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高中数学选修2-2微积分基本定理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 03:06
tags:高中数学选修2

高中数学全国高考试圈-高中数学圆的教学设计

2020年9月22日发(作者:步非烟)



[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微 积分基本定理求一
些函数的定积分.

知识点一 导数与定积分的关系
f (x)dx等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]上的改 变量F(b)-
F(a).
以路程和速度之间的关系为例解释如下:
如果物体运动 的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表
示为s=v(t )dt.另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),那么在时间区间[a,
b]内 物体的位移为s(b)-s(a),所以有v(t)dt=s(b)-s(a).由于s′(t)=v(t),即 s(t)为v(t)的原
函数,这就是说,定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t) 在区间[a,b]上的增量s(b)-
s(a).
思考 函数f(x)与其一个原函数的关系:
(1)若f(x)=c(c为常数),则F(x)=cx; < br>1

(2)若f(x)=x
n
(n≠-1),则F(x)=·x
n1

n+1
1
(3)若f(x)=,则F(x)=ln x(x>0);
x
(4)若f(x)=e
x
,则F(x)=e
x

a
x
(5)若f(x)=a,则F(x)=(a>0且a≠1);
ln a
x
(6)若f(x)=sin x,则F(x)=-cos x;
(7)若f(x)=cos x,则F(x)=sin x.
知识点二 微积分基本定理 < br>一般地,如果f(x)是区间[
a

b
]上的连续函数,并且F′(x )=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).
思考 (1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一?
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么?
答案 (1)不唯一.

< p>
(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或
差;
②用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);
③利用微积分基本定理求出定积分的值.

题型一 求简单函数的定积分
例1 计算下列定积分.
(1)3dx;(2)(2x+3)dx;
(3) (4x-x
2
)dx;(4)(x-1)
5
dx.
解 (1)因为(3x)′=3,
?
所以3dx=(3x)
?
=3×2-3×1=3.
?
1
(2)因为(x
2
+3x)′=2x+3,
2
2

?
所以(2x+3)dx=(x
2
+3x)
?

?
0
=2
2
+3×2-(0
2
+3×0)=10.
3
x
2x-
?
′=4x-x
2
, (3)因为
?
3
??
2

x
3
?
?
2
2
?
所以 (4x-x)dx=
?
2x-
3
?
?

?

1
3
?-1?
?
20
2×3
2

?

?
2×?-1?
2


?
=. < br>3
?
?
?
3
?
3
1
?x-1?6
?
′=(x-1)
5
, (4)因为
?
?
6
?
所以 (x-1)
5
dx
1
?
=(x-1)
6
?

6
?
1
111
=(2-1)
6
-(1-1)
6
=.
666
反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤:
①求f(x)的一个原函数F(x);
②计算F(b)-F(a).
(2)注意事项:
①有时需先化简,再求积分;
②若F(x)是f(x)的原函数 ,则F(x)+C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化,f(x)
2
33
3


有无穷多个原函数,这是因为F′(x)=f( x),则[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)的缘故.因为
?
b
f(x)dx
?
a
b
=[F(x)+C]|
b
a
=[F(b)+ C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)=F(x)|
a
,所以利用f(x)的原函数计 算定积
分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C了.
跟踪训练1 求下列函数的定积分:
1
x+
?
2
dx;(2)x(1+x)dx. (1)
?
?
x
?
1
x+
?
2
dx 解 (1)
?
?
x
?
1
x
2
+2+
2
?
dx =
?
2
?
x
??
?
1
1
1

?
2
x
2
dx+
?2
2dx+
?
2
2
dx
???
x
1 1
1
1
??
-
?
?
=x
3
?+2 x
?
+
?

?
2
?
?
3
?
1
?
1
?
1
1
?
1
=×(2
3
-1
3
)+2×(2-1)-
?
?
2
-1
?

3
29
=.
6
(2)
?
9
x(1+x)dx
2

22

?
4

?
9
(x+x)dx ?
4
21
xx+x
2
?
?

?

2
?
?
?
3
?
4
2121
× 9×3+×9
2
?

?
×4×2+×4
2
?

?
22
?
3
??
3
?
271
=.
6
题型二 求分段函数的定积分
x,x∈[0,1?,
?
?
2
例2 求函数f(x)=
?< br>x,x∈[1,2?,
?
?
2
x
,x∈[2,3]
解 由定积分的性质知:
f(x)dx=
?
f(x)dx+
?
f(x) dx+
?
f(x)dx
?
?
0
?
0
?< br>1
?
2

?
1
x
3
dx+
?
2
x
2
dx+
?
3
2
x
dx
3123
3
9


在区间[0,3]上的定积分.
?
0
?
1
?
2
x
4
?
x
3
?
2
x
?

?

?

4
?
0
3
?
1
ln 2
?
?
2
1

2

3


18184
=+-+-
433ln 2ln 2
314
=+.
12ln 2
反思与感悟 (1)分段函数在区间[a,b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的
标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原 函数分段的情况分就可以.
跟踪训练2 求下列定积分:
(1)
?
|x-1|dx;(2)
?
2
1-sin 2xdx.
?
?
0
?
0
2
2
2
?
?
1-x,0≤x<1,
解 (1)∵y=|x-1|=
?
2

?
x-1,1≤x≤2,
?
2
π


?< br>2
|x
2
-1|dx=
?
1
(1-x
2)dx+
?
2
(x
2
-1)dx
?
0
?
0
?
1
x
3
?
?
x
3
?
?
??

?
x-
3
?
?
+< br>?
3
-x
?
?

?
0
?
1
181
1-
?

?
-2
?

?< br>-1
?

