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高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 02:56
tags:高中数学选修2

19年高中数学面试抽题-陈国栋 高中数学个人资料

2020年9月22日发(作者:施之皓)


数学选修2-2导数及其应用知识点必记
1.函数的平均变化率是什么?
答 :平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1:其中
?x
是自变量 的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么?
答:函数
y?f(x)

x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
,则称
?lim
?x?0
?x
?x?0?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限 叫做
y?f(x)

x
0
处的导数,记作
f
'(x
0
)

y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x ?0
?x
?x?0
?x
3.平均变化率和导数的几何意义是什么?
答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线
的斜率。
4导数的背景是什么?
答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些?
函数 导函数 不定积分
y?c

y'?
0
————————
x
n?1
?
xdx?
n?1

n
y?x
n
?
n?N
*
?

y'?nx
n?1


y?a
x
?
a?0,a?1
?

y'?alna

y'?e
x

x
a
x
?
adx?
lna

x
y?e
x

?
edx?e
xx

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y?lnx

y'?
1

xlna
1

x
————————
1
?
x
dx?lnx

y'?
y?sinx

y'?cosx

?
cosxdx?sinx

?
sinxdx??cosx

y?cosx

y'??sinx

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?


答:若
f
?x
?

g
?
x
?
均可导(可积),则有:
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?g (x)
?
'
'
?f
'
(x)?g
'
(x)

?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)

积的导数运算
特别地:
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

商的导数运算
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
?
1
?
?g'(x)
特别地:
?

?
'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x
?
?
复合函数的导 数
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?< br>
微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?

a
b
(其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?

和差的积分运算
?
b
a
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f2
(x)dx
aa
bb



特别地:
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x)dx?k< br>?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f (x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?
答:①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;
注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么?
答:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点,顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间,
并列成表格,检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在
这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x )在这个根处取得极小值;如果左
右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值


8.利用导数求函数的最值的步骤是什么?
答:求
f(x)

?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)

?
a,b
?
上的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个是最大值 ,最小的一
个是最小值。
注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤是什么?
答:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 (“以直代曲”的思想)
10.定积分的性质有哪些?
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1dx?b?a

a
b
a
bbbb
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
?
f(x)dx?0

① 推广:
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
?
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?f
2
(x)dx?
?
?
?
f
m
(x)

aaaa
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
?
?
f(x)dx
aac
1
c
k
bc
1
c
2
b
11定积分的取值情况有哪几种?
答:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还
可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定
积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;

(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定
积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相
反数;

(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的 值为
0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的
面积.

12.物理中常用的微积分知识有哪些?
答:(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。
(2)力的积分为功。
数学选修2-2推理与证明知识点必记
13.归纳推理的定义是什么?
答:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
.......


归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
....
14.归纳推理的思维过程是什么?
答:大致如图:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点有哪些?
答: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的
一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证
明和实验检验,因此,它不能 作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为 进一
步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么?
答:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他
方面也相似或相同,这 样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
....
17.类比推理的思维过程是什么?
答:
观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义是什么?
答:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照
严格的逻辑法则得到新 结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
....
19.演绎推理的主要形式是什么?答:三段论
20.“三段论”可以表示为什么?
答: ①大前题:M是P ②小前提:S是M ③结论:S是
P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指 出了一个
特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明?它包括哪几种证明方法?
答:直接证明是从命题的条件或结论出发, 根据已知的定义、公理、定理,直接
推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.什么是综合法?
答:综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替 前面的条
件,直至推出要证的结论。
23.什么是分析法?
答:分析法就是从所要 证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子,可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式:要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件. 分析法
和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。
24什么是间接证明?
答:即反 证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的
否定是错误的,从而肯定原结论是 正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么?
答:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;


(3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。
...
26常见的“结论词”与“反义词”有哪些?
原结论词 反义词 原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
对任意x不成立
p或q
p且q
反义词
存在x使成立
?p

?q

?p

?q

对所有的x都成立 存在x使不成立
27.反证法的思维方法是什么?答:正难则反
....
28.如何归缪矛盾?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛
................
盾.
29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤是什么?
...
?< br>nn?N
答:(1)证明:当n取第一个值
??
时命题成立;
00
....
(2)假设当n=k (k∈N
*
,且k≥n
0
)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
.....
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正 确
注:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么?
答:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
a
叫实部,
b
叫虚部,数集
....
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫 做复数集。
规定:
a?bi?c?di?
a=c且,强调:两复数不能比较大小,只 有相等或不相
....
b=d
...
等。
?
实数 (b? 0)
?
31.数集的关系有哪些?答:
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义是什么?答:复数与平面内的点或有序实数对一一 对应。
33.什么是复平面?
答:根据复数相等的定义,任何一个复数
z?a?b i
,都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。由于有序实数对
(a,b )
与平面直角坐标系中的点一一对应,因此
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一 对应。这个建立了直角坐标
系来表示复数的平面叫做复平面,
x
轴叫做实轴,
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都
表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
34.如何求复数的模(绝对值)?


答:与复数
z
对应的向 量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记 作
z或a?bi
。由模的定义可知:
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义是什么?
答:①复数的加、减法法则:
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
,则
z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i

注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
..
②复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i

③复数的除法法则:
a?bi(a?bi)(c ?di)ac?bdbc?ad
???i

c?di(c?di)(c?di)c2
?d
2
c
2
?d
2
其中
c?di< br>叫做实数化因子
36.什么是共轭复数?
答:两复数
a?bi与a?bi< br>互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;

2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z ?R

(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
?? 1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
( 7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
?
??i

?
1?i1?i
?
2
?
?1?3i
2
3n?1
?
?
,?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
?0

?
2
(9)

?
?

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