高中数学选修2-3：二项分布正式版

2.4 二项分布
学习目标：
1．理解n次独立的重复试验的模型（n重伯努利试验）及其意义．
2．理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

学习重点：
二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列．
学习难点：
二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列．
活动方案
活动一、问题情境 建构数学
1．情景：射击n次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击
条件不 变时，可以认为每次击中目标的概率p是不变的；
抛掷一颗质地均匀的筛子n次，每一次抛掷可能出现 “5”，也可能不出现“5”，
1
而且每次掷出“5”的概率p都是；种植n粒棉花种子，每一 粒种子可能出苗，
6
也可能不出苗，其出苗率是67%．
2．问题：上述试验有什么共同特点？
二、学生活动
由
n
次试验 构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的
状态，每次试验中P(A)＝p＞0．
三、建构数学
1．n次独立的重复试验．
一般地，由n次试验构成，且每次试验相 互独立完成，每次试验的结果仅有
两种对立的状态，即A与
A
，每次试验中P(A)＝ p＞0．我们将这样的试验称为n
次独立的重复试验，也称为伯努利试验．
思考 在n次独立 的重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p，那么，
在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率 是多少？
我们先研究下面的问题：射击3次，每次射中目标的概率都为p＞0．设随

机变量X是射中目标的次数，求随机变量X的概率分布．
分析1 这是一个3 次独立重复试验，设“射中目标”为事件A，则P(A)＝p，
P(
A
)＝1－p（记 为q），用下面的树形图来表示该试验的过程和结果（图略）．
由树形图可见，随机变量
X
的概率分布如下表所示．
X
P
0
q
3

1
3pq
2

2
3p
2
q
3
p
3

分析2 在X＝k 时，根据试验的独立性，事件A在某指定的k次发生时，其
k
余的(3－k)次则不发生，其概 率为p
k
q
3
－
k
，而3次试验中发生k次A的方式有C
3
种，
k
k3
－
k
故有P(X＝k)＝C
3
pq，k＝0，1，2，3．因此，概率分布可以表示为下表
X
P
0
0
3
C
3
q
1
2
C
1
3
pq
2
2
2
C
3
pq
3
3
C
3
3
p
一般地，在n次独立的重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为
p(0＜p＜1)，即P (A)＝p，P(
A
)＝1－p＝q．由于试验的独立性，n次试验中，事件
A在某指 定的k次发生，而在其余n－k次不发生的概率为p
k
q
n
－
k．又由于在n次试
验中，事件A恰好发生k次的方式有
C
k
n
种 ，所以在n次独立的重复试验中，事件
kn
－
k
A恰好发生k(0≤k≤n) 次的概率为P
n
(k)＝
C
k
，k＝0，1，2，…n，它恰好是< br>n
pq
(q＋p)
n
的二项展开式中的第k＋1项．
2．二项分布．
kn
－
k
若随机变量X的分布列为P
n< br>(X＝k)＝
C
k
，其中0＜p＜1，p＋q＝1，
n
pq
k＝0，1，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
活动二、数学应用
1．例题 ．
例1 求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率．
分析 将一枚均匀硬币随机抛掷100次 ，相当于做了100次独立的重复试验，
每次试验有两个可能结果，即出现正面(A)与出现反面(A
)，且P(A)＝0.5．
思考 “随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次反面”的概率是多少？

例2 设某保险公司吸收10 000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每
年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果已知每人每年意外
死亡的概率为0.006，问：该公司赔本及盈利额在400 000元以上的概率分别有多
大？
例3 一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件 ，如果取出的次品
不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布．
分析 由于题设 中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的
事件的准确含义，据此正确地计算概率p．
活动三、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．n次独立重复试验的模型及其意义；
2．二项分布的特点及分布列．



学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家 苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽
量 往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？ ”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：
每天甩手300下， 哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下 了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简
单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了 ？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们， 柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个
重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就 一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山 。正是因为他具
有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次 革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉
无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有 恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条
慢长而艰苦的道路，不 能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下 市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确
很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实 用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华 而不实，但最终肯定还是会回归
到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法， 而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维 测试和
视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特 点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法
章节的最 开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这 种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最
适合自己的有效的学习方法也能更 深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全 书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博
文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十 分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来 阅读学习。其内容从“时
间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题， 文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时 ，长
篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇 短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有
力武器。曾 经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由 搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无
疑是最好的结果，然而我们 会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积 极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越
走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬 套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼 。这是每个人都需要的，起码
在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点， 可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物 ，是本
工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本 书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲
主要包 括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全 书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技
能的准备，从认识自己的学习模 式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将 学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分
别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统 地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯 定会受益匪浅。在此，
说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我 对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要< /p>

应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这 样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里
做 过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上， 我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了
一些测试题目，然后根据结 果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉 的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近
的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接 的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还 有很多其他的道理，对我们
人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。 还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学 习
习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用 的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历
程，可以获得 持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不 会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，
游刃有余地攻克自己之前没接触的领 域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那 些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的
表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方 法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法， 定能在学习中得到
提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到 诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不
要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技 能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，
对自己的收益将难以估 量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念 读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就
看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接 把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三， 作者在书中提到各种学习的类型，
但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将 学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的 有些观点
就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难， 但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。