高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)

选修2-2 期中测试卷

（本科考试时间为120分钟，满分为100分）
说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
班级 姓名
第I卷

一．选择题
1．在“近 似替代”中，函数
f(x)
在区间
[x
i
,x
i?1
]
上的近似值（ ）
（A）只能是左端点的函数值
f(x
i
)
（B）只能是右端点的函数值
f(x
i?1
)

（C）可以是该区间 内的任一函数值
f
?
?
i
?
(
?
i
?[x
i
,x
i?1
]
）（D）以上答案均正确
22< br>2．已知
z
1
?m?3m?mi，z
2
?4?(5m?6)i
，其中m为实数，i为虚数单位，若
z
1
?z
2
?0
，则m的
值为 （ ）
(A) 4
3．设
S(n)?
(B)
?1
(C) 6 (D) 0
11111
????L?
2
(n?N
*
)
，当
n?2
时，
S(2)?
（
C
）
nn?1n?2n?3n
1
11
Ａ． Ｂ．
?

2
23
1111111
Ｃ．
??
Ｄ．
???

234
2345< br>4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（
B
）
A、假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

5．给出以下命题：
⑴若
?
b
a
f(x)dx?0
，则
f
(
x
)>0； ⑵
?
2
?
0
sinxdx?4
;
⑶已知
F
?
(x)?f(x)
，且
F
(
x
)是以
T
为周期的函数，则
其中正确命题的个数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.0
?
a
0
f(x) dx?
?
a?T
T
f(x)dx
；
6．若
f(x
0
)??3
'
，则
h?0
lim
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)
?
h
（
B
）
A．
?3
B．
?12
C．
?9
D．
?6

7.已知
x?1,y?1
,下列各式成立的是 （
D
）
（A）
x?y?x?y?2
（B）
x?y?1
（C）
x?y?1
（D）
xy?1?x?y

22

8. 定积分
?π
2
0
sin
2
x
dx
的值等于（ A ）
2
B．A．

π1
?

42
π1
?

42
3
C．
1π
?

24
D．
π
?1

2
【第9题2选1】9.曲线< br>y?x?3x?2
上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（ ）
A．
[
33
,??)
B.
(,??)
C.
(?3,??)
D.
[?3,??)

33
2
9.设
P
为曲线< br>C
：
y?x?2x?3
上的点，且曲线
C
在点
P处切线倾斜角的取值范围为
?
0，
?
，则点
P
横
坐标的取值范围为（ ）
?
?
?
?
4
?
?
?
A．
?
?1，
2
?

?
?
1
?
B．
?
?1，0
?
C．
?
01，
?

1
?
D．
?
，
?
1
?
?
2
?
10. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
，
a
2
?3
，
a
n?2
?|a
n?1
?a
n
|
，则
a
2016
＝（ ）
A．1 B.2 C.3 D.0
11. 已知函数
f(x)?x
2
?bx
的图象在点
A(1 ,f(1))
处的切线的斜率为3，数列
?
的前
n
项和为
S
n
,则
S
2011
的值为（D ）
?
1
?
?

f(n)
?
?
A.< br>2008
2009
B.
2009
2010
C.
201 0
2011
D.
2011

2012
3
a
，类比上述命题，棱长为
a
2
12. 平面几何中，有边长为
a
的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
的正四面体内任一 点到四个面的距离之和为（ B ）
Ａ．
4
a

3
Ｂ．
6
a

3
Ｃ．
5
a

4
Ｄ．
6
a

4
第Ⅱ卷

二．填空题
1?i1?i
?
，则复数z=
1?i1?i
14．已知等腰梯形
OABC
的顶点
A，B
在复平面 上对应的复数分别为
1?2i
、
?2?6i
，且
O
是坐标原 点，
OA∥BC
．求顶点
C
所对应的复数
z

【15题2选1】15.已知可导函数
f(x)(x?R)
的导函数
f'(x )
满足
f'(x)?f(x)
，则当
a?0
时，
13．若 复数
z?
f(a)
和
e
a
f(0)
（
e< br>是自然对数的底数）大小关系为

15.若函数
f(x)?
4x
在区间
(m，2m?1)
上是单调递增函数，则实数
m
的取值范围是 ．
x
2
?1
答案：
?1?m
≤
0


16.仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠 放而
成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 91

三 解答题（本大题共5小题，共54分）
17（本小题满分10分）
(1) 求定积分
?
1
?2
x
2
?2dx
的值； 【2选1】(2)若复数
z
1
?a?2i(a?R)，
z
2
?3?4i
，
且
z
1
为纯虚数，求
z
1

z
2
2
（2）已知复数
z
满足
z?z?zi?< br>2
??
3?i
，求
z
．
2?i
由已知得
z?z?zi?1?i
，
设
z?x?yi,
?
x,y?R
?

