初中数学与高中数学-高中数学教学方法有什么
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变化率与导数
1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念
预习课本P2～6，思考并完成下列问题
(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？
[新知初探]
1．函数y＝f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率
Δy
f?x
2
?－f?x
1
?
(1)定义式：＝.
Δx
x
2
－x
1
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改
变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[
x
1
，
x
2
]上变化的快慢．
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(4)平均变化率的几何意义：
设A(x
1
，f(x
1
))，B(x
2
，f(x
2
))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率
Δy
f?x
2
?－f?x
1?f?x
1
＋Δx?－f?x
1
?
＝＝为割
ΔxΔx<
br>x
2
－x
1
线AB的斜率，如图所示．
[点睛] Δx是变
量x
2
在x
1
处的改变量，且x
2
是x
1
附近的任意
一点，即Δx＝x
2
－x
1
≠0，但Δx可以为正，也可
以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x
0
处的瞬时变化率
定义式
实质
作用
→0
li
Δx
m
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
Δy
＝lim
Δx
Δx
→
0
Δx
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
刻画函数在某一点处变化的快慢
[点睛] “Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
记法
实质
→0
li
Δx
m
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
Δy＝lim
Δx
Δx
→
0
Δx
f′(x
0<
br>)或y′|x＝x
0
函数y＝f(x)在x＝x
0
处的导数
就是y＝f(x)在x＝x
0
处的瞬时变化率
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x
0
处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) <
br>(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x
1
，x
2
]上变化快慢的
物理量．( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．质点运动规律为s(t)＝t
2
＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为( )
A．6＋Δt
C．3＋Δt
答案：A
3．已知函数f
(x)＝2x
2
－4的图象上两点A，B，且x
A
＝1，x
B
＝1.1，则函数f(x)从A点
到B点的平均变化率为( )
A．4
C．4.2
答案：C
B．4x
D．4.02
9
B．6＋Δt＋
Δt
D．9＋Δt
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共 279 页
4．在f′(x
0
)＝lim
→
Δx
0
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
中，Δx不可能为( )
Δx
B．小于0
D．大于0或小于0
A．大于0
C．等于0
答案：C
求函数的平均变化率
1
[典例] 求函数
f(x)＝x
2
在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的
3
平均变化率最大？
[解] 在x＝1附近的平均变化率为
f?1＋Δx?－f?1
??1＋Δx?
2
－1
k
1
＝＝＝2＋Δx；
ΔxΔx
在x＝2附近的平均变化率为
f?2＋Δx?－f?2??2＋Δx?2
－2
2
k
2
＝＝＝4＋Δx；
ΔxΔx
在x＝3附近的平均变化率为
f?3＋Δx?－f?3??3＋Δx?2
－3
2
k
3
＝＝＝6＋Δx；
ΔxΔx
1
17113
若Δx＝，则k
1
＝2＋＝，k
2
＝4＋＝，
33333
119
k
3
＝6＋＝，
33
由于k
1
＜k
2
＜k
3
，
故在x＝3附近的平均变化率最大．
求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x
1
)－f(x
0
)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x
1
－x
0
.
Δy<
br>f?x
1
?－f?x
0
?
(3)求平均变化率＝.
Δx
x
1
－x
0
[活学活用]
1
求函数
y＝x
3
从x
0
到x
0
＋Δx之间的平均变化率，并计算当
x
0
＝1，Δx＝时平均变化率
2
的值．
第 4
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解：当自变量从x
0
变化到x
0
＋Δx时，
函数的平均变化率为
?x
0
＋Δx?
3
－x
3
0<
br>
Δx
2
＝3x
2
0
＋3x
0
Δx
＋(Δx)
，
Δy
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
＝＝
ΔxΔx
1
当x
0
＝1，Δx＝时平均变化率的值为
2
1
1
?
2
19
3×1
2
＋3×
1×＋
?
＝.
2
?
2
?
4
求瞬时速度
[典例] 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t
2
.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解] (1
)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δ
t
]，即[0，Δ
t
]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δ
t
－(Δ
t
)
2
]－(3×0－0
2
)＝3Δt－(Δt)
2
，
2
Δs
3Δt－?Δt?
Δs
→0
＝li
Δt
m
→0
(3－Δt)＝3.
＝＝3－Δt，li
Δt
m
ΔtΔtΔt
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δ
t
]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δ
t
)－(2＋Δ
t
)
2
]－(3×
2－2
2
)
＝－Δt－(Δt)
2
，
2
Δs
－Δt－?Δt?
＝＝－1－Δt，
ΔtΔt
→0
li
Δt
m
Δs
→0
(－1－Δt)＝－1，
＝li
Δt
m
Δt
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0
＋Δt)－s(t
0
)．
(2)求平均速度v＝
Δs
；
Δt
Δs
(3)求瞬时速度
，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
Δt
Δy
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
Δx
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；
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(2)求出
Δy
的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
Δx
[活学活用]
1
一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s
与时间t之间的函数关系为s＝t
2
，
2
则t＝2时，此木块在水平方向的瞬
时速度为( )
A．2
1
C.
2
B．1
1
D.
4
11
?2＋Δt?
2
－×2
2
2
Δs
2
1
解析：选A ∵＝＝
Δt＋2，
ΔtΔt
2
→0
∴li
Δt
m
求函数在某点处的导数
[典例]
(1)函数y＝x在x＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在
时间t的位移函数为y＝f(t)＝t
3
＋3，
①当t
1
＝4，Δ
t＝0.01时，求Δy和比值
②求t
1
＝4时的导数．
[解析]
(1)Δy＝1＋Δx－1，
1＋Δx－1
Δy
1
＝＝，
ΔxΔx
1＋Δx＋1
→0
li
Δx
m
111<
br>＝，所以y′|
x
＝
1
＝.
2
1＋Δx＋1
2
Δy
；
Δt
1
Δs
→0
?
Δt＋2
?
＝2，故选A.
＝li
Δt
m?
2
?
Δt
1
答案：(1)
2
2
(
2)解：①Δy＝f(t
1
＋Δt)－f(t
1
)＝3t
1
·Δt＋3t
1
·(Δt)
2
＋(Δt)
3
，故当t
1
＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481
201，
Δy
＝48.120 1.
Δt
Δy
→0
[3t
2
＝li
Δt
mΔt＋(Δt)
2
]＝3t
2
1
＋3t
1
·
1
＝48，
Δt
→0
②li
Δt
m
故函数y＝t
3
＋3在t
1
＝4处的导数是48，
即y′|t
1
＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
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(1)求函数的增量Δy＝f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)； Δy
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
(2)求平均变化
率＝；
ΔxΔx
→0
(3)求极限li
Δx
m
Δy
.
Δx
2．瞬时变化率的变形形式
→0
li
Δx
m
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
Δx
f?x
0
－Δx?－f?x
0
?
－Δx
f?x
0
＋nΔx?－f?x
0
?
nΔx
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
－Δx?
2Δx
→0
＝li
Δx
m
→0
＝li
Δx
m
→0
＝li
Δx
m
＝f′(x
0
)．
[活学活用]
1
求函数y＝x－
x
在x＝1处的导数．
Δx
Δx＋
1＋Δx
ΔxΔy
11
解：因为Δy＝(1＋Δx)－－
(
1－1
)
＝Δx＋，所以＝＝1＋.
ΔxΔx
1＋Δx1＋Δx1＋Δx
当Δx→0时，
Δy
→2，
Δx
1
所以函数y＝x－
x
在x＝1处的导数为2.
层级一 学业水平达标
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(
)
A．圆
C．椭圆
B．抛物线
D．直线
b－b
Δy
＝
△
li m
＝0，所以f(x)的图象为
Δx
x
－
0
Δx
→0
解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率li
Δx
m
一条直线．
2．设
函数y＝f(x)＝x
2
－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1
C．2
B．1.1
D．0
第
7 页 共 279 页
解析：选A
Δy
f?1.1?－f?1?
0.21
＝＝＝2.1.
Δx
0.1
1.1－1
3．设函数f(x)在点x
0
附近有定义，且有f(x<
br>0
＋Δx)－f(x
0
)＝aΔx＋b(Δx)
2
(a，b为
常数)，
则( )
A．f′(x)＝a
C．f′(x
0
)＝a
解析：选C
f′(x
0
)＝
△
li m
－
x0
B．f′(x)＝b
D．f′(x
0
)＝b
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
Δx
＝
△
li m (a＋b·Δx)＝a.
－
x04．如果质点A按照规律s＝3t
2
运动，则在t
0
＝3时的瞬时速度为
( )
A．6
C．54
解析：选B
∵s(t)＝3t
2
，t
0
＝3，
∴Δs＝s(t
0＋Δt)－s(t
0
)＝3(3＋Δt)
2
－3·3
2
＝18Δt＋3(Δt)
2
.∴
(18＋3Δt)＝18，故应选B.
5．已知f(x)＝x
2
－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3
C．－3
B．(Δx)
2
－3Δx
D．0
ΔsΔs
＝18＋3Δt.∴
△
li m ＝
△
li m
Δt
x
－
0
Δt
x
－
0
B．18
D．81
?0＋Δx?
2
－3?0＋Δx?－0
2
＋3×
0
解析：选C f′(0)＝
△
li m
Δx
x
－0
?Δx?
2
－3Δx
＝
△
li m
＝
△
li m (Δx－3)＝－3.故选C.
Δx
x
－
0x
－
0
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
△
li m
－
x0
f?1＋Δx?－f?1?
Δx
＝
△
li m
－
x0
a?1＋Δx?＋4－?a＋4?
＝a，∴a＝2.
Δx
答案：2
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t
0
，
t
1
]，
[
t
1
，<
br>t
2
]，[
t
2
，
t
3
]上的平均
速度分别为v
1
，v
2
，v
3
，则三者的大小关系
为________．
解析：v
1
＝k
OA
，v
2
＝k
AB
，v
3
＝k
BC
，
由图象知k
OA
＜k
AB
＜k
BC
.
答案：v
1
＜v
2
＜v
3
第 8 页 共 279 页
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
44
28π<
br>解析：∵Δy＝
π×2
3
－
π×1
3
＝，
333
28π
3
Δy
28π
∴＝＝.
Δx
2－1
3
答案：
28π
3
9．质点
按规律s(t)＝at
2
＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬
时
速度为8 ms，求常数a的值．
解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δ
t
)
2
＋1]－(a×2
2
＋1)＝4aΔt＋a(Δt)
2
，∴
∴在t＝2时，瞬时速度为
△
li m
－
x0
Δs
＝4a＋aΔt，
Δt
Δs
＝4a,4a＝8，∴a＝2.
Δt
1
?
?
－，x>0，
x
10．已知函数f(x)＝
?
求f′(4)·f
′(－1)的值．
?
?
1＋x
2
，x≤0
解：当x＝4时
，Δy＝－
11
＋
4
4＋Δx
4＋Δx－2
11
＝－＝
2
4＋Δx24＋Δx
＝
∴
Δx
.
24＋Δx?4＋Δx＋2?
Δy
1
＝.
Δx
24＋Δx?4＋Δx＋2?
Δx
0
∴li m
→
＝
Δy
1
＝li m
Δx
Δx
→<
br>0
24＋Δx?4＋Δx＋2?
11
＝.
2×4×?4＋2?
16
1
∴f′(4)＝.
16
当x＝－1时，
Δy
f?－1＋Δx?－f?－1?
＝
ΔxΔx
1＋?－1＋Δx?
2
－1－?－1?
2
＝＝Δx－2，
Δx
由导数的定义，得f′(－1)＝li m (Δx－2)＝－2，
→
Δx
0
∴f′(4)·f′(－1)＝
11
×(－2)＝－.
168
层级二 应试能力达标
第 9 页 共 279 页 Δy
1．已知函数f(x)＝2x
2
－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(
1＋Δx，－2＋Δy)，则等
Δx
于( )
A．4
C．4＋2Δx
B．4x
D．4＋2(Δx)
2
2
2
Δy
f?1＋Δx?－f?1?2?1＋Δx?－4＋22?Δx?＋4Δx
解析：
选C ＝＝＝＝2Δx＋4.
ΔxΔxΔxΔx
2.甲、乙两人走过的路程s
1(t)，s
2
(t)与时间t的关系如图，则在[0，
t
0
]<
br>这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v
甲
，v
乙
的关系是( )
A．v
甲
＞v
乙
B．v
甲
＜v
乙
C．v
甲
＝v
乙
D．大小关系不确定
解析：选B 设直线AC，BC的斜率分别为k
AC
，k
BC
，由平
均变化率的几何意义知，s
1
(t)
在[0，
t
0
]上的平
均变化率v
甲
＝k
AC
，s
2
(t)在[0，
t<
br>0
]上的平均变化率v
乙
＝k
BC
.因为k
AC＜k
BC
，所
以v
甲
＜v
乙．
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足li m
→
Δx
0
f?Δx?
＝－1，则f′(0)＝( )
Δx
A．－2
C．1
B．－1
D．2
解析：选B ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝li m
→
Δx
0
f?0＋Δx?－f?0?
f?Δx?
＝li m
＝－1，
ΔxΔx
Δx
→
0
∴选B.
21
4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
x
2
A．－4
C．－2
→0
解析：选D
f′(x)＝li
Δx
m
＝±2.
5．已知函数f(x)＝－x
2
＋x在区间[
t,
1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解
析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－1
2
＋1)－(－t
2
＋t)＝t<
br>2
－t，
2
Δy
t－t
Δy
∴＝＝－t.
又∵＝2，∴t＝－2.
Δx
1－t
Δx
B．2
D．±2 f?x＋Δx?－f?x?
221
＝－
2
，于是有－
2
＝－，m
2
＝4，解得m
Δx
xm2
答案：－2
6．一物
体的运动方程为s＝7t
2
＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
第 10 页 共 279 页
22
Δs
7?t
0
＋Δt?＋8－?7t
0
＋8?
解析：＝＝7Δt＋14t
0，
ΔtΔt
1
当li m (7Δt＋14t)＝1时，t＝t＝.
00
14
Δx
→
0
答案：
1
1
4
7．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×10
5
ms
2
，枪弹从
枪口射出时所用时间为1.6×10
3
s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
－
1
解：位移公式为s＝at
2
，
2
1112
∵Δs＝a(t
0
＋Δt)
2
－at
2
0<
br>＝at
0
Δt＋
a(Δt)，
222
ΔsΔs
1<
br>?
at
0
＋
1
aΔt
?
＝at
0<
br>， ∴＝at
0
＋aΔt，∴li m ＝li m
2
?
Δ
t
2
Δx
→
0
Δt
Δx
→
0
?<
br>已知a＝5.0×10
5
ms
2
，
t
0
＝1
.6×10
3
s，∴
at
0
＝800 ms.
－
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 ms.
8．设函数f(x)在x
0
处可导，求下列各式的值．
(1) li m
→
Δx
0
f?x
0
－mΔx?－f?x
0
?
；
Δx
(2li m
→
Δx
0
f?x
0
＋4Δx?－f?x
0
＋5Δx?
.
Δx
Δx
0
解：(1) li m
→
＝－mli m <
br>→
Δx
0
f?x
0
－mΔx?－f?x
0
?
Δx
f?x
0
－mΔx?－f?x
0
?
＝－mf′(x
0
)．
－mΔx
(2)原式
＝li m
→
Δx
0
f?x
0
＋4Δx?－f?x
0
?－[
f?x
0
＋5Δx?－f?x
0
?]
Δx
f?x
0
＋4Δx?－f?x
0
?f?x
0
＋5Δx?－f?x<
br>0
?
－li m
ΔxΔx
Δx
→
0
f?
x
0
＋4Δx?－f?x
0
?f?x
0
＋5Δx?－f?x
0
?
－5li m
4Δx5Δx
Δx
→
0
＝li m
→
Δx
0
＝4li m
→
Δx
0
＝4f
′(x
0
)－5f′(x
0
)＝－f′(x
0
)．
1．1.3 导数的几何意义
第 11 页
共 279 页
预习课本P6～8，思考并完成下列问题
(1)导数的几何意义是什么？
(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？
[新知初探]
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线P
P
n
，当点P
n
趋近于点P时，割线PP
n
趋近于确定的<
br>位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f
(x)在x＝x
0
处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li m
→
Δx
0
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
＝f′(x0
)．
Δx
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li m
→
Δx
0
f?x＋Δx?－f?x?
.
Δx
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与<
br>曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(3)函数f(x)＝0没有导函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
第 12 页 共 279 页
2．设f′(x
0
)＝0
，则曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线( )
A．不存在
C．与x轴垂直
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(
)
A．4
C．－2
答案：D
4．抛物线y
2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________
是它的切
线，而______不是它的切线．
答案：y轴 x轴
求曲线的切线方程
14
[典例]
已知曲线C：y＝
x
3
＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
33
[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)． 1414
?2＋Δx?
