高二数学选修2-12-22-3知识点

uruur
uruur
|n
1
?n
2
|
ruur
（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；
二面角
| cos
?
|?|cos?n
1
,n
2
?|?
u|n
1
||n
2
|
③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝 角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无
需说明理由））
5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
uuurr
r
|PA?n|
r
P到平面
?
的距离
d?
（其中
A
是平面
?
内任一点，
n
为 平面
?
的法向量）
|n|
6. 立体几何解题一般步骤
坐标法： ①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量
的坐标；④向量运 算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。
基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；② 将向量用基底表示；③向量运算；④
将向量形式的结果转化为最终结果。
几何法：作、证、求
异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；
线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；
二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.

选修2-2
第一章 导数及其应用
?y
f(
x
0
??x)?f(x
0
)
?
1. 平均变化率
?x?x
2. 导数（或瞬时变化率）
f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
导函数(导数)：
f
?
(x)?lim

?x?0
?x
3. 导数的 几何意义：函数
y
＝
f
(
x
)在点
x
0< br>处的导数
f
?
(
x
0
)就是曲线
y
＝
f
(
x
)在点(
x
0
，
f
(< br>x
0
))处的切
线的斜率，即
k
＝
f
?(
x
0
)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(
C
)′＝0(
C
为常数)； ②(
x
)′＝
?
x
xx
?
?
?1
(
x
＞0，< br>?
?Q
)； ③(sin
x
)′＝cos
x
；
xx
④(cos
x
)′＝－sin
x
； ⑤(e)′＝e； ⑥(
a
)′＝
a
ln
a
(
a
＞0，且
a
≠1)；
⑦
(lnx)?
1
1
； ⑧
(loga
x)?
(
a
＞0，且
a
≠1)．
xlna
x
(2)导数的运算法则：
①[
u
(
x
)±
v
(
x
)]′＝
u
′(
x
) ±
v
′(
x
)； ②[
u
(
x
)
v
(
x
)]′＝
u
′(
x
)< br>v
(
x
)＋
u
(
x
)
v
′ (
x
)；
③
[
u(x)u
?
(x)v(x)?u (x)
?
v
?
(x)
]
?
?(v(x)?
?
0)
.
v(x)v
2
(x)
5. 设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
处有导数
y?
u
?f?
?
u
?
，则复合 函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处也有导数，且
y '
x
?y'
u
?u'
x
或

f?< br>x
(
?
(x))?f?(u)?
?
?(x)
。复合函 数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的
选取，以及 区间的分割.微积分基本定理
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b< br>?F(b)?F(a)
.
a
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性 （1）设函数
y?f(x)
在某个区间（a，b）可导，如果
f
(x)< br>?0
，则
f(x)
在此区间上为增函数；
如果
f
(x )?0
，则
f(x)
在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间内恒有f
(x)?0
，则
f(x)
为常数。
★★★反之，若已知可导 函数
y?f(x)
在某个区间上单调递增，则
可导函数
y?f(x)
在某个区间上单调递减，则
求单调性的步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)?0或f'(x)?0
；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间 形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不
能用“
U
”连结。
8. 极值与最值
对于可导函数
f(x)
，在
x?a
处取 得极值，则
f'(a)?0
.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若
f(x)
在开区间
(a,b)
有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)=0
；
③ 检验
f'(x)=0
的根的两侧的
f'(x)
符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极
值点.
求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某
某就是最大 或者最小。
9. 恒成立问题 “
f(x)?a?f(x)
max
?a”和“
f(x)?a?f(x)
min
?a
”，注意参数的取值中
“=”能否取到。
例1
y
'
'
'
f'(x)
?
0
，且不恒为零；
f'(x)
?
0
，且不恒为零.
1
8
?x
3
，过
P(2 , )
的切线方程为
3
3
32
例2 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1,x?2
处取得极值。

（1）求
a,b
的值；
（2）若对于任意的
x?[ 0,3]
，都有
f(x)?c
成立，求c的取值范围。
（答：(1)a=-3,b=4;(2)
c?(??,?1)U(9,??)
） 2
1
3
x?2ax
2
?3a
2
x?b,0?a ?1.

3
（1）求函数
f(x)
的单调区间、极值.
（2）若当
x?[a?1,a?2]
时，恒有
|f
?
(x) |?a
，试确定a的取值范围.
（答：（1）
f(x)
在（a，3a）上单 调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减；
x?a
时，
44
f< br>极小
(x)?b?a
3
，
x?3a
时，
f
极 小
(x)?b
（2）a的取值范围是
[,1)
）
35
例3 设函数
f(x)??

第二章 推理与证明
1. 分清概念：合情推理与演绎推理
2. 综合法 分析法的步骤规范
3. 反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论
4. 数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤
（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1） （2），结论对于
n?N*
(或者其他)成立，必不可
少）
sin
?

1?cos
?
例2 已知
a?b?c?0，求证：ab?bc?ca?0

3a
n
1
例3
数列
?
a
n
?< br>中，a
1
?,a
n?1
?
，求
a
2
,a
3
,a
4
的值，由此猜想
?
a
n
?< br>的通项公式，并证明。
2a
n
?3
3
（答：
a
n
?
）
n?5
例1 用综合法和分析证明
2sin2
?
?