代人上式得
x?y?2xi?1?i

22
??
1
?
x??
?
?
x?y?1
?
2
所以
?
，解得
?
?
2x??1
?
y??
3
?2
?
22
故
z??



13
?i

22
18.【3选1】
（1）已知
a
，
b
是正实数，求证：

a
b
?
b
a
?a?b

只需证
aa?bb?ab(a?b)

ab(a?b)
即证
(a?b?ab)(a?b)?
即证
a?b?ab?ab

2
即证
a?b?2ab
，即
(a?b)?0

该式显然成立，所以
a
b
?
b
a
?a?b

（2）求证：(1)
a
2
?b
2
?3?ab?3(a?b)
;
证明：（1） ∵
a
2
?b
2
?2ab
,
a
2
?3?23a
,
b
2
?3?23b
;
将此三式相加得
2
(a
2
?b
2
?3)?2 ab?23a?23b
,
∴
a
2
?b
2
?3?ab?3(a?b)
. （3）已知
a,b,c
均为实数，且
a?x
2
?2y?
?
2
,b?y
2
?2z?
?
3
,c?z
2
?2x?
?
6
，
求证：
a,b,c
中至少有一个大于0.
证明：（反证法）
假 设
a,b,c
都不大于0，即
a?0,b?0,c?0
，则
a?b? c?0
，
因为
a?x
2
?2y?
πππ
,b?y
2
?2z?,c?z
2
?2x?

236
?a?b ?c?(x
2
?2y?
πππ
)?(y
2
?2z?)?(z
2
?2x?)

236
?(
x
?1)
2< br>?(
y
?1)
2
?(
z
?1)
2
?
π
?3?0
即
a?b?c?0
，与
a?b?c?0
矛盾，故假设错误，原命题成立.

19.设
y?f(x)
是二次函数，方 程
f(x)?0
有两个相等的实根，且
f
?
(x)?2x?2
．
（1）求
y?f(x)
的表达式；
（2）若直线
x??t( 0?t?1)
把
y?f(x)
的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求
t
的值．
解：（1）设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，
则
f
?
(x)?2ax?b
．
2

由已知
f
?
(x)?2x?2
，得
a?1
，
b?2
．
?f(x)?x
2
?2x?c
．
又方程
x?2x?c?0
有两个相等的实数根，
2
???4?4c?0
，即
c?1
．
故
f(x)?x?2x?1
；
（2）依题意，得
2
??t
?1
(x?2x?1)dx?
?
(x
2
?2x?1 )dx
，
?t
2
0
?
1
?
?
?
x
3
?x
2
?x
?
?
3
?
?t
?1
?
1
?
?
?
x
3
?x
2
?x
?
?
3
?
0
?t
， 32
整理，得
2t?6t?6t?1?0
，即
2(t?1)?1?0，
3
?t?1?






1
．
3
2
x
（1）求
f(x)
的单调区间； （2）求曲线y?f(x)
在点（1，
f(1)
）
x?1
b
处的切线 方程；（3）求证：对任意的正数
a
与
b
，恒有
lna?lnb?1 ?
．
a
20.已知函数
f(x)?ln(x?1)?









*
21.已知数 列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n?1?na
n
(n?N)
．
（1）计算
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
；
（2）猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解：（ 1）依题设可得
a
1
?
11111111
???
，
a
2
??
，
a
3
?
，
a
4
?
；
21?262?3123?4204?5

（2）猜想：
a
n
?
1
．
n(n?1)
证明：①当
n?1
时，猜想显然成立．
②假设
n?k(k?N)
时，猜想成立，
即
a
k
?
*
1
．
k(k?1)
那么，当
n?k?1
时，
S
k?1
?1?(k?1)a
k? 1
，
即
S
k
?a
k?1
?1?(k?1)ak?1
．
又
S
k
?1?ka
k
?
所以
k
，
k?1
k
?a
k?1
?1?(k?1)a
k?1
，
k?1
11
?
．
(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)? 1]
从而
a
k?1
?
即
n?k?1
时，猜想也成立 ．
故由①和②，可知猜想成立．








2
21（本小题满分12分）设数列
?
a
n< br>?
满足
a
n?1
?a
n
?na
n
? 1,n?1,2,3,L,

（1） 当
a
1
?2
时，求< br>a
2
,a
3
,a
4
，并由此猜想出
?
a
n
?
的一个通项公式；
（2） 当
a
1
?3
时，证明对所有
n?1
，有 ①
a
n
?n?2
②



1111
??L?