3
＋－×2
3
－
3333
Δy
y′|
x
＝
2
＝li m ＝li m
ΔxΔx
→
0
Δx
Δx
→
0
1
＝li m
[4＋2·Δx＋
(Δx)
2
]＝4.
→
3
Δx
0
∴k＝y′|
x
＝
2
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
B．－4
D．2
B．与x轴平行或重合
D．与x轴斜交
2．求过曲线y＝f(x)外一
点P(x
1
，y
1
)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x
0
，f(x
0
))．
第
13 页 共 279 页
→0
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x
0)＝li
Δx
m
(3)用(x
0
，f(x
0
)
)，P(x
1
，y
1
)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x
0
，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
[活学活用]
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
.
Δx
过点(1，－1)且与曲线y＝x
3
－2x相切的直线方程为( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选A
显然点(1，－1)在曲线y＝x
3
－2x上，
→0
若切点为(1，－1
)，则由f′(1)＝li
Δx
m
?1＋Δx?
3
－2?1＋Δx?
－?－1?
＝li m
Δx
Δx
→
0
＝li
m
[(Δ
x
)
2
＋3Δ
x
＋1]＝1，
→
Δx
0
f?1＋Δx?－f?1?
Δx
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x
0
，y
0
)，
3
y
0
＋1x
3
?x
0
－x
0
?－
?x
0
－1?
0
－2x
0
＋1
则k＝＝＝
x
0
－1x
0
－1x
0
－1
2
＝x0
＋x
0
－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x
0
)＝li m
→
Δx
0
f?x<
br>0
＋Δx?－f?x
0
?
Δx
?x
0＋Δx?
3
－2?x
0
＋Δx?－?x
3
0
－
2x
0
?
＝li m ＝3x
2
0
－2，
→Δx
Δx
0
22
∴x
0
＋x
0
－1＝
3x
2
0
－2，∴2x
0
－x
0
－1＝0，
1
∵x
0
≠1，∴x
0
＝－.
2
5
∴k＝x
2
0
＋x
0
－1＝－，
4
5
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
4
即5x＋4y－1＝0，故选A.
第 14 页 共 279
页
求切点坐标
[典例]
已知抛物线y＝2x
2
＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°.
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
[解]
设切点坐标为(x
0
，y
0
)，则
?
Δy＝2(x
0
＋Δx)
2
＋1－2x
?
?
0
∴
Δy
＝4x
0
＋2Δx，
Δx
2
－1＝4x
0
·Δx＋2(Δx)
2
，
当Δx→0时，<
br>Δy
→4x
0
，即f′(x
0
)＝4x
0
.
Δx
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1. <
br>1
即f′(x
0
)＝4x
0
＝1，得x
0
＝
，
4
19
?
∴切点的坐标为
?
?
4
，<
br>8
?
.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k
＝4，即f′(x
0
)＝4x
0
＝4，得x
0
＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
?
－
1
?
＝－1，即k＝8， 则k·
?
8
?
故f′(x
0
)＝4x
0
＝8，得x
0
＝2，
∴切点坐标为(2,9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[活学活用]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x
3
－x
2
＋1相切，则a
的值为___________，切点坐
标为____________．
解析：设直线l与曲线C的切点为(x
0
，y
0
)，
第 15 页 共 279 页
因为y′＝li m
→
Δx
0
?x＋Δx?
3
－?x＋Δx?
2
＋1－?x
3
－x
2
＋1?
＝3x
2
－2x，
Δx1
2
则y′|x＝x
0
＝3x
0
－2x
0＝1，解得x
0
＝1或x
0
＝－，
3
3
当x
0
＝1时，y
0
＝x
0
－x
2
0
＋1＝1，
又(x
0
，y
0
)在直线y＝x＋a上，
将x
0
＝1，y
0
＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．
11
123
－
?
3
－
?
－
?
2
＋1＝， 当x
0
＝－时，y
0
＝
?
?
3
??
3
?
327
123123
32
－，
?
，将
?
－，
?
代入直线y＝x＋a中得a＝. 则切点
坐标为
?
?
327
??
327
?
27
12
3
32
－，
?
答案：
?
27
?
327
?
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x
0
)不存在，则曲线y＝f
(x)在点(x
0
，f(x
0
))处没有切线
B．若曲线y＝f(
x)在点(x
0
，f(x
0
))处有切线，则f′(x
0
)
必存在
C．若f′(x
0
)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处没有切线，则f′(x
0
)有可能存在
解析：选C f′(x
0
)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处切线的斜率，当切线垂直
于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切
线．
2
2．曲线f(x)＝－
x
在点M(1，－2)处的切线方程为(
)
A．y＝－2x＋4
C．y＝2x－4
B．y＝－2x－4
D．y＝2x＋4
－2
＋2
Δy
1＋Δx
2
解析：选C ＝＝，所以当Δx→
0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线
ΔxΔx
1＋Δx
方程为y＋2＝2(x
－1)．即y＝2x－4.故选C.
5
1
1，－
?
处切线的倾斜角为( )
3．曲线y＝x
3
－2在点
?
3
??
3
A．1
5π
C.
4
π
B.
4
π
D．－
4
第 16 页 共 279 页
解析：选B ∵y′＝li m
→
Δx
0
?
1
?x＋Δx?
3
－2
?
－
?
1
x
3
－2
?
?
3??
3
?
Δx
?
x
2
＋
xΔx＋
1
?Δx?
2
?
＝x
2
， ＝li m
→
3
??
Δx
0
∴切线的斜率k＝y′|
x
＝
1
＝1.
π
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4
4．
曲线y＝ax
2
在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1
1
C．－
2
1
B.
2
D．－1
a?1＋Δx?
2
－a×1
2
解析：选A
∵y′|
x
＝
1
＝li m ＝
Δx
Δx
→0
2aΔx＋a?Δx?
2
→0
(2a＋aΔx)＝2a， li m
＝li
Δx
m
Δx
Δx
→
0
∴2a＝2，∴a＝1
.
π
?
5．过正弦曲线y＝sin
x上的点
?
?
2
，1
?
的切线与y＝sin
x的图象的交点个数为( )
A．0个
C．2个
B．1个
D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
π
π
＋Δx
?
－sin sin
?
?
2<
br>?
2
π
?
则f′
?
＝li m
?
2
?
Δx
→
0
Δx
＝li m
→
Δx
0
cos Δx－1
.
Δx
当Δx→0时，cos Δx→1，
π
?
∴f′
?
?
2
?
＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
1<
br>6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′
(1)＝
2
________.
115
解析：由导数的几何意义得f′(1
)＝，由点M在切线上得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)
222
＋f′(1)＝3.
答案：3
第 17 页 共 279 页
1
7．已知曲
线f(x)＝x，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处
x
的切
线方程为____________________．
?
?
?
y＝x?
x＝1，
解析：由
?
1
，得
?
?
y＝1，
?
y＝
?
?
x
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝x，
得f′(x)＝li
△
m
→
x0
1＋Δx－1
＝li m
Δx
Δx
→
0
11
＝，
1＋Δx＋1
2
1
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
2
即x－2y＋1＝0，
答案：x－2y＋1＝0
8．曲线y＝x
2
－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：设f(x)＝y＝x
2
－3x，切点坐标为(x
0
，y
0
)，
?x
0
＋Δx?
2
－3?x
0
＋Δx?－x
2
0
＋3x
0
f′(x
0
)＝li
m
Δx
Δx
→
0
2x
0
Δx－3Δx＋?Δx?
2
＝li m ＝2x
0
－3＝1，故x
0
＝2，
Δx
Δx
→
0
2
y
0
＝x
0
－
3x
0
＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
答案：(2，－2)
9．已知抛物线y＝x
2
，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x
2
的切线对应的切点到直
线x－
y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x
0
，x
2
0
)，则
?x
0
＋Δx?
2
－x
2
0
y′
|x＝x
0
＝li m ＝2x
0
＝1，所
Δx
Δx
→
0
11
?
1
以x
0
＝，所以切点坐标为
?
?
2
，
4
?
，
2
11
－－
2
24
72
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y
－2＝
8
2
72
0的最短距离为.
8
10．已知直线l：
y＝4x＋a和曲线C：y＝x
3
－2x
2
＋3相切，求a的值及切点的坐标
．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x
0
，y
0
)，
3232
Δy
?x
0
＋Δx?－2?x
0
＋Δx?＋3－?
x
0
－2x
0
＋3?
∵＝
ΔxΔx
＝(Δx)<
br>2
＋(3x
0
－2)Δx＋3x
2
0
－4x
0
.
第 18 页 共 279 页
∴当Δx→0时，
Δy
2
→3x
2
0
－4x
0
，即f′(x
0
)＝3x
0
－4x
0
，
Δx
由导数的几何意义
，得3x
2
0
－4x
0
＝4，
2
解得x
0
＝－或x
0
＝2.
3
249
－，
?
或(2,3)， ∴切点的坐标为
?
?
327
?
249
－，
?
时， 当切点为
??
327
?
2
49121
－
?
＋a，∴a＝，
有＝4×
?
?
3
?
2727
当切点为(2,3)时，有3＝
4×2＋a，∴a＝－5，
249
121
－，
?
； 当a＝时，切
点为
?
?
327
?
27
a＝－5时，切点为(2,3)．
层级二 应试能力达标
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(x
A
)
与f′(x
B
)的大小关系是( )
A．f′(x
A
)>f′(x
B
)
B．f′(x
A
)
)
C．f′(x
A
)＝f′(x
B
)
D．不能确定
解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，
结合导数
的几何意义知f′(x
A
)
)，选B.
2．已知曲线y＝2x
3
上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0
C．4
B．2
D．6
Δx
0
解析：选D Δy＝2(1＋Δx)
3
－2×1
3<
br>＝6Δx＋6(Δx)
2
＋2(Δx)
3
，li m
→
＋6]＝6，故选D.
3．设f(x)存在导函数，且满足li m
→
Δx
0
Δy
2
＝li m
[2(Δ
x
)
＋6Δ
x
Δx
Δx
→
0
f?1?－f?
1－2Δx?
＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))
2Δx
处的切线斜率
为( )
A．2
C．1
解析：选B li m
→
Δx
0
B．－1
D．－2
f?1?－f?1－2Δx?
2Δx
＝li m
→
Δx
0
f?1－2Δx?－f?1?
＝f′(x)＝－1.
－2Δx
第 19 页 共 279 页
a
4
．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x
3
在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(
)
b
1
A.
3
2
C．－
3
2
B.
3
1
D．－
3
解析：选D
由导数的定义可得y′＝3x
2
，∴y＝x
3
在点P(1,1)处的切线斜率
k＝y′|
x
＝
1
aa
1
＝3，由条件知，3×＝－1，∴
＝－.
bb
3
5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐
标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则
li m
→
Δx
0
f?1＋Δx?－f?1?
＝______.
Δx
解析：由导数的概念和几何意义知，
li m
→
Δx
0
f?1＋Δx?－f?1?0－4
＝f′(1)＝k
AB
＝＝－2.
Δx
2－0
答案：－2
6．已知二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，
则
f
?1?
的最小值为________．
f′?0?
解析：由导数的定义，得f′(0)＝li m
→
Δx
0
f?Δx?－f?0?
Δx
a?Δx?
2
＋bΔx＋c－c
＝li m ＝li m
(a·Δx＋b)＝b.
Δx
Δx
→
0
Δx
→
0
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
?
Δ＝b
2
－4ac≤
0，
?
b
2
则
?
所以ac≥，所以c>0.
4
?
a>0，
?
所以
f?1?
a＋b＋
cb＋2ac
2b
＝
b
≥≥
b
＝2.
b
f′?0?
答案：2
7．已知函数f(x)＝ax
2
＋
1(a＞0)，g(x)＝x
3
＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
a?x＋Δx?
2
＋1－?a
x
2
＋1?
Δy
解：∵f′(x)＝li m ＝li m ＝2ax， <
br>Δx
Δx
→
0
Δx
Δx
→
0
∴f′
(1)＝2a，即切线斜率k
1
＝2a.
?x＋Δx?
3
＋b?x
＋Δx?－?x
3
＋bx?
Δy
∵g′(x)＝li m
＝li m
Δx
Δx
→
0
Δx
Δx
→
0
＝3x
2
＋b，
第 20 页 共 279
页
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k
2
＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
?
?
a＝3，
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
?
?
b＝3.
?
8．已知曲线y＝x
2
＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？
若存在，求出实数a的取值
范围；若不存在，请说明理由．
22
Δy
?x＋Δx?＋1－x－1
解：∵＝＝2x＋Δx，
ΔxΔx
∴y′＝li m
→
Δx
0
Δy
＝li
m (2x＋Δx)＝2x.
Δx
Δx
→
0
设切点为P(x
0
，y
0
)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x
0
＝2x
0
，由点斜式可得所求切线方程为
y－y
0
＝2x
0
(x－
x
0
)．
又∵切线过点(1，a)，且y
0
＝x
2
0
＋1，
∴a－(x
2
0
＋1)＝2x
0
(1－x
0
)，
2
即x
0
－2x
0
＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)
2
－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得
经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，
2)．
导数的计算
第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
预习课本P12～14，思考并完成下列问题
(1)函数y＝c，y
＝x，y＝x
1
，y＝x
2
，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝xn
的导数
－
公式？
(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？
[新知初探]
1．几种常用函数的导数
第 21 页
共 279 页
函数
f(x)＝c(c为常数)
f(x)＝x
f(x)＝x
2
1
f(x)＝
x
f(x)＝x
[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明
导数
f′(x)＝0
f′(x)＝1
f′(x)＝2x
1
f′(x)＝－
2
x
1
f′(x)＝
2x
(1)以上几个常用函数的导数是求解其他
函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得
的，都属于幂函数的导数．
(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)＝c(c为常数)
f(x)＝x
α
(α∈Q
*
)
原函数
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝a
x
(a>0且a≠1)
f(x)＝e
x
f(x)＝log
a
x(a>0且a≠1)
f(x)＝ln x
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)若y＝2，则y′＝×2＝1.( )
2
(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( )
13
(3)f(x)＝
3
，则f′(x)＝－
4
.( )
xx
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5
导函数
f′(x)＝0
f′(x)＝αx
α1
－
导函数
f′(x)＝cos_x
f′(x)＝－sin_x
f′(x)＝a
x
ln_a
f′(x)＝e
x
1
f′(x)＝
xln a
1
f′(x)＝
x
第 22 页 共 279 页
C．若y＝x
1
，则y′＝－x
2
－－
111
D．若y＝x，则y′＝x
222
答案：D
2π
3．若y＝cos，则y′＝( )
3
A．－
3
2
1
B．－
2
1
D.
2
C．0
答案：C
11
?
4．函数y＝x在点
?
?
4，
2
?
处切线的倾斜角为( )
π
A.
6
π
C.
3
答案：B
利用导数公式求函数导数
[典例] 求下列函数的导数．
1
5
(1)y＝x
12
；(2)y＝
4
；(3)y＝x
3
；(4)y＝3
x
；
x
(5)y＝log
5
x.
[解] (1)y′＝(x
12
)′＝12x
11
.
1<
br>?
4
－
4
－
5
4
′＝(x)′＝－4x＝－
5
. (2)y′＝
?
?
x
?
x
33?
2
5
(3)y′＝(x
3
)′＝(x)′＝x
5.
55
(4)y′＝(3
x
)′＝3
x
ln 3.
(5)y′＝(log
5
x)′＝
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，
将题中函数的
结构进行调整，再选择合适的求导公式．
1
.
xln
5
π
B.
4
3π
D.
4
第
23 页 共 279 页
[活学活用]
求下列函数的导数：
1
?
x
1
(1)y＝lg
x；(2)y＝
?
；(3)y＝xx；(4)y＝logx.
?
2
?
3
ln x
?
解：(1)y′＝(lg
x)′＝
?
?
ln 10
?
′＝
1
.
xln 10
?
1
?
x
?
′＝
?
1
?
x
ln
1
＝－
?
1
?
x
ln 2. (2)y′＝
?
??
2
???
2
?
2
?
2
?
3313
(3)y′＝(xx)′＝(x)′＝x＝x.
2222
1
11
logx
?
′＝(4)y′＝
?
＝－.
?
3
?
1xln
3
xln
3
利用导数公式求切线方程
1
[典例]
已知曲线y＝
.
x
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．
11
[解]
∵y＝
，∴y′＝－
2
.
x
x
1
(1)显然P(
1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导
x
数，
即k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
1
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，
x
1
a，
a
?
， 则可设过该点的切线的切点为A
?
??
