高中数学选修2-2模块综合测试题-(2)

高中数学选修2-2模块综合测试
题-(2)

高中数学选修2-2模块综合测试题
一、选择题（60分）
?
3－i
?
?
2
＝( ) 1．(2010·全国Ⅱ理，1)复数
?
?
1＋i
?
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
2曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2所围成的三
3
角形的面积为（ ）
7
（A）
8
（B） （C）
33
5
3
（D）
4
3
3、已知直线
y?kx
是
y?lnx
的切线，则
k< br>的值为
（ ）
12
（A）
1
（B）
?
（C）
eee
（D）
?
2

e
4. 已知
a?1?7,b?3?5,c?4
则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a
D．b>c>a
5. 有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数
f(x)
，如果
f
?
(x)?0
，那么
x?x
是 函数
f(x)
的极值点，因为函数
f(x)?x
在
x?0
处 的
导数值
f
?
(0)?0
，所以，
x?0
是函数< br>f(x)?x
的极值点.
00
3
3

2

以上推理中（ ）
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推
理形式错误 D．结论正确
6. .在复平面内, 复数1 + i与
1?3
i分别对应向量
OA
和
OB
, 其中
O
为坐标原点,则
AB
=（ ） A.
2

B.
2
C.
10
D.
4

7、函数
f(x)?
x
x
?1
（ ）
2
A．在
(0,2)
上单调递减 B．在
(??,0)
和
(2,??)
上单调
递增
C．在
(0,2)
上单调递增 D．在
(??,0)
和
(2,??)
上单调递减
n?k(k?N< br>*
)
8.某个命题与正整数有关，若当时该命
题成立，那么可推得当
n ?
k?1
时该命题也成立，
现已知当
n?5
时该命题不成立，那么可 推得
( )
(A)当
n?6
时，该命题不成立 (B)
当
n?6
时，该命题成立
(C)当
n?4
时，该命题成立 (D)
当
n?4
时，该命题不成立
9、用数学归纳法证明不等式
1 113
?????(n?2)
”时的过程中，由
n?k
到“
n
1
?1n?22n24
n?k?1
时，不等式的左边（ ）
3

（A）增加了一项
2(k
1
?1)
（B）
增加了两项
2k
1
?1
?
2(k
1
?1)

（C）增加了两项
2k
1
?1
?
2(k
1
?1)
，又减少了
k
1
；
?1
（D）增加了一 项
2(k
1
?1)
，又减少了一项
k
1
；
?1
10．已知f(x)＝x
3
＋x，若a，b，c∈R，且a＋
b>0， a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值
( )A．一定大于0 B．一定等于0
C．一定小于0 D．正负都有可能
3
32< br>11．若点P在曲线y＝x－3x＋(3－3)x＋上
4
移动，经过点P的切线的倾斜角 为α，则角α的
ππ2π
取值范围是( )A．[0，) B．[0，)∪[，
223
2πππ2π
π) C．[
，π) D．[0，)∪(，]
3223
12．(2010·江西理，5)等比数列{a
n< br>}中a
1
＝2，a
8
＝4，函数f(x)＝x(x－a
1)(x－a
2
)…·(x－a
8
)，则f′
(0)＝( )A．2
6
B．2
9
C．2
12

15
D．2
二、填空题（20分）
13、函数
f(x)?x
3
?3x?1
在闭区间
[?3,0]上的最大值与最
2
小值分别为：
14.由曲线
y?x
与
x?y
所围成的曲边形的面积为
2

4

________________
15．(2010·福建文，16)观察下列等式：
①cos2α＝2cos
2
α－1；
②cos4α＝8cos
4
α－8cos
2
α＋1；
③c os6α＝32cos
6
α－48cos
4
α＋18cos
2
α－1；
④cos8α＝128cos
8
α－256cos
6
α ＋160cos
4
α－
32cos
2
α＋1；
⑤cos1 0α＝mcos
10
α－1280cos
8
α＋1120cos
6< br>α
＋ncos
4
α＋pcos
2
α－1.
可以推测，
m
－
n
＋
p
＝________.
a
??
32
－∞，
?
16.
函数g(x)＝ax ＋2(1－a)x－3ax在区间
?
内单调递减，则a的取
3
?
?< br>值范围是________．

三、解答题（共6题，70分）
17．（10 分）设函数f(x)＝－ax
2
＋1＋x＋a，x∈(0,1]，
a∈R
*< br>.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范
围；
(2)求
f
(
x
)在(0,1]上的最大值．
18、(1 2分)如图，在四棱锥
O?ABCD
中，底面
ABCD
四
边长为1的 菱形，
?ABC?
?
,
4
OA?2
M
OA?底面ABCD
,
O
M
,为
OA
的中点，
N
为
BC
的中点
（Ⅰ）证明：直线
MN
‖
平面OCD
；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成

A
B
NC
D
5

角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。




19.

