜率

k，即

0


k



lim

x0


f ( x
n
)



f ( x
0
)


x
0

x
n

x
0

f

( x
0
)


3．导函数：当 x 变化时，

即
f ( x )lim

x

0


f (x)
便是

x

的一个函数，称它为

f ( x )







f ( x)
的导函数

.
y




f ( x)
的导函数记作
y
,








f ( xx )


x


二 .导数的计算

1）基本初等函数的导数公式

1．若
f (x)

3.

若
f (x)

5.

若
f (x)

7.

若
f (x)


:

c
(c

为常数

)，则
f ( x) 0
；

sin x
,

则
f ( x)

则
f

2. 若
f ( x)

4 . 若
f ( x)

6. 若
f ( x)

8. 若
f ( x)

x
,则
f ( x)

cos x
,则
f (x)

x
1

;

sin x
;


cos x

a
x

,

( x)

( x )



a
x
ln a

1

x ln a

e
x

,则
f ( x) e
x

ln x
,则

f ( x )


log
a
x
,

则

f



2）导数的运算法则

1.

[ f (x)

3.



















1

x

g( x)]

f ( x )


f ( x)

g ( x )

g ( x)

f ( x ) g ( x )

2


2.
[ f ( x)

g( x)]

f ( x) g (x) f ( x) g (x)

f ( x )

[]

g ( x )


[ g ( x )]


3）复合函数求导


y
y

f (u)
和
u g( x)
,

称 则
y
可 以 表 示 成 为

x

的 函 数

,

即
y f (g( x))
为 一 个 复 合 函 数

f ( g( x) ) g ( x)

三 .导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数

:

(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在这个区间单调递增；如果

在某个区间

(a, b)
内，如果
f (x) 0
，那么函数
y

f ( x)

f ( x) 0
，那么函数
y
- 1 -

f ( x)
在这个区间单调递减

.

(2).已知函数的单调性求参数的取值范围


:

“若函数单调递增，则




；若函数单调递减，则

” .注意公式中的等号不能省略，否则漏解.


f (x)≥0

.

f (x) ≤0


2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况

求函数
y

f ( x)
的极值的方法是

:(1) 确定函数的定义域； (2) 求导数
f (x)
(3)求方程
f ( x )
=0 的根


(4) 如果在
x
0
附近的左侧
f

(x)

0
,右侧
f ( x)

0
,那么
f (x
0
)
是极大值

;


如果在
x
0

附近的左侧

f

( x)

0
,右侧
f ( x)

0
,那么
f (x
0
)
是极小值

;

3.函数的最大 (小 )值与导数


函数极大值与最大值之间的关系.


求函数
y

f ( x)
在
[ a,b]
上的最大值与最小值的步骤


（ 1）

求函数
y

f ( x)
在
(a, b)
内的极值；


（ 2）

将函数
y

f (x)
的各极值与端点处的函数值

f ( a)
，
f (b)
比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值 .

4.生活中的优化问题

利用导数的知识

,,求函数的最大 (小 )值 ,从而解决实际问题

考点：
1、导数在切线方程中的应用

.

2.导数在单调性中的应用

3、导数在极值、最值中的应用

.

4、导数在恒成立问题中的应用

5. 定积分
(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限
b
n
f (x)dx=


lim

f (
i
) x
i

a n

i=1
(2) 定积分几何意义：
①
b

f (x)dx

(f (x)

0)

表示 y=f(x) 与 x 轴， x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积 .


a


②
b

f (x)dx

(f (x)

0)

表示 y=f(x) 与 x 轴， x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数 .


a

(3) 定积分的基本性质：
①
b

kf (x)dx=k
b


f (x)dx


a

a

②
b


[f
b b
1
(x) f
2
(x)]dx=

f
1
(x)dx

f
2
(x)dx

a

a

a
③
b c
f (x)dx+
b


f (x)dx=


f (x)dx


a a c

- 2 -

(4) 求定积分的方法：①定义法：分割—近
似代替—求和—取极限②利用定积分几何意
义
③微积分基本公式

a
b
f (x)


其中 （

’
F(b)-F(a),F x


）= (


x

)



第二章

推理与证明







1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理

归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） ；证明
（视题目要求，可有可无） .

2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，

推出另一类对象也具有这些特征的推

, 称为归纳推理 ( 简称归纳 ).

简言之 , 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。






理称为类比推理（简称类比） ．

简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理

类比推理的一般步骤：

.



找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
检验猜想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联 想，再进行归纳、类比，然后

提出猜想的推理

.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理 . 4、演绎
推理





















从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理

演绎推理的一般模式———

⑴大前提 ----- 已知的一般原理；

⑵小前提 ----- 所研究的特殊情况；

⑶结论 ----- 据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证

明的结论成立 .要点： 顺推证法；由因导果

.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判

定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止

.

要点： 逆推证法；执果索因

.

⑶反证法：一般地，假设原命题 不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证

明了原命题成立 .的证明方法 . 它是一种间接的证明方法

反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1) （反设）假设命题的结论不成立；
(2) （推理）根据假设进行推理 , 直到导出矛盾为止；
(3) （归谬）断言假设不成立；
(4) （结论）肯定原命题的结论成立 .
- 3 -

.