1
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－
2
.
a
11
则切线方程为y－＝－
2
(x－a)．①
a
a
11
将Q(1,0)代入方程：0－
a
＝－
2
(1－a
)．
a
1
将得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
2
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
第 24 页 共 279 页
[活学活用]
当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x
2
＋k相切？请求出切点．
解
：设切点为
?
0
?
2
A(x
0
，x
2＋k)．∵y′＝2x，∴
0
?
x
0
＋k＝x
0
，
?
?
2x＝1，
?
x＝
2
，
∴
?
1
k＝
?
4
，
0
1
11
1
，
?
. 故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2
＋k相切，且切点坐标为
?
?
22
?
4
导数
的简单综合应用
π
[典例] (1)质点的运动方程是S＝sin t，则质点在
t＝
时的速度为________；质点运动
3
的加速度为________．
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos
x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，
两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] (1)v(t)＝S′(t)＝cos t，
π
?
π
1
∴v
?
＝cos ＝.
?
3
?
32
π
1
即质点在t＝时的速度为.
32
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)
＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1
答案： －sin t
2
(2)解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0
，y
0
)．∴两条曲线
在P(x
0
，y
0<
br>)处的斜率分别为k
1
＝cos
x
0
，k
2
＝－sin x
0
.
若使两条切线互相垂直，必须cos x
0
·(－sin
x
0
)＝－1，
即sin x
0
·cos
x
0
＝1，也就是sin 2x
0
＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多
综合问题我们可以数形结
合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决
，往往这是
解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几
何、不等式等知识结合出现综合
第 25 页 共 279 页
大题．遇到
解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何
意义分析．
[活学活用]
2
曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为( )
3
58254
A. B. C. D.
391212
212
解析：选C 可求得y′＝x－，即y′|
x
＝
1
＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的
333
151
52
51
－，0
?
，与x＝2的交点坐标为
?
2，
?
，
围成三角形面积为×
?
2＋
?
×＝. 交点坐标为
?
?2
??
3
?
2
?
2
?
312
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝x
3
的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条
C．3条
B．2条
D．不确定
解析：选B
∵f′(x)＝3x
2
＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．曲线y＝e
x
在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
C．e
B．2
1
D.
e
解析：选A 由条件得y′
＝e
x
，根据导数的几何意义，可得k＝y′|
x
＝
0
＝e
0
＝1.
5
3．已知f(x)＝－3x，则f′(22)＝( )
3
A．10
C．5
2
B．－5x
3
D．－10
232
解析：选D
∵f′(x)＝－5x，∴f′(22)＝－5×2×＝－10，故选D.
323
4．已知f(x)＝x
α
，若f′(－1)＝－2，则α的值等于(
)
A．2
C．3
B．－2
D．－3
解析：选A
若α＝2，则f(x)＝x
2
，∴f′(x)＝2x，
∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.
1
5.
曲线y＝x
3
在x＝1处切线的倾斜角为( )
3
A．1
π
B．－
4
第 26 页 共 279 页
π
C.
4
5π
D.
4
解析：选C
∵y′＝x
2
，∴y′|
x
＝
1
＝1，
π
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
4
6．曲线y＝ln
x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
11
解析：∵y′＝(ln
x)′＝
x
，∴y′|
x
＝
e
＝.
e
1
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
e
1
答案： x－ey＝0
e
7．已知f(x)＝a
2
(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[<
br>f
′(
x
)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
1
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝
x
，
1
所以
2x[
f
′(
x
)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
x
1
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
2
答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x
2
，过第一象限的点(a，a
2
)作抛物线C的切线l，则
直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然
点(a，a
2
)为抛物线C：y＝x
2
上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方
程为y－a
2
＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a
2
，∴直
线l与y轴的交点的坐标为(0，－a
2
)．
答案：(0，－a
2
)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x<
br>8
；(2)y＝4
x
；(3)y＝log
3
x；
π
x＋
?
；(5)y＝e
2
. (4)y＝sin
?
?
2
?
解：(1)y′＝(x
8
)′＝8x
81
＝8x
7
.
－
(2)y′＝(4
x
)′＝4
x
ln 4.
(3)y′＝(log
3
x)′＝
1
.
xln
3
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e
2
)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x
2
上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x
2
的切线方程．
第 27
页 共 279 页
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x
2
的切线方程． 解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x
2
上的点．
过P点的切线的斜率k
1
＝y′|
x
＝－
1
＝－2
，
过Q点的切线的斜率k
2
＝y′|
x
＝
2
＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝
4－1
2＋1
＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x
0
＝2x
0
＝1，
所以x<
br>1
11
0
＝
2
，所以切点M
?
?
2
，
4
?
?
，
与PQ平行的切线方程为：
y－
1
4
＝x－
1
2
，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝
5
t，则质点在t＝4时的速度为(
A.
1
B.
1
2
5
2
3
10
5
23
C.
2
5
5
2
3
D.
1
5
10
2
3
解析：选B
∵s′＝
14
5
t－
5
.∴当t＝4时，
s′＝
1
5
·
1
5
＝
1
. <
br>4
4
10
5
2
3
2．直线y＝
1
2
x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2
B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln
x的导数y′＝
1
x
，
∴令
1
＝
1
x
2
，得x＝2，∴切点为(2，ln
2)．
代入直线y＝
1
2
x＋b，得b＝ln 2－1.
3．在
曲线f(x)＝
13
x
上切线的倾斜角为
4
π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
)
第 28 页 共
279 页
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
113
解析：选D 因为f(x)＝
x
，所以f′(x)＝－
2，因为切线的倾斜角为
π，所以切线斜率
x4
为－1，
1
即f′(x)＝－
2
＝－1，所以x＝±1，
x
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y＝
x
n1
(n∈N
*
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn
，则x
1
·x
2
·?·x
n
＋
的值
为( )
1
A.
n
n
C.
n＋1
＋
1
B.
n＋1
D．1
解析：选B
对y＝x
n1
(n∈N
*
)求导得y′＝(n＋1)x
n
.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的
斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(
n＋1)(x
n
－1)．令y＝0，得x
n
＝
n－1
n1231
x
1
·x
2
·?·x
n
＝×××?×
×＝， 故选B.
n
234
n＋1n＋1
5．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln
x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
111
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
xx
2
1
，－ln 2
?
.
∴切点的坐标为
?
2
??
1
x－
?
.
故切线方程为y＋ln 2＝2
?
?
2
?
即2x－y－1－ln
2＝0.
答案：2x－y－1－ln 2＝0
6．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线
与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a
的值是________________．
解析：∵y′＝
a
1
，∴切线方程为y－a＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝
0，
2
2x2a
1
n
，∴
n＋1
1
a得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
22
答案：4
7．已知曲线方
程为y＝f(x)＝x
2
，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
2
解：设切点P的坐标为(x
0
，x
0
)．
第 29 页 共 279 页
∵y＝x
2
，∴y′＝2
x，∴k＝f′(x
0
)＝2x
0
，
∴切线方程为y－x
2
0
＝2x
0
(x－x
0
)．
将点B(3,5)
代入上式，得5－x
2
0
＝2x
0
(3－x
0
)，
2
即x
0
－6x
0
＋5＝0，∴(x
0
－
1)(x
0
－5)＝0，
∴x
0
＝1或x
0
＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
8．求证：双曲线xy＝a
2
上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x
0
，y
0
)为双曲线xy＝a
2
上任一点．
a
?
a
∵y′＝
?
′＝－.
?
x
?
x
2
a
2
∴过点P的切线方程为y－y
0
＝－
2
(x－x
0
)．
x
0
2a
2
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x
0
.
x
0
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
2
1
?
2a
?
2
S＝··|2x|＝2a. 0
2
?
x
0
?
2
2
即双曲线xy＝a
2
上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a
2
.
第二课时 导数的运算法则
预习课本P15～18，思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
[新知初探]
1．导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)结论：①[
f
(
x
)±
g
(
x
)]′＝f′(x)±g′(x)．
第 30 页 共 279 页
②[
f
(
x)
g
(
x
)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
f′?x?g?x?－f?x?g′?x?
f?x?
?
③
?
′＝(
g(x)≠0)．
?
g?x?
?
[g?x?]
2
[点睛]
应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数
式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可
简化求导过程．
2．复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g(x))．
②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量．
(2)求导法则：复合函数
y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y
x
′＝y
u
′·u
x
′.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x
2
.( )
(2)函数f(x
)＝xe
x
的导数是f′(x)＝e
x
(x＋1)．( )
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是(
)
A．y′＝cos 2x＋sin 2x
C．y′＝2cos x·sin x
答案：B
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
答案：－xsin x
4．若f(x)＝(2x＋a)
2
，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案：1
利用导数四则运算法则求导
[典例]
求下列函数的导数：
B．y′＝cos 2x
D．y′＝cos x·sin x
第 31 页 共 279 页
(1)y＝x
2
＋log
3
x；(2)y＝x
3
·e
x
；(3)y＝
cos
x
.
x
[解] (1)y′＝(x
2
＋log
3
x)′＝(x
2
)′＋(log
3
x)′
＝2x＋
1
.
xln 3
(2)y′＝(x
3
·
e
x
)′＝(x
3
)′·e
x
＋x
3
·(
e
x
)′
＝3x
2
·e
x
＋x
3
·e
x
＝e
x
(x
3
＋3x
2
)．
?cos x?′·x－cos x·?x?′
cos
x
?
(3)y′＝
?
′＝
2
?
x
?
x
－x·sin x－cos xxsin
x＋cos x
＝＝－.
2
xx
2
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
[活学活用]
求下列函数的导数：
e
x
(1)y＝sin
x－2x；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
sin
x
2
解：(1)y′＝(sin x－2x
2
)′＝(sin
x)′－(2x
2
)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln
x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln
x＋
x
cos x
.
x
xx
?e?′·sin
x－e·?sin x?′
e
?
(3)y′＝
?
′＝
2
?
sin x
?
sin
x
e
x
·sin x－e
x
·cos
xe
x
?sin x－cos x?
＝＝
sin
2
xsin
2
x
复合函数的导数运算
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝
1
sin(ax
＋
b)
；
2
；(2)y＝e
1－2x
π
2x＋
?
；(4)y＝5log
2
(2x＋1)．
(3)y＝sin
2
?
3
??
1
[解]
(1)设y＝u－
，u＝1－2x
2
，
2
13
1
－u－
?
·则y′＝(u－)′
(1－2x
2
)′＝
?
?
22
?
(－4x)
2
第 32 页 共 279 页
133
＝－(1－2x
2
)－
(－4x)＝2x(1－2x
2
)－.
222
(2)设y＝e
u
，u＝sin v，v＝ax＋b，
则y
x
′＝y
u
′·u
v
′·v
x
′＝eu
·cos v·a
＝acos(ax＋b)·e
sin(ax
＋
b)
．
π
(3)设y＝u
2
，u＝sin v，v＝2x＋，
3
则y
x
′＝y
u
′·u
v
′·v
x
′＝2
u·cos v·2
2π
4x＋
?
. ＝4sin vcos
v＝2sin 2v＝2sin
?
3
??
(4)设y＝5log
2<
br>u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log
2
u)′·(2x＋1)′
＝
1010
＝.
uln 2
?2x＋1?ln 2
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)
2
； (2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e
2x
＋
1
；
(4)y＝2x－1；
π
3x－
?
；(6)y＝cos
2
x. (5)y＝sin
?
4
??
解：(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12
；
(2)y′＝
13
·(6x＋4)′＝；
6x＋43x＋2
＋
＋
(3)y′＝e
2x1
·(2x＋1)′＝2e
2x1
；
(4)y′＝
11
·(2x－1)′＝ .
22x－12x－1
第 33 页 共 279 页
π
?
ππ
3x－
?
·
3x－
?
′＝3cos
?
3x－
?
. (5)y′＝cos
?
4
??
4?
4
???
(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos
x·sin x＝－sin 2x.
与切线有关的综合问题
π
[典例]
(1)函数y＝2cos
2
x在x＝处的切线斜率为________．
12
(2)已知函数f(x)＝ax
2
＋ln x的导数为f′(x)，
①求f(1)＋f′(1)．
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
[解析]
(1)由函数y＝2cos
2
x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos
2x)′＝－2sin 2x，所以函数
π
π
2×
?
＝－1. 在x
＝处的切线斜率为－2sin
?
?
12
?
12
答案：－1
(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
1
由f(x)＝ax
2
＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
x
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴
的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，
1
＋∞)内导函数f′(x)＝2ax
＋存在零点，
x
1
即f′(x)＝0?2ax＋
x
＝0有正实数解，
即2ax
2
＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在
某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以
及涉及切线问题的综合应用．
(2)方
法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则
先设出切点，用切点表
示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时
起着至关重要的作用．
[活学活用]
若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x
3
和y＝ax2
＋
25
A．－1或－
64
15
x－9都相切，则a的值为( )
4
21
B．－1或
4
第 34 页 共 279
页
725
C．－或－
464
7
D．－或7
4
解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x
3
相切于点(x
0
，x
3
0
)，
223
则切线方程为y－x
3
0
＝3x
0
(x－x
0
)，即y＝3x
0
x－2x
0
.
3
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x
0<
br>＝0或x
0
＝.
2
当x
0
＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax
2
＋
1525
x－9相切可得a＝－.
464
32727
当x
0
＝时，直线方程为y＝x－.
2
44
272715
由y＝x－与y＝ax
2
＋x－9相切可得a＝－1.
444
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax
2
＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1
C．－1
B.2
D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax
2
＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)
2
(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选D y′＝[(<
br>x
＋1)
2
]′(x－1)＋(x＋1)
2
(x－1)′＝2
(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)
2
＝3x
2
＋
2x－1，∴y
′|
x
＝
1
＝4.
3．曲线f(x)＝xln
x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2
C．y＝x－1
B．y＝2x－2
D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln
x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切
线方程为y＝x－1.
3
4. 已知物体的运动方程为s＝t
2
＋
t
(t是时间，
s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为
( )
19
A.
4
17
B.
4
第 35 页 共 279 页
15
C.
4
13
D.
4
3313
解析：选D
∵s′＝2t－
2
，∴s′|
t
＝
2
＝4－＝.
t44
5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
C．2
解析：选D y′＝a－
B．1
D．3 <
br>1
，由题意得y′|
x
＝
0
＝2，即a－1＝2，所以a＝3
.
x＋1
6．曲线y＝x
3
－x＋3在点(1,3)处的切线方程为___
_____．
解析：∵y′＝3x
2
－1，∴y′|
x
＝
1
＝3×1
2
－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0 1
7．已知曲线y
1
＝2－与y
2
＝x
3
－x
2
＋2x在x＝x
0
处切线的斜率的乘积为3，则x
0
＝<
br>x
________.
11
解析：由题知y′
1
＝
2
，y′
2
＝3x
2
－2x＋2，所以两曲线在x＝x
0<
br>处切线的斜率分别为
2
，
xx
0
3x
2
0<
br>－2x
0
＋2
2
3x
0
－2x
0
＋
2，所以＝3，所以
x
2
0
答案：1
π
??
π
?
的值为________．
8．已知函数f(x)＝f′
?
cos x＋sin x，则f
?
4
??
4
?
π
?
解析：∵f′(x)＝－f′
?
?<
br>4
?
sin x＋cos x，
π
??
π
?
×
2
＋
2
， ∴f′
?
＝－f′
?
4
??
4
?
22
π
?
得f′
?
?
4
?
＝2－1.
∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x.
π
?
∴f
?
?
4
?
＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
e
x
＋1
(1)y＝xsinx；(2)y＝
x
；
e－1
2
x
0
＝1.
x＋cos
x
(3)y＝；(4)y＝cos x·sin 3x.
x＋sin
x
解：(1)y′＝(x)′sin
2
x＋x(sin
2
x)′
第 36 页 共 279 页
＝sin
2
x＋x·2sin x·(sin
x)′＝sin
2
x＋xsin 2x.
?e
x
＋1?′?ex
－1?－?e
x
＋1??e
x
－1?′
(2)y′＝
?e
x
－1?
2
－2e
x
＝
x
.
?e－1?
2
(3)y′＝
?x＋cos x?′?x＋sin
x?－?x＋cos x??x＋sin x?′
?x＋sin
x?
2
?1－sin x??x＋sin x?－?x＋cos x??1＋cos
x?
＝
?x＋sin x?
2
－xcos x－xsin x＋sin
x－cos x－1
＝.
?x＋sin x?
2
(4)y′＝(cos
x·sin 3x)′
＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′
＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x
＝3cos xcos
3x－sin xsin 3x.