第三章 数系的扩充与复数的引入
uuur
1. 复数的概念 三种表示形式：代数 形式：
z?a?bi
，复平面内点Z(a,b)，向量
OZ
.
2. 区分实数，虚数，纯虚数，复数
3. 复数的四则运算及其几何意义
4. 复数的模
例1
a?bi?c?di
（
a,b,c,d?R
）的充要条件是_ ________________________
例2 设复数
z
满足条件
z?1,
那么
z?22?i
的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）
1?22
（D）
23


m?6
?
1
?
?i
?
?(8m?15)i?
例3 实数
m
为何值时，复数
z?m
2
?
．
m?5
?
m?5
?
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限.
z
2
?az?b< br>例4．已知
z?1?i，a，b
为实数．（1）若
?
?z?3z?4< br>，求
?
；（2）若
2
?1?i
，求
a
，b
z?z?1
的值．


2

数学选修2－3

第一章 计数原理
知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1< br>种不同的方法，在第
二类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有 M
N
种不同的方法，
那么完成这件事情共有M
1
+M
2+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第< br>二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同的方法.那么完成 这件事
共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、排列：从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤n
)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素
．．．．．．
中取出
m
个元素的一个排列
4、排列数：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m )!
5、组合：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个组 合。

m
m
A
n
(n
?
?
1)n m
?
?
1
1
1
?
)?
(
(n?
?m)
)
m
m
n!
n!
n
A
n
n(
n
6、组合数：
C??C?
C
m
??C?
n
m
m
n
n
m(n
!
?m)!
m )!m!
!
(n?
A
m
A
m

m!
m

m
n
n?m
C
m
n?C
n
;

m?1mm

C
n
?C
n
?C
n?1

n0n1n?12n?22rn?rrnn

a?b)?Ca?Cab?Cab?…? Cab?…?Cb
nnnnn
7、二项式定理：
(
rn?rr
8、二 项式通项公式
展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)
r?1n

第二章 随机变量及其分布

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的
不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、
η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按
一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、
3、离散型随机变 量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,... .. ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,......）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则 称表为离散
型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ； ② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．

5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中06、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N )
件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?(k?0,1,2,L,m)
，
n
C
N
其中
m?min
?
M,n
?< br>,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，
叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
公式：
P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)


8、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,
这样的两个事件叫做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)


9、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

10、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p， 那么在n次
kkn?k
?C
n
pq
P(
?
?k)< br>独立重复试验中 （其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是
离散型随机变量。

2 22
13、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)·P
1
+（x
2
-Eξ)·P
2
+......+（x
n
-Eξ)·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简
称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布
二项分布，ξ ～ B（n,p）

期望
Eξ=p
Eξ=np
方差
Dξ=pq，q=1-p
Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

15、正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?

?
1
e
2
??
(x?
?
)
2
2
?
2< br>,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。

16、基本性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.

③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当曲线向左、
右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
?
越小，
曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中．

⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.

17、 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有%,在
(
?
?3< br>?
,
?
?3
?
)
以外取值的
概率只有% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在
一次试验中几乎 是不可能发生的.


第三章 统计案例
独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：

x
1

x
2

总计

y
1

a

c

a+c

y
2

b

d

b+d

总计

a+b

c+d

a+b+c+d

若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是 否有关系，并
且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2 的值（即
222
K的平方） K = n (ad - bc) [(a+b)(c+ d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K
的值越大，说明“X与Y有关系 ”成立的可能性越大。
222
K≤时，X与Y无关； K>时，X与Y有95%可能性有关；K>时X与Y有99%可能性有关

回归分析
?
?a?bx
回归直线方程
y
?
xy?
n
?
x
?
y
?
(x?x)(y?y)
,
SP
其中
b?
a?y?bx

??
1
S S
?
(x?x)
x?
?
n
(
?
x)
22
2
x
1


数学选修4-4
极坐标 x
?
?
?
?x,(
?
?0),
的作用下，1． 伸缩变换：设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:< br>?
?
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0).
点
P(x,y)
对应到点
P
?
(x
?< br>,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸 缩
变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点
O
，叫做极 点；自极点
O
引一条射线
Ox
叫做极轴；再选定
一个长度单位、一个 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，
这样就建立了一个极坐标系。

3．点
M
的极坐标：设
M
是平面内一点，极点
O
与 点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径，记为
?；
以极轴
Ox
为始边，射线
OM
为终边的
?xOM叫做点
M
的极角，记为
?
。有序
数对
(
?,
?
)
叫做点
M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
)
. 极坐标
(
?
,
?
)< br>与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
? R)
.

4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(?
,
?
)
关于极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一
点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?< br>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)< br>表示；同
时，极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也 是唯一确定的。


5．极坐标与直角坐标的互化：
?
2?x
2
?y
2
,x?
?
cos
?
,< br>

y

y?
?
sin
?
,tan
?
?(x?0)

x

6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
在极坐标系中，以
C(a,
?
2
)
(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asin
?
；

7.在极坐标系中，
?< br>?
?
(
?
?0)
表示以极点为起点的一条射线；
?< br>?
?
(
?
?R)
表示过极点的一条
直线.
在极坐标系中，过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线
l
的极坐 标方程是
?
cos
?
?a
.








参数方程

1.参数方 程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t< br>的
?
x?f(t),
并且对于t
的每一个允许值，由这个方程所确定的点
M(x,y)
?
y?g(t) ,
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数，简称参数。
函数
?

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

?
x?a?rcos
?
,
(
?
为参数)
.
y?b?rsin
?
.
?
?
x?acos
?
,
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)< br>.
ab
?
y?bsin
?
.
?
x?2px
2
,
2
抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
(t为参数)
.
?
y?2pt.
2．圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程可表示为?
222
?
x?x
o
?tcos
?
,
经过点
M
O
(x
o
,y
o
)
，倾斜角为< br>?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
（
t
为参 数）
y?y?tsin
?
.
o
?
.
3．在建立 曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必
须使
x ,y
的取值范围保持一致.