高中数学选修2-2综合测试题及答案

选修2-2综合测试题2
一、选择题
1．在数学归纳法证明“”时，验证当时，等式的左边为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．


2．已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
Ａ．或 Ｂ．

Ｃ． Ｄ．以上皆不正确
3．设，若，则的值分别为（ ）
Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1
4．已知抛物线通过点，且在点处的切线平行于直线，则抛物线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．

Ｃ．
Ｂ．
Ｄ．
5．数列满足若，则的值为（ ）
Ａ． Ｃ． Ｄ．
6．已知是不相等的正数，，，则，的关系是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不确定
7．复数不可能在（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
8．定义的运算分别对应下图中的（1），（2）， （3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下
列（ ）的运算的结果

Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．，
9．用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至 少有1个能被5整除．”则假设的内容
是（ ）
Ａ．，都能被5整除 Ｂ．，都不能被5整除
Ｃ．不能被5整除 Ｄ．，有1个不能被5整除
10．下列说法正确的是（ ）
Ａ．函数有极大值，但无极小值 Ｂ．函数有极小值，但无极大值
Ｃ．函数既有极大值又有极小值 Ｄ．函数无极值
11．对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
12．设在上连续，则在上的平均值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

二、填空题
13．若复数为实数，则的值为 ．
14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数
为 ．
15．函数在区间上的最大值为3，最小值为，则，的值分别为 ．
16．由与直线所围成图形的面积为 ．
三、解答题
17．设且，求的值．（先观察时的值，归纳猜测的值．）
18．设关于的方程，
（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；
（2）证明：对任意，方程无纯虚数根．
19．设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．（1）用表示；
（2 ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若，且，则．
21． 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，
且知当利率为时 ，存款量为亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设
存款的利率为，，则当为多少 时，银行可获得最大收益？
22．已知函数，数列满足，．
（1）求；
（2）猜想数列的通项，并予以证明．
参考答案
一、选择题：CCDAC,BABBBD
二、填空题：13、4， 14、61， 15、2,3 16、9
17、解：当时，；
当时，有；
当时，有，
而， ，． ．
当时，有．
由以上可以猜测，当时，可能有成立．

18、解：（1）设实数根为，则， 即．
由于，，那么又， 得
（2）若有纯虚数根，使，即，


由，，那么由于无实数解．
故对任意，方程无纯虚数根


19、解：（1）因为函数，的图象都过点，所以，即．
因为，所以． ，即，所以．
又因为在点处有相同的切线，
所以，而，，所以．
将代入上式得． 因此． 故，，．
（2），．
当时，函数单调递减．
由，若，则；
若，则．
由题意，函数在上单调递减，则或．
所以或．
又当时，函数在上不是单调递减的．
所以的取值范围为．
20、解：此命题是真命题． ，，，．
要证成立，只需证， 即证，也就是证，
即证． ，， 成立，
故原不等式成立．
21、解：由题意，存款量，又当利率为时，存款量为亿，即时，；由，得 ，那么，银行应支付
的利息，
设银行可获收益为，则，
由于，则，即，得或．
因为，时，，此时，函数递增；
时，，此时，函数递减；
故当时，有最大值，其值约为亿．
22、解：（1）由，得，
，

．
（2）猜想：，
证明：（1）当时，结论显然成立；
（2）假设当时，结论成立，即；
那么，当时，由，
这就是说，当时，结论成立；
由（1），（2）可知，对于一切自然数都成立．