10．偶函数f(x)＝ax
4
＋bx
3
＋cx
2
＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为
y
＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax
4
＋bx
3
＋cx
2
＋dx＋e＝ax
4
－bx
3
＋cx
2
－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax
4
＋cx
2
＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|
x
＝
1
＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
59
∴a＝，c＝－.
22
59
∴函数f(x)的解析式为f(x
)＝x
4
－x
2
＋1.
22
层级二 应试能力达标 1．若函数f(x)＝ax
4
＋bx
2
＋c满足f′(1)＝2，则f′
(－1)等于( )
A．－1
C．2
B．－2
D．0
解析：选B
∵f′(x)＝4ax
3
＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝xe
x
A．2e
C．2
－
1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
B．e
D．1
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解析：选C 函数的导数为f′(x)＝e
x1
＋xe
x1
＝(1＋x)e
x1
，
－－－<
br>当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xe
x
－
1
在点(1,1)
处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，则f′(e)＝( )
A．e
1
－
B．－1
D．－e C．－e
1
－
解析：选C
∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
1
∴f′(x)＝2f′(e)＋
x
，
11
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
ee
4．若f(x)＝x
2
－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞)
C．(2，＋∞)
解析：选C ∵f(x)＝x
2
－2x－4ln x，
4
∴f′(x)＝2x－2－
x
＞0，
整理得
?x＋1??x－2?
＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
x
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－1,0)
又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.
5．已知直线y＝2x－1与曲线y
＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
解析：∵y＝ln(x＋a
)，∴y′＝
1
，设切点为(x
0
，y
0
)，
x＋a
1
＝2，
x
0
＋a
则y
0
＝2x
0
－1，y
0
＝ln(x
0
＋a)，且
1
解之得a＝ln 2.
2
1
答案：ln 2
2
x
6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x
2
＋y
2
＋
4x＋3＝0上的点的最
2x－1
近距离是____________．
解析：y′＝－
1
，则y′
?2x－1?
2
|
＝
－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2
x
＝
1
＝0，圆心
(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.
答案：22－1
7．已知曲线f(x)＝x
3
＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－
y－32＝0.
(1)求a，b的值；
第 38 页 共 279 页
1
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的
方程．
4
解：(1)∵f(x)＝x
3
＋ax＋b的导数f′(x)＝3x
2
＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
1
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
4
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x
0
，y
0
)，
则f′(x
0
)＝3x
2
1.
0
＋1＝4，∴x
0
＝±
由f(x)＝x
3
＋x－16，可得y
0
＝
1＋1－16＝－14，
或y
0
＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．设f
n
(x)＝x＋
x
2
＋?＋x
n
－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求f
n
′(2)；
2
1
2
0，
?
内有且仅有一个零点(记为a
n
)，且0＜a
n
－＜
n<
br>＋
1
. (2)证明：f
n
(x)在
?
3
?
?
2
3
解：(1)由题设f
n
′(x)＝1＋2x＋?＋nx
n1
.
－
n
所以f
n
′(2)＝1＋2×2＋?＋(n
－1)2
n2
＋n·2
n1
，①
－－
则2f
n<
br>′(2)＝2＋2×2
2
＋?＋(n－1)2
n1
＋n·2
n
，②
－
①－②得，－f
n
′(2)＝1＋2＋2
2
＋?＋2
n1
－n·2
n
－
1－2
n
＝－n·2
n
＝(1－n)·2
n
－1，
1－2
所以f
n
′(2)＝(n－1)·2
n
＋1.
(2)因为f(0)＝－1＜0，
2
??
2
?
n
?
1－
?
3
???
3
2
?
＝
?<
br>2
?
n
≥1－2×
?
2
?
2
＞0，
f
n
?
－1＝1－2×
?
3
??
3
??<
br>3
?
2
1－
3
因为x≥0，n≥2.
所以f
n
(x)＝x＋x
2
＋?＋x
n
－1为增函数，
2
0，
?
内单调递增，
所以f
n
(x)在
?
3
??
2
0，
?
内有且仅有一个零点a
n
.
因此f
n
(x)在
?
3
??
第 39 页
共 279 页
x－x
n1
由于f
n
(x)＝－1，
1
－x
＋
1
a
n
－a
n
n
所以0＝f
n
(a
n
)＝－1，
1－a
n
＋
11
＋
1
112
由此可得a
n
＝＋a
n
＞，故＜a＜.
22
n
22
n
3
11
n
＋
11
?
2
?
n
＋
1
2
n
所以0
＜a
n
－＝a
n
＜×
?
3
?
＝
n
＋
1
.
222
3
导数在研究函数中的应用
1．3.1 函数的单调性与导数
预习课本P22～26，思考并完成下列问题
(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？
(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？
(3)怎样求函数的单调区间？
[新知初探]
1．函数的单调性与其导数正负的关系
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么
函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)
＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单
调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个
区间内是常数函数．
[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使
f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数
(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的
任一非空
子区间上f′(x)不恒为0.
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，
第 40 页 共 279 页
其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线
的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝(x－3)e
x
的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
C．(1,4)
答案：D
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
答案：A
4. 函数
y＝x
3
＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．
答案：上升
判断或讨论函数的单调性
3
[典例] 已知函数f(x)＝ax
3
－3x
2
＋1－<
br>a
，讨论函数f(x)的单调性．
[解] 由题设知a≠0.
2
x－
?
， f′(x)＝3ax
2
－6x＝3ax
?
?
a
?
2
令f′(x)＝0，得x
1
＝0，x
2
＝
a
.
当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
2
0，
a
?
，则f′(x)<0，
若x∈
?
??
B．(0,3)
D．(2，＋∞)
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2
0，
?
上为减函数． ∴f(x)在区间
?
?
a
?
2
?
，则f′(x)>0，
，＋∞
若x∈
?<
br>?
a
?
2
?
上是增函数．
，＋∞
∴f(x
)在区间
?
?
a
?
2
－∞，
a
?
，则f′(x)<0. 当a<0时，若x∈
?
??
2
－∞，
a?
上是减函数．
∴f(x)在
?
??
2
?
，则f′(x)>0.
，0若x∈
?
?
a
?
2
?
上为增函数．
，0
∴f(x)在区间
?
?
a
?
若x∈(0，＋∞)，则f
′(x)<0.
∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
利用导数证明或判断函数单调性的思路
[活学活用]
判断函数y＝ax
3
－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
解：∵y′＝(ax
3
－1)′＝3ax
2
.
①当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
②当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
③当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
求函数的单调区间
[典例] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x
3
－3x＋1；
b
(2)f(x)＝x＋
x
(b＞0)．
[解]
(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x
2
－3，令f′(x)＞0，则3x
2
－3＞0.
第 42 页 共 279 页
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
b
b
x＋
x
?
′＝1－
2
， f′(x)
＝
?
??
x
1
令f′(x)＞0，则
2
(x＋b)
(x－b)＞0，
x
∴x＞b，或x＜－b.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)．
1
令f′(x)＜0，则
2
(x＋b)(x－b)＜0，
x
∴－b＜x＜b，且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(－b，0)和(0，b)．
(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f′(x)；
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单
调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”
连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
[活学活用]
1．函数f(x)＝2x
2
－ln x的递增区间是( )
1
0，
?
A.
?
?
2
?1
?
C.
?
?
2
，＋∞
?
解析：选C ∵f(x)＝2x
2
－ln x，
2
1
4x
－1?2x－1??2x＋1?
∴f′(x)＝4x－
x
＝
x
＝(x
>0)，
x
11
0，
?
和
?
，＋∞
?
B
.
?
?
2
??
2
?
11
－∞，
?
和
?
0，
?
D.
?
2
??
2
??
1
由f′(x)>0得x>.
2
2．已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx(a、b∈
R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为
8.
(1)求a，b的值；
第 43 页 共 279 页
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x
2
＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f′(x)＝3x
2
＋8x－3＝(3x－1)(x＋3)，
1
令f′(x)>0，可得x<－3或x>；
3
1
令f′(x)<0，可得－3
1
?
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，
?
?
3
，＋∞
?
，
1
－3，
?
.
单调减区间为
?
3
??
利用导数求参数的取值范围
11
[典例] 若函数f(x)＝
x
3
－ax
2
＋
(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单
32
调递增，求实数a的
取值范围．
[解] [法一 直接法]
f′(x)＝x
2
－ax＋a－1，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1
>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调
递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤
6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
[法二 数形结合法]
如图所示，f′(x)＝(x－1)[
x
－(
a
－1)]．
∵在(1,4)内f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
∴另一根在[4,6]上．
?
f′?4?≤0，
?
∴
?
?
f′?6?≥0，
?
第 44 页 共
279 页
?
?
3×?5－a?≤0，
即
?
∴5≤a≤7.
?
5×?7－a?≥0，
?
故实数a的取值范围为[5,7]
[法三 转化为不等式的恒成立问题]
f′(x)＝x
2
－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x
2
－1在(1,
4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2
上恒成立
，
所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上
知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒
成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利
用分离参数或函数性质求解参数范围，然
后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的
取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否
满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)
max
.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)
min
.
[活学活用]
2x－a
若f(x)＝
2
(x∈R)在区间[－1,
1]上是增函数，则a∈________.
x＋2
－x
2
＋ax＋2解析：f′(x)＝2·
2
，
?x＋2?
2
∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
－x
2
＋ax＋2
∴f′(x)＝2·
2
≥0.
?x＋2?
2
∵(x
2
＋2)
2
＞0，
∴x
2
－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x
2
－ax－2，
?
?
g?－1?≤0，
则
?
?
?
g?1?≤0，
?
?
1＋a－2≤0，
即
?
?
1－a－2≤0，
?
第 45 页
共 279 页
∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x
C．y＝x
3
－x
B．y＝xe
x
D．y＝ln x－x
解析：选B B中，y′＝(xe
x
)′＝e
x
＋xe
x
＝e
x
(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y
＝xe
x
在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况． <
br>2．若函数y＝x
3
＋x
2
＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的
取值范围是( )
1
?
A.
?
?
3
，＋∞
?
1
?
C.
?
?
3
，＋∞
?
1
－∞，
?
B.
?
3
??
1
－∞，
?
D.
?
3
??
解析：选C y′＝3x
2
＋2x＋m，由条
件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，
1
∴m≥.
3
3．函数y＝x
4
－2x
2
＋5的单调递减区间为(
)
A．(－∞，－1)和(0,1)
C．[－1,1]
B．[－1,0]和[1，＋∞)
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
解析：选A
y′＝4x
3
－4x，令y′<0，即4x
3
－4x<0，解得x<－1或0
4．函数y＝xln x在(0,5)上的单调性是( )
A．单调递增
B．单调递减
11
0，
?
上单调递减，在
?
，
5
?
上单调递增
C．在
?
e
???
e
?
11
0，
?
上单调递增，在
?
， 5
?
上单调递减
D．在
?
e
???
e
?
解析：选C
由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．
1
∵y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞.
e
1
令y′＜0，得x＜.
e
第 46 页 共
279 页
11
0，
?
上单调递减，在
?
，
5
?
上单调递增． ∴函数y＝xln x在
?
e
???
e
?
5．若函数y＝a(x
3
－x)的单调减区间为
－
A．(
0，＋∞)
C．(1，＋∞)
解析：选A y′＝a(3x
2
－1)
＝3a
x－
当－
?
?
33
?
，则a的取值范围是(
)
，
33
?
B．(－1,0)
D．(0,1)
?
?
3
??
3
?
.
x＋
3<
br>??
3
?
33
3
??
3
??
＜x＜
时，
x－
＜0，
x＋
33
3
??
3
??
要使y＝a(x
3
－x)在
－
只需y′＜0，即a＞0.
?
?
33
?
上单调递减，
，
33
?
3
6．函数f(x)＝cos
x＋x的单调递增区间是________．
2
3
解析：因为f′(x)＝－sin
x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
2
答案：(－∞，＋∞)
11
7．若函数y＝ax
3
－ax
2
－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增
函数，则a∈________.
32
解析：y′＝ax
2
－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
4
8．若函数y＝－x
3
＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是
.
3
解析：∵y′＝－4x
2
＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x
2
＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝0
2
－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞) <
br>1
9．已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx，且f′(－
1)＝－4，f′(1)＝0.
3
(1)求a和b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
1
解：(1)∵f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx，
3
∴f′(x)＝x
2
＋2ax＋b，
??
?
f
′?－1?＝－4，
?
1－2a＋b＝－4，
?
由得
?
?
f′?1?＝0，
?
??
1＋2a＋b＝0.
第 47 页 共 279 页
解得a＝1，b＝－3.
1
(2)由(1)得f(x)＝x
3
＋x
2
－3x.
3
f′(x)＝x
2
＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0得x>1或x<－3；
由f′(x)<0得－3
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x
2
－2ax)e
x
.设f(x)在
区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值
范围．
解：f′(x)＝(2x－2a)ex
＋(x
2
－2ax)e
x
＝e
x
[
x
2
＋2(1－
a
)
x
－2
a
]．
令f′(x)＝0，即x
2
＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x<
br>1
＝a－1－1＋a
2
，x
2
＝a－1＋1＋a
2<
br>，
令f′(x)＞0，得x＞x
2
或x＜x
1
，
令f′(x)＜0，得x
1
＜x＜x
2
.
∵a≥0，∴x
1
<－1，x
2
≥0.
由此可得f(x)
在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x
2
≥1，即a－1＋1＋a
2
≥
1，解得
3
a≥.
4
3
?
故所求a的取值范围为
?
?
4
，＋∞
?
.
层级二 应试能力达标
1.已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )
A．f(2)
解析：选A 在(0，＋∞)内，f′(x
)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所
2x
x
以有f(2)
f(x)的图象最有可能的是( )
第 48 页 共 279 页
解析：选C 由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增
函数，x∈(0,2)时，
f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0
，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选
C.
3．(全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
C．[2，＋∞)
B．(－∞，－1]
D．[1，＋∞)
1
解析：选D 因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区
间(1，＋∞)上单调
x
11
递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－
x<
br>≥0恒成立，即k≥
x
在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，
1
所以0<
x
<1，所以k≥1.故选D.
4．设函数F(x)＝
f?x?<
br>是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)
x
于x∈R恒成立，则( )
A．f(2)>e
2
f(0)，f(2
016)>e
2 016
f(0)
B．f(2)
f(0)，f(2 016)>e
2
016
f(0)
C．f(2)
f(0)，f(2
016)
f(0)
D．f(2)>e
2
f(0)，f(2 016)
f(0)
f′?x?e
x
－f?x?e
x
f′?x
?－f?x?
f?x?
解析：选C
∵函数F(x)＝
x
的导数F′(x)＝＝<0，
ee
x
?ex
?
2
∴函数F(x)＝
f?x?
是定义在R上的减函数， <
br>e
x
f?2?f?0?
2
2
<
0
，故有f(
2)
∴F(2)
f(0)．故选C.
5．已知函数f(x)的定义域为R，
f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的
解集为_________
___．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.
∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2
－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.
第 49 页 共 279 页
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
1
6．若f(x)＝－x
2
＋bln(x＋
2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．
2
解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∵f′(x)＝－x＋
bb
，∴－x＋≤0，
x＋2x＋2
∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，
g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)
2
－1，
∴g(x)
min
＝－1，∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
1
7．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－x
2
成立．
2
1
证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋x
2
，
2
x
2
1
其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝－1＋x＝.
1＋x1＋x
当x＞－1时，f′(x)＞0，
则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．
∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.
1
∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－x
2
成立．
2
8．已知函数f(x)＝x
3
－ax－1.