（12分）某商品每件成本9元，售价30 元，
每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以
增加，且每星期多卖出的商品件数与商品 单价的
降低值x （单位：元，0≤x≤30 ）的平方成正
比。已知商品单价降低2元时，一星期多卖出
24件。
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的
函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利
润最大？

20.（12分） 、已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?3
在
x?1
处取
得极值，且在
(0,?3)
点处的切线与直线
2x?y?0
平
行． (1）求
f(x)
的解析式；(2）求函数
g(x)?xf(x)?4x
g(x)?xf(x)?4x

的单调递增区间及极值。（3）求函数
在x?
?
0,2
?
的最值。
6

21、（14分）、设函数
f(x)?x?a(x?1)ln(x?1) ,(x??1,a?0)
.
（1）求
f(x)
的单调区间； （2）当
a?1
时，若方程
f(x)?t
在
[?
1,1]
上有两个
2
实数解，求实数t的取值范围；
（3）证明：当m> n>0时，
(1?m)
22（14分）、数列{
a
n
}的通项
下规律：
a
1
= 1＝1
a
1
+a
2
= 1－4＝－3＝－（1＋2）
a
1
+a
2
+a
3
= 1－4＋9＝6＝＋（1＋2＋3）
……
试写出求数列{
a
n
} 的前n项和
S
n
的公式，并用
数学归纳法证明。

n
?(1?n)
m
.
a
n
?(?1)
n?1
?n
2
，观察以






7

高中数学选修2-2复习题答案
一、 选择题（每题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C D A B B
二、填空题（每空5分）
9.
1112n?1
1?
2
?
2
?
L
??
23(n?1)
2
n?1
(
n
∈N
) ；10.

1?i
；
*
11.
1
；
3
12. 1＋a＋a
2
； 13.
(－∞，－1]
； 14.
44
C
12
C
8
4
C
4

a
13、【解析】 ∵g(x)在区间－∞，内单调递减，
3
?
a
?
2
∴g′(x)＝3ax＋4(1－a)x－3a在
－∞，
3?
?
?
?
?
?

8

上的函数值非正，
2?a－1?
由于a<0，对称轴x＝>0，故只需
3a
3
a
?
a4
?
g′
3
?
＝＋a( 1－a)－3a≤0，注意到a<0，
33
?
?
?
?
?
∴a
2
＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍
去)．
故所求
a
的取值范围是(－∞，－1]．

三、解答题
15.解：（1）当
m
当
m
2
?8m?15?0
2
?9m?18
＝0即m＝3或m＝6时，z为实
即m＝5时，z为纯虚
数； …………………………3分
，
m
2
?9m?18?0
数.…………………………6分
（2）当
?
m
2
?8m?15?0
?
2
?
m?9m?18?0
3?m?5
即
?
即3 ?
3?m?6
?
象限. ……………12分
16.
解：记一星期 多卖商品
kx
2
件，若记商品在一个星期的获利为
f(x)
，则f(x)?(30?x?9)(432?kx
2
)?(21?x)(432?kx
2
)

又有条件可知
24?k?2
2
解得
k?6
所以
f (x)??6x
3
?126x
2
?432x?9072,x?
?0,30
?

（2）由（1）得
f

(x)??18x< br>2
?252x?432??18(x?2)(x?12)

所以
f(x)
在（0，2）递减（2，12）递增（12，30）递减

9

所以
x?12
时
f(x)
取 极大值，又
f(0)?9072,f(12)?11664
所以定价
30-12=18 （元）能使一个星期的商品销售利润最大。
17、(1)由
由题设可得
,.所以
(2)由题意得
所以







427
,可得
即
.
,
.令





0


.
解得
,得

,.
所以函数的单调递增区间为,.在
有极小值为0
在有极大值427。
的最 大（3）由
g(0)?0,g(2)?2
及（2），所以函数
值为2，最小值为0。

10

20、解：通过观察，猜想S
n
= a
1
+a
2
+ a
3
+…+a
n
＝
(-1)
n+1
（1＋2＋3+ …+n）=
(?1)
n?1
n(n?1)
?

2

证明：（1）当n＝1时，S
1
= a
1
＝1，而
(?1)
n?1
?
n(n?1)1(1?1)
?(?1)
2
?1
22
∴当n＝1时，猜想成
立 ……………………………
………6分
（2）假设当n=k(k≥1，
k?N
)时，猜想成立，
*
即S
k
=
(?1)
k?1
?< br>k(k?1)

2
7分

11

那么S
k
(?1)
(k?1)?1
?(k?1)
2

＋
1
=S
k
＋a
k+1
=
(?1)
k? 1
?
k(k?1)
2
＋
……………9分
分

=
(?1)
k?2
?
(k?1)
[(?1)
?1< br>k?2(k?1)]
………………………11
2

=
(?1)
k?2
?
(k?1)(k?1)[(k?1)?1](k?2)?(?1)
(k?1)?1
?

22
……12分
这就是说当n=k+1时，猜想也成立.13分 据(1)(2)
知，对任意
n?N
猜想都成立…14分
*

12