1?a
1
1?a
2
1 ?a
n
2
x
3
?x
2
?3x?3a(a?0)（12分） 18、设函数
f(x)?
3
（1）如果
a?1
，点 P为曲线
y?f(x)
上一个动点，求以P为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程； （2）若
x?[a,3a]
时，
f(x)?0
恒成立，求
a的取值范围。

解：（1）设切线斜率为k,则
k?f(x)?x?2x? 3.当x=1时，k有最小值-4
。
又
f(1)??
'2
2929
（6分）
,所以切线方程为y???49x?1),即12x?3y?17?0
。
33

若x?[a,3a]时，f(x)?0恒成立，则：

?
0?a?3?3a< br>?
0?a?3a?3
?
a?3
（1）或(2)或(3)
???
f(3a)?0f(3)?0f(a)?0
??
?
（1），（2） 无解，由（3）解得
a?6
，综上所述。



20． 已知函数
f(x)?alnx?ax?3(a?R)
．
（Ⅰ）当
a?1
时，求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ） 若函数
y?f(x)
的图像在点
(2,f(2))
处的切线的倾斜角为
45?
，问：m在什么范围取值时，
对于任意的
t?[1,2]
，函数g(x)?x?x[
32
m
?f'(x)]
在区间
(t,3)< br>上总存在极值？
2
p?2e
?3
，若在区间
[1,e]上至少存在一个
x
0
，使得
x
（Ⅲ）当
a?2
时，设函数
h(x)?(p?2)x?
h(x
0
)?f(x
0
)
成立，试求实数
p
的取值范围．

解（Ι）由
f'(x)?
a(1?x)
(x?0)
知：
x
当
a?1
时，函数
f(x)
的单调增区间是
(0,1)< br>，单调减区间是
(1,??)
；
（Ⅱ）由
f'(x)??
a 2
?1
得到
a??2
，故
f(x)??2lnx?2x?3,f'( x)?2?
，
2x
g(x)?x
3
?x
2
[< br>mm
?f'(x)]?x
3
?(2?)x
2
?2x,g'(x )?3x
2
?(4?m)x?2

22

因为
g(x)
在区间
(t,3)
上总存在极值，且
1?t?2
，所以?
?
g'(2)?0
，解得：
g'(3)?0
?
?< br>3737m
?m??9
，故当
??m??9
时，对于任意的
t ?[1,2]
，函数
g(x)?x
3
?x
2
[?f'(x) ]
在
332
区间
(t,3)
上总存在极值。
（Ⅲ）f(x)?2lnx?2x?3
，令
F(x)?h(x)?f(x)?px?
p2 e
??2lnx

xx
①当
p?0
时，由
x?[1 ,e]
得到
px?p?0,?
2e
?2lnx?0,
所以在
[1,e]
上不存在
x
0
，使得
x
h(x
0
)?f(x
0
)
成立；
px
2
?2x?p?2e2
②当
p?0
时，
F'(x)?
，因为
x?[1,e]
，所以
2e?2x?0,px?p?0
，
2
x
F'(x)? 0
在
[1,e]
上恒成立，故
F(x)
在
[1,e]
上单调递增。
F(x)
max
?F(e)?pe?
4e
,??)
。
2
e?1
1
(x?2a)
2
．
2
pp4 e
?4
，由题意可知
pe??4?0
，解得
p?
2
，所以
p
的取植范围是
ee
e?1
(
21.已知
a ?0
，设函数
f(x)?alnx?2a?x?2a
，
g(x)?
（ I）求函数
h(x)?f(x)?g(x)
的最大值；
（II）若
e
是自然对数的底数，当
a?e
时，是否存在常数
k
、
b
， 使得不等式
f(x)?kx?b?g(x)
对
于任意的正实数
x
都成 立？若存在，求出
k
、
b
的值，若不存在，请说明理由．
解：（I）∵
h(x)?alnx?
1
2
x

(x?0)
， ………………（2分）
2
a (x?a)(x?a)
∴
h
?
(x)??x??
．
xx
x

(0,a)

(a,??)

a

+ 0 -
h
?
(x)

h(x)

极大值
?