(1)是
否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存
在，说明理
由．
(2)证明：f(x)＝x
3
－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
解：(1)已知函数f(x)＝x
3
－ax－1，
∴f′(x)＝3x
2
－a，
由题意知3x
2
－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x
2
在x∈(－1,1)上恒成立．
但当x∈(－1,1)时，0＜3x
2
＜3，∴a≥3，
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，
即存在点(－1，a－2)在f(x
)＝x
3
－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．
第 50
页 共 279 页
即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
1．3.2
函数的极值与导数
预习课本P26～29，思考并完成下列问题
(1)函数极值点、极值的定义是什么？
(2)函数取得极值的必要条件是什么？
(3)求可导函数极值的步骤有哪些？
[新知初探]
1．函数极值的概念
(1)函数的极大值
一般地
，设函数y＝f(x)在点x
0
及附近有定义，如果对x
0
附近的所有的点，
都有f(x)＜f(x
0
)，
就说f(x
0
)是函数y＝f(x)的
一个极大值，记作y
极大值
＝f(x
0
)，x
0
是极大值点
．
(2)函数的极小值
一般地，设函数y＝f(x)在点x
0
及附近有定
义，如果对x
0
附近的所有的点，都有f(x)＞f(x
0
)，
就说
f(x
0
)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y
统称为极值．
[点睛] 如何理解函数极值的概念
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，
与它附近点的函数值比较它是最大
值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值
．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(5)单调函数一定没有极值．
2．求函数y＝f(x)极值的方法
极小值
＝f(x
0
)，x
0
是极小值点．极大值与极小值
第 51 页 共 279 页
一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0. 当f′(x
0
)＝0时：
(1)如果在x
0
附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x
0
)是极大值；
(2)如果在x
0
附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0
)是极小值．
[点睛] 一般来说，“f′(x
0
)＝0”是“函数
y＝f(x)在点x
0
处取得极值”的必要不充分
条件．若可导函数y＝f(x)在点
x
0
处可导，且在点x
0
处取得极值，那么f′(x
0
)＝
0；反之，若
f′(x
0
)＝0，则点x
0
不一定是函数y＝f(x
)的极值点．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x
3
＋ax
2
－x＋1必有2个极值．(
)
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
1
(3)函数f(x)＝
x
有极值．( )
答案：(1)√
(2)√ (3)×
2．下列四个函数：①y＝x
3
；②y＝x
2
＋1；③y＝|x|；④y＝2
x
，其中在x＝0处取得极小
值的是( )
A．①②
C．③④
答案：B
3．已知函数y＝|x
2
－1|，则( )
A．y无极小值，且无极大值
B．y有极小值－1，但无极大值
C．y有极小值0，极大值1
D．y有极小值0，极大值－1
答案：C
π
0，
?
上的极大值点为( ) 4. 函数f(x)＝x＋2cos
x在
?
2
??
A．0
π
C.
3
答案：B
π
B.
6
π
D.
2
B．②③
D．①③
第 52 页 共 279 页
题点一：知图判断函数的极值
运用导数解决函数的极值问题
1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
C．在(4，＋∞)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
D．在x＝2处取极大值
解析：选C 由导函数的图象可
知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋
∞)时，f′(x
)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.
题点二：已知函数求极值
2．求函数f(x)＝x
2
e
－
x
的极值．
解：函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe
x
＋x
2
·e
x
·(－x)′
－－
＝2xe
x
－x
2
·e
x
－－
＝x(2－x)e
x
.
－
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e
x
＝0，
－
解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
因此当x＝0时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(0)＝0；
4
－
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e
2
＝
2
.
e
题点三 已知函数的极值求参数
3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝
a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取
值范围是( )
A．(－∞，－1)
C．(0,1)
B．(0，＋∞)
D．(－1,0)
(－∞，0)
－
?
0
0
极小值0
(0,2)
＋
?
2
0
极大值4e
2
－
(2，＋∞)
－
?
解析：选D 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
第
53 页 共 279 页
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴
f(x)在x＝a处取得极小值，与
题意不符；
若－1
若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D.
4．已知f(x)＝ax
5
－bx
3
＋c在x＝±1处的极大值为4
，极小值为0，试确定a，b，c的值．
解：f′(x)＝5ax
4
－3bx
2
＝x
2
(5ax
2
－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax
2
(x
2
－1)
(1)当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
?
4＝f?－1?＝－a＋b＋c，
?
由表可知：
?
?
?
0＝f?1?＝a－b＋c.
(－∞，－
1)
＋
?
－1
0
极大值
(－1,0)
－
?
0
0
无极值
(0,1)
－
?
1
0
极小值
(1，＋∞)
＋
?
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
1．求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成
若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小
开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f
′(x)的符号在x
0
处由正(负)变负(正)，则f(x)在x
0
处取得极
大(小)值．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为
导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验
证充分性．
函数极值的综合应用
第 54 页 共 279 页
[典例] 已知函数f(x)＝x
3
－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝
－1处取得极值，直线y＝
m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解] 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x
2
－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)
2
－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x
3
－3x－1，f′(x)＝3x
2
－3，
由f′(x)＝0，解得x
1
＝－1，x
2
＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有
三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取
值范围是(－3,1)．
[一题多变]
4
1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x
3
＋ax2
－4”在x＝处取得极值，其
3
他条件不变，求m的取值范围．
4<
br>?
解：由题意可得f′(x)＝－3x
2
＋2ax，由f′
?
?
3
?
＝0，
可得a＝2，所以f(x)＝－x
3
＋2x
2
－4，
则f′(x)＝－3x
2
＋4x.
4
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，0)
－
?
0
0
－4
?
0，
4
?
?
3
?
＋
?
4
3
0
76
－
27
?
4
，＋∞
?
?
3
?
－
?
作出函数f(x)的大致图象如图所示：
第 55 页 共 279 页
因为直线y＝m与函数y＝f(
x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是
?
－4，－
76
?
.
27
??
2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结
果如何？改为“一个
交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与
y＝f(x)的图象有两个不同
的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有
一个交点．
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f
(x)＝0的根
就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f
(x)与g(x)的图象的
交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研
究函数的极值情况，并能在此基础上画出
函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函
数图象的交点的个数，从而
为研究方程根的个数问题提供了方便．
层级一 学业水平达标
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某
点处的导数值为0是函数y＝
f(x)在这点处取得极值的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．非充分非必要条件
解析：选B
根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即
必要性成立；反之
不一定成立，如函数f(x)＝x
3
在R上是增函数，f′(x)＝3x
2
，
则f′(0)＝0，
但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数
值为0是函数
y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
x
1
A．x＝为f(x)的极大值点
2
1
B．x＝为f(x)的极小值点
2
C．x＝2为f(x)的极大值点
第 56 页 共 279
页
D．x＝2为f(x)的极小值点
2
211
1－
x
?
＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)解析：选D 由f′(x)＝－
2
＋＝
?
?
x
xx
?
单调递减；当x＞2时，f′
(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．已知函数f(x)＝2x3
＋ax
2
＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是
( )
A．(2,3)
C．(2，＋∞)
B．(3，＋∞)
D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x
3
＋ax
2
＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x
2
＋2ax
＋36
，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增
区间是(3，＋∞)．
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x
＝－2处取得极小值，
则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C
由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)
＞0
；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x
∈
(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
5．已知
函数f(x)＝x
3
－px
2
－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(
x)的极大值、极小值分别
为( )
4
A.，0
27
C．－
4
，0
27
B．0，
4
27
4
D．0，－
27
解析：选A
f′(x)＝3x
2
－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
?
3－2p－q＝0，
?
p＝2，
??
?
解得
?
∴f(x)＝x
3
－2x
2
＋x.
??
?
1－p－q＝0，
?
q＝－1，
114
由f′(x)＝3x
2
－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大
值.当x＝1时f(x)
3327
取极小值0.
6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx
2
＋x的两个极值点，则常数a＝______________.
a＋2
b＋1＝0，
?
?
a
解析：∵f′(x)＝
x
＋2bx＋1
，由题意得
?
a
?
?
2
＋4b＋1＝0.
第 57 页 共 279 页
2
∴a＝－.
3
2
答案：－
3
1
7．函数f(x)＝ax
2<
br>＋bx在x＝
a
处有极值，则b的值为________．
1
解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝
a
处有极值， <
br>1
?
1
∴f′
?
＝2a·
?
a
?<
br>a
＋b＝0，即b＝－2.
答案：－2
8.已知函数f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)
．如图，则
下列说法中不正确的是________．(填序号)
3
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
2
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可
知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)
时，y＞0；x∈(
1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9
．设a为实数，函数f(x)＝e
x
－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝e
x
－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e
x
－
2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln
2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax
2
＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
(－∞，ln 2)
－
单调递减↘
ln 2
0
2(1－ln 2＋a)
(ln
2，＋∞)
＋
单调递增↗
第 58 页 共 279 页
13
∴a＝，b＝0，c＝－.
22
13
(2)由(1)知f(x)＝x
3
－x，
22
333
∴f′(x)＝x
2
－＝(x－1)(x＋1)．
222
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝ax
3
＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(
)
A．1，－3
C．－1,3
2
B．1,3
D．－1，－3
?
?
3a＋b＝0，
解析：选A ∵f′(x)＝
3ax＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴
?
∴a
?
a＋b
＝－2，
?
＝1，b＝－3.
2．已知f(x)＝x
3
＋ax
2
＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
B．(－3,6)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C
f′(x)＝3x
2
＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x
)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a
2
－12(a＋6)>0，∴a<－3
或a>6.
3．设a∈R，若函数y＝e
x
＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1
1
C．a＜－
e
B．a＞－1
1
D．a＞－
e
解析：选A ∵y＝e
x
＋ax，∴y′
＝e
x
＋a.令y′＝e
x
＋a＝0，则e
x
＝－a，∴x
＝ln(－a)．又
∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
4．已知函数f(x)＝e
x
(sin x－cos x)，x∈(0,2
017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
e
2π
?1－e
2
018π
?
A.
e
2π
－1
e
π
?1－e
1
008π
?
C.
1－e
2π
e
π
?1－e
2
016π
?
B.
1－e
2π
e
π
?1－e
1
008π
?
D.
1－e
π
解析：选B
f′(x)＝2e
x
sin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，
当2kπ
第 59 页 共 279 页
(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2 017π)，∴0<(2k＋1)π<2
017π，∴0≤k<1 008，k∈
Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋?＋f(2
015π)＝e
π
＋e
3π
＋e
5π
＋?＋e
2
015π
＝
e
π
[1－?e
2π
?
1
008
]e
π
?1－e
2 016π
?
＝，故选B. 1－e
2π
1－e
2π
5．若函数y＝－x
3
＋6x<
br>2
＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x
2
＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，
＋∞
)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．若函数f(x)＝x
3
＋x
2
－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围
为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x
2
＋2x－a，
则f′(－1)f′(1
)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1
2
－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x<
br>3
＋x
2
－5x－4在区
间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围
为[1,5)．
答案：[1,5)
7．已知函数f(x)＝e
x
(ax＋
b)－x
2
－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x
＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝e
x
(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4e
x
(x＋1)－x
2
－4x，
1
e
x
－
?
. f′(x)＝4e
x
(x
＋2)－2x－4＝4(x＋2)
?
2
??
令f′(x)＝0得，x＝－ln
2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln
2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln
2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e
2
)．
－
8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x
2
－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值．
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两
个不同的实数根，求实数b的取值
第 60 页 共 279 页
范围．
2
解：(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，
x＋a
所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．
(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x
2
－x＋b，
2
则g′(x)＝－2x－1＝－(x＞－2)．
x＋2x＋2
g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：
x
g′(x)
g(x)
由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，
g?－1?≤0，?
?
只需
?
g?0?＞0，
?
?
g?1?≤0
，
(－2,0)
＋
?
0
0
2ln
2＋b
(0，＋∞)
－
?
5
x＋
?
2x
?
?
2
?
b≤0，
?
?
即
?
2ln
2＋b＞0，
?
?
2ln 3－2＋b≤0，
所以－2ln 2＜b≤2－2ln 3.
故实数b的取值范围是(－2ln
2,2－2ln 3]．
1．3.3 函数的最大(小)值与导数
预习课本P29～31，思考并完成下列问题
(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？
(2)函数的最值与极值有什么关系？
第 61 页
共 279 页
(3)求函数最值的方法和步骤是什么？
[新知初探]
1．函数y＝f(x)在闭区间[
a
，
b
]上取得最值的条件 如果在区间[
a
，
b
]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线
，那么它必有最大值和最
小值．
[点睛] 对函数最值的三点说明
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.
若有唯一的极
值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[
a<
br>，
b
]上连续，是函数y＝f(x)在[
a
，
b
]上
有最大值或最小值的充分而非
必要条件．
2．求函数y＝f(x)在[
a
，
b
]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与
端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
[点睛] 函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概
念．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值
点附
近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值
则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的
未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点
处取得时必定是极值．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．(
)
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[
a
，
b
]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若函数f(x)＝－x
4
＋2x
2
＋3，则f(x)( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
第
62 页 共 279 页
答案：B
3．函数f(x)＝3
x
＋sin
x在x∈[0，π]上的最小值为________．
答案：1
4．已知f(x)＝－x<
br>2
＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m
的取值
范围是________．
答案：(－4，－2)
求函数的极值
[典例] 求函数f(x)＝4x
3
＋3x
2<
br>－36x＋5在区间[－2，＋∞)上的最值．
[解]
f′(x)＝12x
2
＋6x－36，令f′(x)＝0，
3
得x
1
＝－2，x
2
＝.
2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
－2
0
57
?
－2，
3
?
2
??
－
?
3
2
0
115
－
4
?
3
，＋∞
?
?
2
?
＋
?
3
由于当x＞时，f′(x)＞0，
2
3
?
所以f(x)
在
?
?
2
，＋∞
?
上为增函数．
115
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．
4
求函数最值的四个步骤
第一步求函数的定义域．
第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
第四步求极值、端点值，确定最值．
[活学活用]
π
0，
?
上取最大值时，x的值为( )
函数y＝x＋2cos x在
?
2
??
第 63 页 共
279 页
A．0
π
C.
3
π
B.
6
π
D.
2
1
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝，
2
π
π
1
0，
?
，∴x＝. 由y′>0得sin
x<， ∵x∈
?
?
2
?
62
π
1
ππ<
br>∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴
πππ
π0，
?
上单调递增，在
?
，
?
上单调递减．当x＝0时
，y＝2，当x＝时，y∴原函数在
?
?
6
??
62
?2
ππππππ
＝，当x＝时，y＝＋3，∵＋3>2>，∴当x＝时取最大值，故应选B
.
266626
由函数的最值求参数的取值范围
[典例] (1)函
数f(x)＝x
3
－x
2
－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等
于( )
A．3
C．2
B．1
D．－1
(2)已知函数f(x)＝2x
3
－6x
2
＋a在[－2,2]上有最小值
－37，求a的值，并求f(x)在[－2，
2]上的最大值．
[解析]
(1)f′(x)＝3x
2
－2x－1，
1
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
3
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
则f(2)最大，即a＋2＝3，
所以a＝1.
答案：B
(2)解：f′(x)＝6x
2
－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
所以当x＝－2时，f(x)
min
＝a－40＝－37，得a＝3.
所以当x＝0时，f(x)
max
＝3.
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值．
第 64
页 共 279 页
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[活学活用]
已
知函数f(x)＝ax
3
－6ax
2
＋b，问是否存在实数a，b，使f(x
)在[－1,2]上取得最大值3，
最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．显然a≠0.
f′(x)＝3ax
2
－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x
1
＝0，x
2
＝4(舍去)．
(1)当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
f′(x)
f(x)
[－1,0)
＋
单调递增
0
0
极大值
(0,2]
－
单调递减?
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
f′(x)
f(x)
[－1,0)
－
单调递减
0
0
极小值
(0,2]
＋
单调递增?
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2，
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
与最值有关的恒成立问题
2
[典例] 已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋c
在x＝－与x＝1处都取得极值．
3
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)
恒成立，求c的取值范围．
[解] (1)由f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋c，
得f′(x)＝3x
2
＋2ax＋b，
第 65 页 共
279 页
2
441
－
?
＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2， 因为f′
(1)＝3＋2a＋b＝0，f′
?
?
3
?
332
所以f′
(x)＝3x
2
－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
f′(x)
f(x)
?
－∞，－
2
?
3
??
＋
单调递增?
2
－
3
0
极大值
?
－
2
，1
?
?
3
?
－
单调递减?
1
0
极小值
(1，＋∞)
＋
单调递增?
2
－∞，－
?
和(1，＋∞)； 所以函数f(x)的递增区间为
?
3
??
2
－，1
?
. 递减区间为
?
?<
br>3
?
2
2212
－
?
＝＋c为极大值，(2)由(1
)知，f(x)＝x
3
－x
2
－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，
f
?
?
3
?
2723
因为f(2)＝2＋c，所
以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)
(x∈[－1,2])恒成立，
只需c
2
>f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[一题多变]
1．[变设问]
若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)
恒成立”改为“
若
存在x∈[－1,2]，不等式f(x)
成立”，结果如何？
3
解：由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
2
13
又f(－1)＝＋c>c－，
22
3
所以f(1)＝c－为最小值．
2
因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)
成立，
3<
br>所以只需c
2
>f(1)＝c－，即2c
2
－2c＋3＞0，
2
解得c∈R.
14
2．[变条件，变设问]已知函数f(x)＝x
3
＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
33
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)若f(x)≤m
2
＋m＋
10
在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
3
解：(1)f′(x)＝x
2
＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
第 66 页 共 279 页
4
再由f(2)＝－，得b＝4.
3
1
所以f(x)＝x
3
－4x＋4，f′(x)＝x
2<
br>－4.
3
令f′(x)＝x
2
－4>0，得x>2或x<－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
4284
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，
333
f(3)＝1，
28
所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.