“三段论”，
包括

.

6、数学归纳法

数学归纳法是 证明关于正整数

用数学归纳法证明命题的步骤

n
的命题 的一种方法

.

;

*
（1）（归纳奠基）证明当

n
取第一个值
n
0
(n
0

N )
时命题成立；


*
n k 1
时命题也成立

.

（2）（归纳递推）假设

n k (k n
0
, k N )
时命题成立，推证当

只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从


n
0

开始的所有正整数

n
都成立

.

第三章 数系的扩充与复数的引入


一 :复数的概念


(1)

复数 :

形如
a

(2)






bi (a

R, b

R)

的数叫做复数，
a
和

b

分别叫它的实部和虚部

.

,

中

当
b

,

;

0
就是实数

b

,

;


:

分类

复数


a

bi (a

R, b

R)


a 0, b



0

,

时 叫做纯虚数

.

0

叫做虚数

当


(3)

复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等


.


(4) 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数 .
(5) 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式

⑴
a bi c di



,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

z=
a bi (a

R,b


R)



a b,且 c d

⑵
a bi 0

a b 0

⑶
z a bi

为共轭复数） .

3．复数运算

⑴复数加减法：






a
2

b
2

⑷
若 z

a

bi













则 z



a

bi z， z
指两复数实部相同， 虚部互为相反数 （互



a

bi

c di

a

c

b d

i
；


⑵复数的乘法：







a bi c di

ac bd

bc ad i
；

a bi

⑶复数的除法：



a bi c

di

c di c

di

i ac

bd

c

c di

bc

ad


ac

bd


bc

ad

c














c
2

d
2


2

d

2

2

d
2

i

（类似于无理数除法的

4.常见的运算规律


分母有理化



虚数除法的 分母实数化 ）






(1) z

(3) z z

z

2

(2) z

z

2a, z

2

z

2bi;





z

2

z

a
2


b
2
(4) z

z;(5) z

zz R;(6) i
4 n 1

1

i

1

i

i ,


i ,i
4 n 2



2




1,i
4 n 3

i, i
4 n 4

1;

1 i

i ,


(7)




1 i


i


(8)

i

1

i

1

i

2

(9)

设


1

2

3i

是 1 的立方虚根，则


1

2

0
，

3n 1

,
3n 2
,
3 n 3
1


- 4 -

基础练习：



1．若
z

A.


cos


i sin

（
i
为虚数单位），则
z
2





1
的


值可能是

D.





















B.









C.

2．复数
4
6


3i

4


）



3









2





的实部是（







1+2i

A ．
2

B ．
2


C． 3

D ．
4






3．设 z 的共轭复数是
z
，若 z+
z
=4, z·
z
＝8，则 等于










z
















z

C ± 1

）

C.
A. i


B -i

D. ± i


4．
f (x)
=ax
3
+3x
2
+2 ，
f

A.
(

1)

4

，则 a=（



10

3







B.

13


3




16

3

D.

19

3












5．曲线
y

x
3

在

P

点处的切线斜率为

B.


k, 若 k=3，则 P 点为（

）


A.（－ 2，－ 8）


（－ 1，－ 1）或（ 1， 1） C. （ 2， 8） D. （


1

2

，

1

8

）









6．曲线
y



1
x

3
x
2

5
，过其上横坐标为

1 的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（

3



4




3


3









）




A.
6

B.



C.


D.

4

7．函数
f ( x)
x
3

)


3x
2
1
B.


是减函数的区间为 (

)

D.


A.
(2,

8．关于函数
(

,2)

C.
(

,0)

(0, 2)

）


f ( x)
2x
3

6x
2

， 0）内，

7
，下列说法不正确的是（


A．在区间（


f( x)
为增函数

B ．在区间（ 0， 2）内，
f ( x)
为减函数


C．在区间（ 2，


9．已知函数



















）内，
f ( x)
为增函数

D ．在区间（

， 0）

(2,


)
内 ,

f ( x)
为增函数

y
xf (x)

的图象如右图所示 ( 其中
）


f'( x)

是函数

f ( x)

的导函数 ) ，下面四个图象中


y f ( x)

的图象大致是（


- 5 -

10.若 f x

11.曲线 y



'

，则
f

x

esin x
x



9

x
2



2

3 与
y



2 x
3

在

x x
0

处的切线互相垂直，则



x

0


=












在
x

3
时取得极值，则

a

=

x
3


ax
2

3x


，已知

2

3
3

2
12

5

13.

函数

y


x


x


x


在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是

,


12.

函数
f ( x)


9
f (x)
14.

已知函数
f (x)




1nx

ax




1

a

x


1(a R).










（Ⅰ）当
a


1时，求曲线
y


1
2

f (x)在点(2, f (2))处的切线方程；

（Ⅱ）当

a
≤

时，讨论
f (x)
的单调性．
































2和 x 1
为

f ( x)

的极值
15.

设函数
f (x) x
2
e
x 1

（ 1）求




















ax
3

bx
2

，已知
x


点。

的单调性；

a, b
的值；

（2）讨论
f (x)

- 6 -