?

∴当
x?a
时，函数
h(x)
取最大值
alna?a
； ………………（4分）
2
（II）当
a?e
时，
h(x)?f(x )?g(x)
的最大值是0，
即
f(x)?g(x)
，当且仅当
x?e
时取等号， ………………（6分）

函数
f(x)
和
g(x)
的 图象在
x?e
处有且仅有一个公共点
(e,)
，
∵
f?
(x)?
e
2
e
?2e
，函数
f(x)的图象在
x?e
处切线斜率是
k
f
??e
，
x
∵
g
?
(x)?x?2e
，函数
g(x)
的图象 在
x?e
处切线斜率是
k
g
??e
，
∴
f(x)
和
g(x)
的图象在
x?e
处有公共切线方程为
y ??ex?
3e
，
2
………………（8分）
ee(x?e)
3ee

)?elnx?ex?，
F
?
(x)??e??
设
F(x)?f(x)?(?ex?< br>22
xx
x

(0,e)

e

(e,??)

F'(x)

+ 0 -
F(x)

?

极大值
?

∴当
x?e
时，函数
F(x)
取得最大值
0
，∴
f(x)?? ex?
3e
2
恒成立；
………………（10分）
∵
g(x)?(?ex?
3e
2
)?1e1
2
x
2
?ex?
2
?
2
(x? e)
2
?0
，
∴
g(x)??ex?
3e
2
在
x?R
时恒成立；
∴当
a?e
时，
k??e
，
b?
3e
2< br>． ………………（12分）





新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案
一 选择题
1 C 2 B 3 D 4 D 5 A 6 B 7D 8C 9 D 10 A 11A
二 填空题
13 1-i 14
n
2
?n?2
2
15 -2 16 -1
三 解答题
17(1)
1?82
3
（2）
10
3

18 当高
h?
323
3
l
时，
V?
?
3
max
27
l

19 （1）单调增区间
(0,??)
，单调减区间
(?1,0)

12 C

（2）切线方程为
x?4y?4ln2?3?0

（3）所证不等式等价为
ln
而f(x)?ln(1?x)?
ab
??1?0

ba
11
?1
，设
t?x?1,
则
F(t)?lnt??1
，由（1）结论 可得，
x?1t
F(t)在(0,1)单调递减，在(1,??)单调递增，
由此F(t)
min
?F(1)?0
，所以
F(t)?F(1)?0
即
1a
F(t)?lnt??1?0
，记
t?
代入得证。
b
t
20 （选做题：从两个不等式任选一个证明，当两个同时证明的以第一个为准）
2
2
a
1
?a
2
?La
n
+b< br>1
?b
2
?Lb
n
a
n
a
1
2
a
2
（1）证：左式=
()(??L)

4a
1
?b
1
a
2
?b
2
a
n
?b< br>n
2
2
a
n
a
1
2
a
2< br>1
=
?
(a
1
?b
1
)?(a
2< br>?b
2
)?L?(a
n
?b
n
)
?
(??L)

4a
1
?b
1
a
2
?b2
a
n
?b
n
1
?
?
?
a< br>1
?b
1
4
?
?
=
a
1
a
1
?b
1
?a
2
?b
2
a
2a
2
?b
2
?L?a
n
?b
n
?a
n
?

a
n
?b
n
?
?< br>2
1
(a
1
?a
2
?La
n
)2
?1

4
（2）证：由排序不等式，得：
2222
a
1
2
?a
2
?L?a
n
?a
1
a
2
?a
2
a
3
?L?a
n
a
1
，
a
1
2
?a
2
?L?a
n
?a
1
a
3
?a
2
a
4
?L?a
n< br>a
2

222
两式相加：
2(a
1
?a2
?L?a
n
)?a
1
(a
2
?a
3
)?a
2
(a
3
?a
4
)L?a
n
(a
1
?a
2
)
，从而
22
2(a
1
2
?a
2
?L?a
n
)(
a
n
a
1
a
2
??L?)?
a
2
?a
3
a
3
?a
4
a
1
?a
2
a
na
1
a
2
??L?)
a
2
?a
3a
3
?a
4
a
1
?a
2

?
a
1
(a
2
?a
3
)?a
2
(a
3
?a
4
)L?a
n
(a
1
?a
2
)
?
(
?(a
1
?a
2
?La
n
)
2
，即证。
21