3
要使f(x)≤m
2
＋m＋
只需m
2
＋m＋
10
在[－4,3]上恒
成立，
3
1028
≥，
33
解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)
，
n
]上恒成立，可先在区间[
m
，
n
]上求出函
数的最大值
f(x)
max
，只要h>f(x)
max
，则上面的不
等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[
m
，
n
]上
恒成立，可先在区间[
m
，
n
]上求出函数f(x)的最小
值f(x
)
min
，只要f(x)
min
>h，则不等式f(x)>h恒成立．
层级一 学业水平达标
1．设M，m分别是函数f(x)在[
a
，
b
]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0
C．等于1
B．小于0
D．不确定
解析： 选A 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函
数y＝2x
3
－3x
2
－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别
是( )
A．12，－8
C．12，－15
解析：选A
y′＝6x
2
－6x－12，
由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴y
max
＝12，y
min
＝－8.故选A.
B．1，－8
D．5，－16
第 67 页 共 279 页
3．函数f(x)＝x
4
－4x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D
f′(x)＝4x
3
－4＝4(x－1)(x
2
＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1?(－1,1)，
∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
1
4．函数f(x)＝2x＋
x
，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2
17
C.
4
B．3
1
D．22＋
2
3
x－1
2
11
解析：选B
由f′(x)＝－
2
＝
2
＝0，得x＝1，
x
x
x
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
ln
x
5．函数y＝
x
的最大值为( )
A．e
1
－
B．e
D．10 C．e
2
?ln
x?′x－ln x1－ln x
解析：选A 令y′＝＝＝0?x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0
＜x
x
2
x
2
＜e时，y′＞0，所以y
极大值
＝
f(e)＝e
1
，在定义域内只有一个极值，所以y
max
＝e
1<
br>.
－－
6．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为__________．
1－2x
11
解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.
4
2x2x
11
∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.
44
1
∴x＝时，y
max
＝
4
1
答案：
4
7．函数f(x)＝xe
x
，x∈[0,4]的最小值为________
．
－
111
－＝.
444
解析：f′(x)＝e
x－xe
x
＝e
x
(1－x)．
－－－
令f′(x)＝0，得x＝1(e
x
＞0)，
－
第 68 页 共 279 页
14
∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝
4
＞0，
ee
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
8．若函数f(x)＝x3
－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝
_____
___.
解析：∵f′(x)＝3x
2
－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)
min
＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)
max
＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
k
9．设函数f(x)＝e
x
－x
2
－x.
2
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)k＝0时，f(x)＝e
x
－x，f′(x)＝e
x
－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0
；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单
调递减，在(0，＋∞)
上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
1
(2)若k＝1，则f(x)＝ex
－x
2
－x，定义域为R.
2
∴f′(x)＝e
x
－x－1，令g(x)＝e
x
－x－1，
则g′(x)＝e
x
－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)
min
＝g(0)＝0，即f′(x)
min
＝0，故f′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
10．已知函数f(x)＝x
3
＋ax2
＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x
＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(
1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1
第 69 页 共 279 页
＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x
2
＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
??
?
a＋b＝－2，
?
a＝2，
?
由解得
?
??
?
2a＋b＝0.
?
b＝－4，
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x
3
＋2x
2
－4x＋5，
f′(x)＝3x
2
＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
2
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
3
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
－3
8
2
?
95∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f
?
?
3
?
＝
27
，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝x
3
－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(
)
A．[0,1)
C．(－1,1)
B．(0,1)
1
0，
?
D.
?
?
2
?
(－3，－2)
＋
?
极大值
－2
0
?
－2，
2
?
3
??
－
?
2
3
0
极小值
?
2
，1
?
?
3
?
＋
?
1
4
解析：选B ∵f′(x)＝3x
2
－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x
2
，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，
故选B.
2．若函数f(x)＝x
3
－3x
2
－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(
)
A．－10
C．－15
B．－71
D．－22
解析：选B f′(x)＝3x
2
－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x
)＝0，得x＝3或x＝－1.又
第 70 页 共 279 页
f(－4
)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)
max<
br>＝k＋5＝10，得k＝5，∴
f(x)
min
＝k－76＝－71.
3．设直线x＝t与函数f(x)＝x
2
，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最
小值时t的值为( )
A．1
C.
5
2
1
B.
2
D.
2
2
解析：选D
因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x
2
－ln
x，设
2
2x
2
－1
1
2x－1
2
h(x
)＝x－ln x，则h′(x)＝2x－
x
＝
x
，令h′(x)＝
x
＝0，得x＝，所以h(x)在
2
2
?
0，
2
?
上单调递减，在
?
2
，＋∞
?
上单调递增，所以当x＝2
时有最小值，故t＝
2
.
22
2
???
2
?
4．函数f(x)＝x
3
＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实
数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选B ∵f(x)＝x
3
＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x
2
＋a≥0在[1，＋<
br>∞)上恒成立，即a≥－3x
2
在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3
x
2
)
max
＝－3，∴a≥
－3.
1
5．设函
数f(x)＝x
2
e
x
，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成
立，则实数m的取值范
2
围是________．
1
2x
e
x
解析：f′(x)＝xe＋xe＝·x(x＋2)，
22
x
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.
当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
∴当x＝0时，f(x)
min
＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)
min
，∴
m＜0.
答案：(－∞，0)
6．已知函数y＝－x
2
－2x＋
3在区间[
a,
2]上的最大值为
15
，则a＝________.
4
－2
0
(－2,0)
－
递减
0
0
(0,2)
＋
递增
2
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，
在(－
第 71 页 共 279 页
1，＋∞)上单调递减．若a＞－1
，则最大值为f(a)＝－a
2
－2a＋3＝
151
，解之得a＝－
42
?
a＝－
3
舍去
?
；若a≤－1，则最大值为f(－1
)＝－1＋2＋3＝4≠
15
.综上知，a＝－
1
.
2
??
42
1
答案：－
2
7．已知函数f(x)
＝ax
3
＋x
2
＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′
(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解：(1)∵f′(x)＝3ax
2
＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax
3
＋(3a＋1)x
2
＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
从而3a＋1＝0，b＝0，
1
解得a＝－，b＝0，
3
1
因此f(x)的表达式为f(x)＝
－x
3
＋x
2
.
3
1
(2)由(1)知g(x)＝－x
3
＋2x，
3
∴g′(x)＝－x
2
＋2，令g′(x)＝0.
解得x
1
＝－2(舍去)，x
2
＝2，
5424
而g(1)＝，g(2)＝，g(2)＝，
333
因此g(x)在
区间[1,2]上的最大值为g(2)＝
424
，最小值为g(2)＝.
33
a
8．已知函数f(x)＝ln x＋.
x
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
3
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
2
a
解：函数f(x)＝ln x＋
x
的定义域为(0，＋∞)，
1
a
x－a
f′(x)＝
x
－
2
＝
2
，
xx
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
第
72 页 共 279 页
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)
单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]
3
上的最小值是相矛盾； <
br>2
3
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，
同样与最小值是相
2
矛盾；
③当1
f
′(
x
)<0，
f
(
x
)
单调递减，在(
a
，e]上有f′(x)>0，f(x)
单调递增，
3
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝e.
2
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小
值为f(e)＝2，这与
3
最小值是相矛盾；
2
a
⑤当a>e时，
显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值
e
3
是相矛盾；
2
综上所述，a的值为e.
生活中的优化问题举例
几何中的最值问题
[典例] 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，<
br>做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面
边
长为a－2x，高为x，
a
V(x)＝(a－2x)
2
x,0
第 73 页 共 279 页
a
即V(x)＝4x<
br>3
－4ax
2
＋a
2
x,0
a
0，
?
上的最大值点． 实际问题归结为求V(x)在区间?
?
2
?
a
0，
?
内， 为此，先求V(x)
的极值点．在开区间
?
?
2
?
V′(x)＝12x
2
－8ax＋a
2
.
令V′(x)＝0，得12x
2
－8ax＋a
2
＝0.
11
解得x
1
＝a，x
2
＝a(舍去)．
62<
br>a
1
0，
?
内，x
1
可能是极值点．且 x
1
＝a在区间
?
?
2
?
6
当0
时，V′(x)>0；
a
当x
1
a
1
0，
?
内，x
1
是唯一的极值点，所
以x＝a是V(x)的最大因此x
1
是极大值点，且在区间
?
?
2<
br>?
6
值点．
1
即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．
6
1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中
各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之
间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
2．几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问
题，求解时先设出恰当的变
量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最
后检验．
[活学活用]
1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S
圆柱底
＝2πr
2
，
S
圆柱侧
＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr
2
＋2πrh.
S－2πr
2
∴h＝，
2πr
第 74 页 共
279 页
rS－2πr
r
又圆柱的体积V＝πrh＝(S－2πr
2
)＝，
22
2
3
S－6πr
2
V′(r)＝，
2
令V′(r)＝0得S＝6πr
2
，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝
2r时圆柱的
容积量大．
又r＝
S
，∴h＝2
6π
S
6πS
＝.
6π3π
6πS
.
3π
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为
答案：
6πS
3π
2．将一段长为100
cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使
正方形与圆面积之和最小？
解：设弯成圆的一段长为x(0＜x＜100)，另一段长为100－x，记正方形与圆的面积之和
x
?
2
?
100－x
?
2
x
1
为S
，则S＝π
?
＋(0＜x＜100)，则S′＝－(100－x)．
?
2π
?
?
4
?
2π
8
令S′＝0，则x＝
10
0π
.
π＋4
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和
最小值显然存在，故当x
＝
100π
cm时，面积之和最小．
π＋4
故当截得弯成圆的一段长为
100π
cm时，两种图形面积之和最小.
π＋4
用料、费用最少问题
[典例]
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥
墩之间的桥面和桥墩．经测
算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之
间的桥面工程费用为(2＋x)x万元
．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其
他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解]
(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
m
即n＝
x
－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
m
?
m
＝
256
?
?
x
－1
?
＋
x
(2＋x)x
第 75 页 共 279 页
256m
＝＋mx＋2m－256.
x
256m
11
m<
br>33
(2)由(1)知，f′(x)＝－
2
＋mx－＝
2
(x
－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以
x222x22
x＝64.
当0
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
m
640
此时n＝－1＝－1＝9.
x
64
故需新建9个桥墩才能使y最小．
费用、用料最省问题是
日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义
以及最值问题所研究的对象．正确书写函
数表达式，准确求导，结合实际做答．
[活学活用]
某工厂要围建一个面积为128 m
2
的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三
边要砌
新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
解：设场地宽为x
m，则长为
因此新墙总长度为y＝2x＋
y′＝2－
128
m，
x
128
(x＞0)，
x
128
，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
x
2
因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.
即当堆料场的长为16
m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
利润最大问题
[典例] 某商场销
售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价
格x(单位：元千克)满足关系
式y＝
a
＋10(x－6)
2
.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格<
br>x－3
为5元千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2
)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获
得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，
第 76 页 共 279
页
a
所以＋10＝11，a＝2.
2
(2)由(1)可知，该商品每日的
销售量y＝
2
＋10(x－6)
2
，
x－3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
2
2
f(x)＝(x
－3)
?
x－3
＋10?x－6?
?
＝2＋10(x－3)·(x－
6)
2,
3＜x＜6.
??
从而f′(x)＝10[(
x
－6)
2
＋2(
x
－3)(
x
－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产
量或单价为自变量很容易
建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[活学活用]
(3,4)
＋
单调递增↗
4
0
极大值42
(4,6)
－
单调递减↘
?
6－x
，0
?
2
?
3
，x>c
，
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
次品数
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
产品总数
2
223
1－
?
·解：(1)当x>c时，p＝，y＝<
br>?
x·3－·x·＝0；
?
3
?
332
当0
，
6－x
1
(c
为常数，且0
第 77 页 共 279 页
1
13
3?9x－2x?
∴y＝
?
1－
6－x
?
·x·3－·x·＝.
??
6－x
2
2?6－x?
∴日盈
利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
3?9x－2x?
?
?
，
0
y＝
?
(c为常数，且0
?
0，x>c，
(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.
3?9x－2x
2
?
当0
3
?9－4x??6－x?＋9x－2x3?x－3??x－9?
∴y′＝·＝
，
2
?6－x?
2
?6－x?
2
2
2
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，
3?9c－2c
2
?
∴
①当0
最大值
＝f(c)＝.
2?6－c?
②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴
y在(0,3)上单调递增，在(3，
c)上单调递减．
9
∴y
最大值
＝f(3)＝.
2
综上，若0
层级一 学业水平达标
1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对
原油进行冷却和加热，如果第x小时时，
1
原油温度(单位：℃)为f(x)＝x
3<
br>－x
2
＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是
3
( )
A．8
C．－1
20
B.
3
D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x
2
－2x
为二次函数，且f′(x)＝(x－1)
2
－1，又x
∈[0,5]，故x＝1时，f
′(x)
min
＝－1.
2．把一段长为12
cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角
形面积之和的最小值是( )
33
A. cm
2
2
C．32
cm
2
B．4 cm
2
D．23
cm
2
第 78 页 共 279 页
解析：选D
设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
2
8
1
?
x
?
2
31
?
12－x
?
2
33
?
2x8x
3
?
4
x－
?
. 则S(x)＝×
?
3
?
×＋××＝
?
9
－
3
＋16?
，∴S′(x)＝
?
222
?
3
?
244<
br>?
93
?
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，
当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，
∴当x＝6时，S(x)最小．
∴S＝
8
3
?
1
2××6
2
－×6＋16
?
＝23(cm
2
)．
3
?
4
?
9
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 0
00元，每生产一单位产品，成本增加100元，
1
?
?
400x－
2
x
2
?0≤x≤400?，
已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝<
br>?
则总利润最大时，每年
?
?
80
000?x>400?，
生产的产品是( )
A．100
C．200
B．150
D．300
解析：选D 由题意，总成本为：C＝20 0
00＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
x
?
?
300x－
2<
br>－20 000，0≤x≤400，
?
?
?
60 000－
100x，x>400，
?
?
300－x，0≤x≤400，
P′＝
?
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，
?
?
－100，x>400，
2
P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A.4V
3
C.4V
3
B．2V
1
D.V
2
4V
，
3x
2
解析：选C 设底面边长为x，则高为h
＝
∴S
表
＝3×
4V
3
2
43V
3
2
2
×x＋2×
4
x＝
x
＋
2
x，
3x
43V
＋3x，
x
2
∴S
表
′＝－
3
令S
表
′＝0，得x＝4V.
3
经检验知，当x＝4V时，S
表
取得最小值．
第
79 页 共 279 页
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R
4
C.R
3
B．2R
3
D.R
4
解析：选C 设圆锥高为h，底面半径为r，则R
2
＝(h－R)
2
＋r
2
，∴r
2
＝2Rh－h
2
，∴V
4R
1
π
2
π
44
＝
πr
2
h＝
h(2Rh－h
2
)＝
πRh
2
－h
3
，V′＝<
br>πRh－πh
2
.令V′＝0得h＝R. 当0
4R
4
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，
利润(单位：万元)分别为L
1
＝5.06x－0.15x
2
和L
2
＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大
利
润为________万元．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x
2
＋2(15－x)
＝－0.15x
2
＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
答案：45.6
7．如图，内接于抛物线
y＝1－x
2
的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在
x轴上运动，则
此矩形的面积的最大值是________．
x
??
x
，1－
x<
br>?
，
，0
，解析：设CD＝x，则点C坐标为
?
点B坐标为<
br>?
2
??
24
?
∴矩形ABCD的面积
2
2
?
1－
x
?
S＝f(x)＝x·
?
4
?
x
3
＝－＋x，x∈(0,2)．
4
3
由f′(x)＝－x
2
＋1＝0，
4
得x
1
＝－
22
(舍)，x
2
＝，
33
2
?
时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
3
?
?
∴x∈
0，
?
x∈
?
2
，2
?
时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
?
3
?
243
时，f(x)取最大值.
9
3
43
9
当x＝
答案：
第 80 页 共 279 页
2
8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x
3
，又产
品单价的平方与产品件
75
数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大
时，产量应定为__________
件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产
品件数x成反比，即a
2
x＝k，由题知
500
a＝.
x
总利润y＝500x－
y′＝
2
3
x－1
200(x>0)，
75
2502
2
－x，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，
x
25
y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，
y取最大值．
答案：25
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的
屋顶和外墙需要建造隔热层．某
幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6
万元．该建筑物每
年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x
)＝
k
3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f
(x)为隔热层建造费用与20年
的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为x
cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝
＝8，得k＝40，
因此C(x)＝
40
.
3x＋5
k
，再由C(0)
3x＋5
而建造费用为C
1
(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
40
f(x)＝20C(x)＋C
1
(x)＝20×＋6x
3x＋5
800
＝＋6x(0≤x≤10)．
3x＋5
(2)f′(x)＝6－
2 400
，
?3x＋5?
2
2 400
＝6，
?3x＋5?
2
令f′(x)＝0，即
25
解得x＝5，x＝－(舍去)．
3
第 81 页 共 279 页
当0
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为
800
f(5)＝6×5＋＝70.
15＋5
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．
10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利
200元，如果生产出一件次
品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x
的函数关系是：p
＝
3x
(x∈N
*
)．
4x＋32
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可知次品率p＝日产
次品数日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品
数为x(1－p)．
因为次品率p＝
3x
，当每天生产x件时，
4x＋32
3x
3x
有x·件次品，有x
?
1－
4x＋32
?
件正品．
??
4x＋32
3x
3x
所以T＝200x
?
1－
4x＋32
?
－100x·
??
4x＋32
64x－x<
br>2
＝25·(x∈N
*
)．
x＋8
?x＋32?·?x－16?
(2)T′＝－25·，
?x＋8?
2
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
当0
层级二 应试能力达标
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)
与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝
1
－x
3
＋81x－234，
则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
3
A．13万件
C．9万件
B．11万件
D．7万件
解析：选C y′＝－x
2
＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′
＞0；当x
＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．2πr
2
B．πr
2
第 82
页 共 279 页
C．4πr
2
1
D.
πr
2
2
解析：选A
设内接圆柱的底面半径为r
1
，高为t，
22
则S＝2πr
1t＝2πr
1
2r
2
－r
2
1
＝4πr
1
r－r
1
.
4224
∴S＝4πr
2
r2
1
－r
1
. 令(rr
1
－r
1
)
′＝0得r
1
＝
2
r.
2
此时S＝4π·
2r·
2
r
2
－
?
2
r
?
2<
br>＝4π·
2
r·
2
r＝2πr
2
.
22<
br>?
2
?
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖
出(200－x)件，
要使利润最大每件定价为( )
A．80元
C．90元
B．85元
D．95元
解析：选B 设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x
2
＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝
170
＝85.
2
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
R
3
A.和R
22
47
C.R和R
55
B.
545
R和R
55
D．以上都不对
解析：选B 设矩形的宽为x，则长为2R
2
－x
2
，
则
l＝2x＋4R
2
－x
2
(0
1
＝
当0
，
R
2
－x
2
55
R，x
2
＝－R(舍去)．
55
55
R时，l′>0，当R
5545
R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
555
所以当x＝
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元次
，一年的总存
储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
400
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝
x
，
1
6001 600
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝
x
＋4x，令f′
(x)＝4－
2
＝0，解得x＝
x
20，x＝－20(舍去)，
第 83 页 共 279 页
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
答案：20
6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是
侧棱长为3
m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O
1
的距离为__________
m时，帐篷的体积最大．
解析：设OO
1
为x m，底面正六边形的面积为S
m
2
，帐篷的体积
为V m
3
. 则由题设可得正六棱锥底面边长为
3
2
－?x－1?
2
＝8＋2x－x
2
(m)，于是底面正
六边
形的面积为S＝6×
帐篷的体积为
13333
V＝×(8＋2x－x<
br>2
)(x－1)＋(8＋2x－x
2
)
322
＝
＝
3
(8＋2x－x
2
)
[
?x－1?＋3
]
2
3
(16＋12x－x
3
)，
2
3
(12－3x
2
)．
2
333
(8
＋2x－x
2
)
2
＝(8＋2x－x
2
)．
42
V′＝
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2
7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每
年
投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t
2
＋5t(百万元)(0≤t≤3
)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司
由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测
，每投入技术
1
改造费x百万元，可增加的销售额约为－x
3
＋x
2
＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，
3
使该公司由此获得的收益最大．(收
益＝销售额－投入)
解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，
则
有f(t)＝(－t
2
＋5t)－t＝－t
2
＋4t＝－(t－2)
2
＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时
，该公司由此获得的收益最
大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，
第 84 页 共 279 页
1
1
－x
3＋x
2
＋3x
?
＋[－(3－
x
)
2
＋5(3－
x
)]－3＝－x
3
＋4x＋3(0≤x≤3)， 则g(x)＝
?
?
3
?
3
∴g′(x)＝－x
2
＋4，
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2
该公司由此获得的收益最大．
8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米小时)
的函数为y＝
13
x
3
－x＋8(0
(1)当x＝64千米小时时，行驶100千米耗油量多少升？
(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？
解：(1)当x＝64千米小时时，要行驶100千米需要
10025
＝小时， 6416
13
25
×64
3
－×64＋8
?
×
＝11.95(升)． 要耗油
?
80
?
128
000
?
16
(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，
?
1
x
3
－
3
x＋8
?
×
a<
br>＝22.5，
80
?
128 000
?
x
∴a＝<
br>22.5
183
x
2
＋－
x
80128
000
，
设h(x)＝
183
x
2
＋
x
－，
128 00080
则当h(x)最小时，a取最大值，
33
18
x－80
h′(x)＝x－＝，
64
000x
2
64 000x
2
令h′(x)＝0?x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，
故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，
当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
a＝
22.5
183
×80
2
＋－
128
0008080
＝200.
故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．
第 85 页 共 279 页
定积分的概念
1．5.1&1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
预习课本P38～44，思考并完成下列问题
(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？
(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？
[新知初探]
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象
是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I
上的连续函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[
a<
br>，
b
]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形 (如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的
面积，得到每个
小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的
个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，
即为曲边梯形的面积．
3．求变速直线运动的位移(路程)
第 86 页 共 279 页 如果物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、
取极
限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
[点睛]
当n→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )
i
?
2
i－1
i
?
(2)当n很大时，函数f(x)＝x
2
在
区间
?
，
上的值，只能用
?
?
n
?
近似代
替．( )
?
nn
?
(3)m
i
＝i，
?m
i
＝30.( )
i
＝
1
2
4
答案：(1)× (2)× (3)√
2．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________．
答案：9 [1.4,1.6]
3．做直线运动的物体的速度v＝2t(ms)，则物体在前3 s内行驶的路程为________
m.
答案：9
求曲边梯形的面积
[典例] 求
直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x
2
＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式
1
1
2
＋2
2
＋?＋n
2
＝n(n＋1)(2n＋
1)]．
6
[解] 令f(x)＝x
2
＋1.
(1)分割：将区间[0,2]n等分，分点依次为
2?n－1?
24
x<
br>0
＝0，x
1
＝，x
2
＝，?，x
n
－1
＝，x
n
＝2.
nnn
2i－2
2i
?<
br>第i个区间为
?
?
n
，
n
?
(i＝1,2，?，n)，
2i
2i－2
2
每个区间长度为Δx＝－＝.
nnn
2i
(2)近似代替、求和：取ξ
i
＝(i＝1,2，?，n)，
n
n
n
2i
2
?
·Δx＝
?
??
2i
?
2
＋1
?
·S
n
＝
?
f
?
?
n
???
n
??
n
i＝1
i＝1
第 87 页 共 279 页
8
n
2
8
＝
3
?
i＋2＝
3
(1
2
＋2
2
＋?＋n
2
)＋2
nn
i＝1
3
1
8
n?n＋1??2n＋1?
4
2＋＋
2
?
＋2
. ＝
3
·＋2＝
?
n63
?
n
n
?(3)取极限：S＝ S
n
＝
31
4
?
2＋
n
＋
2
?
＋2
?
?
n
???
3
?
1414
＝，即所求曲边梯形的面积为.
33
求曲边梯形面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
[活学活用]
求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x
3
所围成的图形的面积．
?
提示：1
3
＋2
3
＋?＋n
3
＝
?
1
n?n＋1?
?
2
?
??
2
??
解：①分割．
n＋1n＋2n＋?n－1?
如
图所示，用分点，，?，，把区间[1,2]等分成n
nnn
n＋1
??
n＋
1n＋2
?
个小区间
?
1，
，，
，
n
?
?
nn
??
n＋i－1n＋i
?
?，
?
?
n
，
n
?
，?，
?
n＋?n－1?
，2
?
，每个小区间的长度为Δx＝
n＋i
－
n＋i－1
＝
1<
br>(i＝1,2,3，?，n)．过各分
nnn
n
??
点作x轴的垂线，
把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS
1
，
ΔS
2
，?，ΔS
n
.
②近似代替．
1
各小区间的左端点
为ξ
i
，取以点ξ
i
的纵坐标ξ
3
为一边，以小区间长Δx
＝
i
n
为其邻边的小
矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i个小曲边梯形
面积，可以近似地表示为ΔS
i
≈ξ
3
i
·Δx
n＋i－1
?
3
1
＝
?
n
(i＝1,2,3，?，n)．
?
n
?
·
③求和．
因为每一个小矩形的面积都可以作为相
应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形
第 88 页 共 279 页
面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，
nn
n＋i－1
?
3
1
?
即S＝
?
ΔS
i
≈
?
??
·.
n
n
????
i
＝
1i＝
1
④取极限．
当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形A
BCD的面积S.因此n→∞，
即Δx→0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
n＋i－1
?
3
1
?
因为
?
??
·
n
?
n
?
i
＝
1
??
n
1
n
＝
4
?
(n＋i－1)
3
n
i
＝
1
1
n
＝
4
?
[(n－1)
3
＋3(n－1)
2
i＋3
(n－1)i
2
＋i
3
]
n
i
＝
1n?n＋1?
n
11
＝
4
[n(n－1)
3
＋
3(n－1)
2
·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n
2
(n
＋1)
2
]，
n264
所以S＝
n＋i－1
?
3
1
?
?
n
?
n
?
·
n
i
＝
1
3115
＝1＋＋1＋＝.
244
求变速运动的路程
6
[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝
2
，求汽车在t＝1到t
t
＝2这段时间内运动的路程s.
n＋i－1n＋i
?
[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n个小区间
?
?
n
，
n
?
(i＝1,2，?，n)，每个区间
1
的长度Δt＝
n
，每个时间段行驶的路程记为Δs
i
(i＝1,
2，?，n)．
故路程和s
n
＝
?
s
i
. i＝1
(2)近似代替：ξ
i
＝
n＋i－1
n
(i＝1
,2，?，n)，
n
n＋i－1
?
1
?
n
?2
·
Δs
i
≈v
?
·Δt＝6·
?
n
??
n＋i－1
?
n
6n
＝
?n＋i－1?
2
第 89 页 共 279 页
6n
≈(i＝1,2,3，?，n)．
?n＋i－1??n＋i?
n
6n
(3)求和：s
n
＝
?
?n＋i－1??n＋i
?
i＝1
111111
＝6n
?
n
－
n＋1
＋
n＋1
－
n＋2
＋?＋
2n－1
－
2n
?
??
11
?
＝6n
?
?
n
－
2n
?
.
11
?
(4)取极限：s＝li
n→∞
m
s
n
＝li
n→∞
m
6n
?
?
n
－
2n
?
＝3.
求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积
，用“以直代
曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速
直线运动的时间区间．
[活学活用]
已知一质点的运动速度为v(t)＝6t
2
＋4(单位：ms)，求质点开始运动后5
s内通过的路
程．
解：(1)分割
5
0，
?
，在时间
区间[0,5]上等间隔地插入n－1个点，将区间等分成n个小区间
?
?
n
?
?
5
，
10
?
，?，
?
5?i－1?<
br>，
5i
?
，?，
?
5n－5
，5
?
，
?
nn
?
n
??
n
?
n
?<
br>5?i－1?
5i
?
其中，第i(1≤i≤n)个小区间为
?
?
n
，
n
?
，
5i
5?i－1?
5
其区间长度为－＝，
nnn
每个小时
间段内的路程记为s
1
，s
2
，?，s
n
.
(2)近似代替
根据题意可得第i(1≤i≤n)个小时间段内的路程为
?
5?i－1?
?
2
?
5
750?i－1?
20
Δ
s
i
＝
?
6
?
＋4
?
·＝＋.
3
n
n
?
?
n
?
?
n
2
(3)求和
每个小时间段内的路程之和为
750?i－1?
20
?
S
n
＝
?
?
＋
n
n
3
?
i
＝
1
?
n
2
第 90 页 共 279 页
750<
br>＝
3
[0
2
＋1
2
＋2
2
＋…＋(
n
－1)
2
]＋20
n
7501
＝
3
·(n－1)n(2n－1)＋20
n6
125
＝
2
(2n
2
－3n＋1)＋20.
n
(4)取极限
当n→∞时，S
n
的极限值就是所求质点运动的路程，
125
2
?
2
?2n－3n＋1?＋20
＝270，
s＝li
n→∞
mS
n
＝li
n→∞
m
?
?
n
?
即质点运动的路程为270 m.
层级一 学业水平达标
1．和式
?
(x
i
＋1)可表示为( )
i
＝
1
5
A．(
x
1
＋1)＋(x
5
＋1)
B．x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
＋x
5
＋1
C．x<
br>1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
＋x
5＋5
D．(x
1
＋1)(x
2
＋1)?(x
5
＋1)
解析：选C
?
(x
i
＋1)＝(x
1
＋1)＋
(x
2
＋1)＋(x
3
＋1)＋(x
4
＋1)＋(x
5
＋1)＝x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4<
br>i
＝
1
5
＋x
5
＋5.
2．在求由x＝a
，x＝b(a
，
b
]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边
梯形分成n个
小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
解析：选A n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴
①正确
，②③④错误，故应选A.
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[
x
i，
x
i
＋
1
]上的近似值等于( )
第 91 页 共 279 页
A．只能是左端点的函数值f(x
i
)
B．只能是右端点的函数值f(x
i
＋
1
)
C．可以是该
区间内任一点的函数值f(ξ
i
)(ξ
i
∈[
x
i
，
x
i
＋
1
])
D．以上答案均不正确
解析：选C 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.
1
4．在求
由函数y＝与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]
x
等
分成n个小区间，则第i个小区间为( )
i－1
i
?
A.
?<
br>?
n
，
n
?
C．[
i
－1，
i
]
n＋i－1n＋i
?B.
?
?
n
，
n
?
i
i＋
1
?
D.
?
，
?
nn
?
1
解析：选B 把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间
n
的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B.
i－1
i
?
5．函数f(x)＝x
2
在区间
?
?
n
，n
?
上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
i－1
i
?
1
解析：选D 当n很大时，区间
?
的
长度
n
越来越小，f(x)的值变化很小，故选
，
?
nn
?
D.
6.求由抛物线f(x)＝x
2
，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成
的平面图
形的面积时，若将区间[0,1]
5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标
为高，则所有矩形的面积之和为__________．
1
解析：S＝×
5
??
1
?
2
＋
?
3
?
2
＋
?
5
?
2
＋
?
7
?
2
＋
?
9
?
2
?
＝0.33.
??
10
??
10
??
10
??
10
??
10
??
答案：0.33
7．由直线x＝0，x
＝1，y＝0和曲线y＝x
2
＋2x围成的图形的面积为________________．
i
?
2
ii
2
2i
1
?
解析：将
区间[0,1]n等分，每个区间长度为
n
，区间右端点函数值y＝
?
n?
＋2·
n
＝
n
2
＋
n
.
n
i
2
2i
?
1
i
2
2i
?1
n
2
2
n
112
??
作和S
n＝
?
?
n
2
＋
n
?
n
＝
?
?
n
3
＋
n
2
?
＝
3
?
i＋
2
?
i＝
3
×n(n＋1)(2n＋1)＋
2
n
i
＝
1
n
i
＝
1
n6n
i
＝
1i
＝
1
n
第 92 页 共
279 页
n?n＋1??n＋1??2n＋1?n＋18n
2
＋9n＋1
×＝＋
n
＝，
26n
2
6n
2
∴所求面积S＝
4
答案：
3
8．汽车以v＝(3t＋2)ms做变速直线运动，在第1 s到第2
s间经过的路程是________．
1
解析：将[1,2]n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt＝，
n
i－1
?
i－1
?
3
v(ξ
i
)＝v
?
1＋
＝3
?
1＋
＋2＝
n
(i－1)＋
5.
n
?
n
???
3
1
?i－1?＋5
?
· 所以s
n
＝
?
?
?
n
?
n
n
i
＝
1
8n
2
＋9n＋1
＝
6n
2
431
4
＋＋
2
?
＝. ?
?
32n6n
?
3
?
3
?
1
＝
?
n
[0＋1＋2＋?＋?n－1?]＋5n
?
·
n<
br>
??
1
3
n?n－1?
3
1－
n
?
＋5， ＝
2
·＋5＝
?
?
n22
?
所
以s＝
3
s
n
＝＋5＝6.5 (m)．
2
答案：6.5
m
9. 求由抛物线y＝x
2
与直线y＝4所围成的图形的面积．
解：
如图，∵y＝x
2
为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求图形的面积应为y
＝x
2
(x≥0)与直
线x＝0，y＝4所围成的图形面积S
阴影
的
2倍，
下面求S
阴影．
y＝x，
?
?
由
?
y＝4，
?
?
x≥0，
2
得交点为(2,4)．
先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x
2
围成的图形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n等分，
2?i－1?
2
则Δx＝
n
，取ξ
i
＝
n
(i＝1,2，?，n)．
第 93 页 共 279 页
(2)近似代替、求和
n
2?i－1?
?
2
2
S
n
＝
?
?
·
n
n
??
i
＝
1
8
＝
3
[0
2
＋1
2
＋2
2
＋3
2
＋…＋(
n
－1)
2
]
n
11
8
1－
??
1－
?
＝
?
3
?
n
??
2n
?
(3)取极限 <
br>S＝
11
8
?
8
1－
??
1－
?<
br>?
＝.
?
?
3
?
n
??
2n<
br>?
?
3
81632
∴S
阴影
＝2×4－＝.∴2S<
br>阴影
＝.
333
32
即抛物线y＝x
2
与直线y＝4所围成的图形的面积为.
3
10．汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：kmh)为v(t)＝t
2<
br>＋2，那么它在
1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？
i－1
i
?
解：将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为
?
1＋
(i＝1,2，?，n)．
，1＋
nn
??
第i个时间区间的路程的近似值为
11
?
1＋
i－1
?
·
Δξ
i
≈Δξ
i
′＝v(t)·＝v
n
n
?
n
?
2
3
2
?i－1??i－1?
＝＋＋
3
，
n
n
2
n3
2?i－1??i－1?
?
于是s
n
＝
?
Δ
ξ
i
′＝
?
?
＋＋
3
n2
n
?
i
＝
1i
＝
1
?
n<
br>nn
2
321
＝n·＋
2
·[0＋1＋2＋…＋(
n
－1)]＋
3
[0
2
＋1
2
＋2
2
＋…＋(
n
－1)
2
]
n
nn
n
1<
br>?n－1?n?2n－1?
2
?n－1?·
＝3＋
2
·＋3
·
n2n6
1
1
11
1－
?
＋<
br>?
1－
??
1－
?
. ＝3＋
?
?
n
?
3
?
n
??
2n
?
所以s＝ sn
＝
1
1
11
13
1－
n
?
＋
?
1－
n
??
1－
?
＝. 3＋
?<
br>??
3
???
2n
?
3
13
故这段时间行驶
的路程为 km.
3
层级二 应试能力达标
1．设函数f(x)在区间[
a
，
b
]上连续，用分点a＝x
0
＜x
1
＜?＜x
i
－
1
＜x
i
＜?＜x
n
＝b，把区间[
a
，
b
]等分成n个小区间，在每个小区间[
x
i
－
1
，
x
i
]上任取一点ξ
i
(i＝1,
2，?，n)，作和式S
n
第 94 页 共 279 页
＝?
f(ξ
i
)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么S
n
的大
小( )
i＝1
A．与f(x)和区间[
a
，
b
]有关
，与分点的个数n和ξ
i
的取法无关
B．与f(x)和区间[
a
，
b
]的分点的个数n有关，与ξ
i
的取法无关
C．与f(x)和区
间[
a
，
b
]的分点的个数n，ξ
i
的取法都有关
D．与f(x)和区间[
a
，
b
]的ξ
i
的取法有关，与
分点的个数n无关
解析：选C 用分点a＝x
0
＜x
1
＜?＜x<
br>i
－
1
＜x
i
＜?＜x
n
＝b把区间[a
，
b
]等分成n个小区
间，在每个小区间[
x
i－
1
，
x
i
]上任取一点ξ
i
(i＝1,2，
?，n)，作和式S
n
＝
?
f(ξ
i
)·Δx.若对和式求
i
＝
1
n
n
极限，则可以得到函数y＝f(x)的图象与直
线x＝a，x＝b，y＝0围成的区域的面积，在求极
限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量
的取法都有关．
2．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x
3
所围成的曲边三角形
，把区间3等分，则曲边
三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
1
A.
9
1
C.
27
1
B.
25
1
D.
30
1
?
12
??
2
?
3
1
0，
?
，
，
，
，1
，解析：选A 将区间[0,1]三等分为
?
各小
矩形的面积和为s＝0·
1
?
3
??
33
??
3<
br>?
3
1
?
3
1
?
2
?
3<
br>11
＋
?
＋·＝.
?
3
?
·
3<
br>?
3
?
39
n
?
15i
?
·
?
5
??
的含义可以是( )
n→∞
3．lim
?
?
??
n
??n
??
i
＝
1
A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x
围成的图形的面积
B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积
C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
5
D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积
x
5
解析：选C 将区间[0,5]n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应
函数值为y
n
n
15i
?
15i
?
·
?<
br>5
??
可以表示由直线x＝0，x＝5，y＝0和y＝3x围成的图形的面积的＝
n
，因此
?
?
??
n
??
n
??
i
＝
1
近似值．
4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t<
br>2
，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
第 95 页 共 279 页
i－1
ia
?
解析：选C 将区间[0，
a
]分为等长的n
个小区间，第i个区间记为
?
?，
a，
(i＝1,2，
n
??
n
n
ia
?
2
ia
?
2
aa
3
a
??
n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝
n
，所以v(t
i
)＝
?
n
?
，s
n
＝
?
?
n
?
·＝
3
n
n＝
i1
a
3
n?n＋1??2n＋1?
a
3
?
1
?
1
2＋
n
?
，于是s＝(1＋2＋?＋n)＝
＝
?
1＋
n
?
3
???
6n6
22
s
n
＝
1
?
1
a
3
?
2＋n
?
?
1＋
n
?
???
6
a
3
＝＝9，得a＝3.故选C.
3
5．已知某物体运动的速度为v＝t，
t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点
处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动
的路程近似值为________．
解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的
函数值为n(n＝1,2.?，10)，每
个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋?＋10)＝55.
答案：55
6.
如图，曲线C：y＝2
x
(0≤x≤2)两端分别为M，N，且NA⊥x
轴于点A，把
线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x
轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲
线C的下方，设
这n个矩形的面积之和为S
n
，则
__________.
22
解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2
n，则S
n
＝
n
(1
2n
1－2
n
2n
－2
2422
－3
n
＋2＋2＋?＋2)＝·＝· .所以li
n→
∞
m[(2n－3)(4－1)S
n
]＝
nnnn
2
nn
1－2
1－4
n
[(2n－3)(
n
4－1)S
n
]＝
?
2－3
?
n
?
?2n－3??4－1?··
?
＝12.
n
n
??
1－4
??
答案：12
7．汽车行驶的速度为v＝t
2
，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
解：(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间
?
0，
1<
br>?
，
?
1
，
2
?
，?，
?
i－1
，
i
?
，?，
?
n－1
，1
?，
?
n
??
nn
?
?
nn
??n
?
i
i－1
1
每个小区间的长度为Δt＝
n
－
n
＝
n
.
(2)近似代替
第 96
页 共 279 页
i－1
i－1
i
?
i－1
??i－1
?
在区间
?
?，n)上，汽车近似地看作以时刻处的速度v
?
，
(i＝1,2，
n
?
nn
??
n
?
＝
?
n
?
2
作匀速行驶，
i－1
?
2
1
则在此区间上汽车行驶的路程为
?
.
n
?
n
?
·
(3)求和
在所有小区间上，汽车行驶的路程和为
1
?
2
1
?
2
?
2
11
?
n－1
?
2
×
1
＝
1
3
[1
2
＋2
2
＋…＋(
n
－1)
2
]＝
1
3
s
n
＝0
2<
br>×
n
＋
?
×＋×＋?＋
?
n
?
n<
br>?
n
?
n
n
?
n
?
n
n<
br>×
?n－1?n?2n－1?
1
?
1
?
1
1
－
?
. ＝
?
1－
n
?
??
2n
?
63
(4)取极限
汽车行驶的路程s＝s
n
＝
1111
1－
n
??
1－
?
＝.
?
??
2n
?
33
?
8．弹簧在拉伸的
过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，
求将弹簧从平衡位置拉长
b所做的功．
解：将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，
b
]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，<
br>b
]等分成n个小区间：
?
0，
b
?
，
?
b
，
2b
?
?，
?
?n－1?b
，b?
?
n
??
nn
?
?
n
?
?i－1?b
i·b
记第i个区间为
?
，
?
(i＝
1,2，?，n)，
n
??
n
i·b
?i－1?b
b其长度为Δx＝－＝.
nnn
b
?
b2b
?
?
?n－1?b
，b
?
上所做的功分别记作：
0，
n
?，
，
，把在分段
?
?，ΔW
1
，ΔW
2
，?，ΔW
n
.
???
nn
?
?
n
?
(2)近似代替
?
i－1?b
?
取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔW
i
≈F
?
?
n
?
·Δx
?i－1?b
b
＝k··(i＝1,2，?，n)．
nn
(3)求和
n
n
?i－1?b
b
W
n
＝
?
ΔW
i
≈
?
k·
n
· <
br>n
＝
＝
i1
i1
kb
2
＝
2
[0＋1＋2＋…＋(
n
－1)]
n
第 97 页 共
279 页
1
kb
2
n?n－1?
kb
2
?＝
2
×＝
?
1－
n
?
?
.
n22
1
kb
2
?
从而得到W的近似值W≈W
n
＝
?
1－
n
?
?
.
2
(4)取极限 W＝W
n
＝
i
＝
1
?
ΔW
i
＝
n
1
?
kb
2
kb
2
?
1－<
br>＝.
2
?
n
?
2
kb
2
所以将
弹簧从平衡位臵拉长b所做的功为.
2
1．5.3 定积分的概念
预习课本P45～47，思考并完成下列问题
(1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？
(2)定积分的计算有哪些性质？
[新知初探]
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的概念：一般地
，设函数f(x)在区间[
a
，
b
]上连续，用分点a＝x
0
i
－
1
n
＝b
n
将区间[
a
，
b
]等分成n个小
区间，在每个小区间[
x
i
－
1
，
x
i
]
上任取一点ξ
i
(i＝1,2，?，
n
n)，作和式
?
f(
ξ
i
)Δx＝
?
i
＝
1
i
＝
1
b－a
f(ξ
i
)，
n
当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区
间[
a
，
b
]上的定积
n
b－a
??
分，
记作
?
a
f(x)dx，即
?
a
f(x)dx＝li
n→∞
m
?
f(ξ
i)，
i
＝
1
bb
n
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[
a
，b
]叫做积分区间，函数f(x)叫做被
积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积
式．
(2)定积分的几何意义：如果在区间[
a
，
b
]上函数连续
且恒有f(x)≥0，
?
那么定积分
?
a
f(x)dx表示由直线x
＝a，x＝b(a
[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点
b
第
98 页 共 279 页
?
(1)当f(x)≥0时，
?
a
f
(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)围成曲边梯形的
面积，这是定积分的
几何意义．
b
?
(2)计算
?
a
f(x)dx时，先明确
积分区间[
a
，
b
]，从而确定曲边梯形的三条直边x＝a，x＝b，
y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而
得到定积分的值：
b
?
当f(x)≥0时，
?
a
f(x)
dx＝S；当f(x)<0时，
?
?
a
f(x)dx＝－S.
2．定积分的性质
b
b
??
(1)
?
a
kf(x)dx＝k
?
a
f(x)dx(k为常数)．
???
?
a
f
2
(x)dx. (2)
?
a
[
f
1
(
x
)±
f
2
(
x
)]dx＝
?
a
f
1
(x)dx±
???(3)
?
a
f(x)dx＝
?
a
f(x)dx＋
?
c
f(x)dx(其中a
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2
bcb
bbb
b
b
?
x
(1)
?
0
dx＝1.( )
2
?
(2)
?
a
f(x)dx的值一定是一个正数．(
)
???
(3)
?
a
(x
2
＋2
x)dx＝
?
a
x
2
dx＋
?
a
2x
dx.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
bbb
b
?
2.
?
0
xdx的值为( )
1
A．1 B. C．2 D．－2
2
答案：C
2
?
3．已知
?
0
f(x)dx＝8，则( )
?
A.
?
0
f(x)dx＝4
?
B.
?
0
f(x)dx＝4
??
C.
?
0
f(x)dx＋
?
1
f(x)dx＝8
D．以上答案都不对
答案：C
12
2
1
2
?<
br>?
4．已知
?
0
xdx＝2，则
?
－
txdx＝________.
t
0
第 99 页 共 279
页
答案：－2
利用定义求定积分
?
[典例] 利用定义求定积分
?
0
x
2
dx.
[解] 令f(x)＝x
2
，
(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插
入n－1个点，把区间[0,3]分成n等份，其分点为x
i
3i
3
＝
n
(i＝1,2，?，n－1)，这样每个小区间[
x
i
－
1，
x
i
]的长度Δx＝
n
(i＝1,2，?，n)．
n
n
3i
?
2
3
3i
(2)近似代替、求和：令ξ
i
＝x
i
＝(i＝1,2，?，n)，于是有和式：
?
f(
ξ
i
)Δx＝
?
?
＝
?
n
?<
br>·
nn
i
＝
1
i
＝
1
3
1
??
1
27
n
2
2719
?
2＋
?
.
3
?
i＝
3
·n(n＋1)(2n＋1)＝
1＋
n
i
＝
1
n62
?
n
??
n
?
?
(3)取极限：根据定积分的定义，有
?
0
x
2
dx＝
＝
11
9
1＋
??
2＋
?
?
＝9.
?
2
?
?
n
??
n
?
3
i
＝
1
?
f(ξ
i
)Δx
n
??
用定义求定积分的一般步骤
(1)分割：n等分区间[
a
，
b
]；
(2)近似代替：
取点ξ
i
∈[
x
i
－
1
，
x
i<
br>]，可取ξ
i
＝x
i
－
1
或ξ
i
＝
x
i
；
b－a
(3)求和：
?
f(ξ
i
)·
n
；
n
i
＝
1
n
b－a
?
?
(4)取
极限：
a
f(x)＝li
n→∞
m
?
f(ξ
i)·.
n
i
＝
1
b
[活学活用] ?
利用定积分的定义计算
?
1
(－x
2
＋2x)dx的
值．
解：令f(x)＝－x
2
＋2x.
(1)分割
i－1i
?
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间
?
1＋，1＋
nn
??
2
第 100 页
共 279 页
1
(i＝1,2，?，n)，每个小区间的长度为Δx＝.
n
(2)近似代替、求和
i
取ξ
i
＝1＋
n
(i＝1,2，?，n)，则
n
i
1＋
n
?
·Δx
S
n
＝<
br>?
f
?
??
i
＝
1
1
?
1
＋
i
?
2
＋2
?
1＋
i
??
·＝
?
?
－
??
n
??
n
??
n
i
＝
1
n
12
＝－
3
[(
n
＋1)
2
＋(
n
＋2)
2
＋(
n
＋3)<
br>2
＋…＋(2
n
)
2
]＋
2
[(
n
＋1)＋(
n
＋2)＋(
n
＋3)＋…＋2
n
]
nn
1
2n?2n＋1??4n＋1?n?n＋1??2n＋1?
?
2
n?n＋1＋2n?
＝－
3
?
－
n
?
2
66
?
＋
n
2
·
11
1
11
11
2＋
n
??
4＋
n
?
＋
?
1＋
n
??
2＋
n
?
＋3＋. ＝－
?
???
6
????
n
3
?
(3)取极限
?
?
1
(－x
2
＋2x)dx＝
2
＝.
3
2
S
n
＝
11
1
11
112＋
??
4＋
?
＋
?
1＋
??
2＋<
br>?
＋3＋ －
?
n
3
?
n
??
n
?
6
?
n
??
n
?
用定积分的性质求定积
分
2
?
?
x＋1，0≤x<1，
?
[典例]
(1)f(x)＝
?
2
则
?
0
f(x)dx＝( )
?
2x，1≤x≤2.
?
?
A.
?
0
(x＋1)dx
?
B.
?
0
2x
2
dx
??
C
.
?
0
(x＋1)dx＋
?
1
2x
2
dx
??
D.
?
0
2xdx＋
?
1
(x＋1)
dx
e
?
e
?
(2)已知
?
0
xdx＝
，
?
0
x
2
dx＝，求下列定积分的值：
23
e
2
e
3
12
12
2
2
?
①
?
0
(2x＋x
2
)dx；
?
②
?
0
(2x
2
－x＋1)dx.
[解析] (1)由定积分的几何性质得：
e
e
?
?
0<
br>f(x)dx＝
?
?
0
(x＋1)dx＋
?
?
1
2x
2
dx.
212