?
?
3
??
3
??
3
?
=2.
(2)
?
2
1-sin 2xdx
π
1

2

?
?
0
π

?
2
|sin x-cos x|dx
?
?
0
?

?
4
(cos x-sin x)dx+
?
2
(sin x-cos x)dx
?
?
π
?
0
?
π
4
π
π
?
=(sin x+cos x)
4
?
2

?
+(-cos x-sin x)
?
π
?
?
0
?
4

π


?
22
?
22
-1+(-1)-< br>?
--
?


2
??
2
?
22
?
=22-2.

题型三 定积分的简单应用
例3 已知f(a)=
?
1
(2ax
2
-a
2
x)dx,求f(a)的最大值.
?
0
2
3
1
22
?
ax-ax
′=2ax
2< br>-a
2
x, 解 ∵
?
2
?
3
?

< p>
2
3
1
22
?
?

?
1 (2ax-ax)dx=
?

?
3
ax-
2
ax
?
?
?
0
?
22
0
1

21
=a-a
2

32
211
2
44
?
2
a-a+
+ 即f (a)=a-a
2
=-
?
39
?
9322
?
2
12
a-
?
2
+, =-
?
2
?3
?
9
22
∴当a=时,f(a)有最大值.
39
反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进
而对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用.
跟踪训练3 已知f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′ (0)=0,
?
1
f(x)dx=-2,求a、
?
0
b、c 的值.
解 由f(-1)=2,得a-b+c=2.①
又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,②

?
1
f(x)dx=
?
1
(ax
2
+bx+c)dx
?
0
?
0
1
3
1
2
ax+bx+cx
?
?

?
2
?
3
?
?
?
0
11
=a+b+c,
32
11
∴a+b+c=-2,③
32
由①②③式得a=6,b=0,c=-4.
1


1.
?
4
cos 2x
?
cos x+sin x
dx等于( )
π
?
0
A.2(2-1)
C.2-1
答案 C
解析 结合微积分基本定理,得
B.2+1
D.2-2
?
?
4
dx=
?
4
(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)
?
4
=2-1.
?
cos x+sin x
?
?
0
??
π
00
π
cos
2
x-sin
2
x
π

2.下列定积分的值等于1的是( )


A.
?
1
xdx
?
0
B.
?
1
(x+1)dx
?
0
C.
?
1
1dx
?
0
1
D.
?
1
dx
?
2
0
答案 C
1
2
?
?
1< br>?
113
1
1
x+x
?
=+1=,
?
1
1dx=x
?
解析
?
xdx=x
2
?
=,
?
1
(x+1)dx=
?
=1,dx
?
?< br>?
2
?
?
0
22
?
0
2
?
2
?
?
0
??
2
1
0000
1< br>
1

1

1
?
1
=x
?
=.故选C.
2
?
0
2
2
x
2
-x
?
dx= . 3.
?
2
?
3
?
?
?
0
1

4
答案
3
2
2
x
2
-x
?
dx=
?
2
x
2
dx-
?
2
x dx 解析
?
2
?
3
?
?
?
??
3
000
x
3
?
x
2
?
844

?

?
=-=.
3
?
0
3
?
0
333
2
?
?
x+1,0≤x<1,
4.设函数 f(x)=
?

?
2
f(x)dx= .
?
3-x,1≤x≤2,
?
0
?
2

2


答案
17

6
001
解析
?
2
f(x)dx=
?
1
(x
2
+1)dx+
?
2
(3-x)dx
???
x
3
?
?
x
2
?
?
17
??

?
3
+x
?
?

?
3x-
2
?
?
=.
6
?
0
?
1
5.已知函数f(x)为偶函数,且
?
6
f(x)dx=8,则
?
6
f(x)dx= .
1

2

?
0
?

6
答案 16
解析 因为函数f(x)为偶函数, 且
?
6
f(x)dx=8,所以
?
6
f(x)dx=2
?
6
f(x)dx=16.
?
0
?

6
?
0

1.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数,要先化简,再求积分.
(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可 取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理
解为被积函数对应图形在某几个区 间上的定积分之和,而是在x轴下方的图形面积要取定积


分的相反数.

一、选择题
1.函数y=
?
x
cos xdx的导数是( )
?
0
x B.-sin x x-1 x
答案 A
解析 (sin x)′=cos x,
?
x
cos xdx=sin x
?
=sin x,故选A.
?
0
?
?
0
x

2.若F′(x)=x
2
,则F(x)的解析式不正确的是( )
1
A.F(x)=x
3

3
B.F(x)=x
3

1
C.F(x)=x
3
+1
3
1
D.F(x)=x
3
+c(c为常数)
3
答案 B
解析 若F(x)=x
3
,则F′(x)=3x
2
,这与F′(x)=x
2
不一致,故选B.
3.
?
0
|x+2|dx等于( )
?

4
A.
?
0
(x+2)dx
?

4
B.
?
0
(-x-2)dx
?

4
C.
?

2
(x+2)dx+
?
0
2(-x-2)dx
?

4
?

2
D.
?

2
(-x-2)dx+
?
0
(x+2)dx
?

4
?

2
答案 D
?
?
x+2,-2≤x≤0,
解析 ∵|x+2|=
?

?
-x-2,-4≤x<-2,
?


?
0
|x+2|dx=
?

2
(-x-2)dx+
?
0
(x+2)dx.
?

4
?

4
?

2
故选D.
2
?
?
x,-1≤x≤0,
4.已 知f(x)=
?

?
1
-1f(x)dx的值为( )
?
?
1,0?


3422
A. B. C. D.-
2333
答案 B
3
x
14
0
解析
?
1
f(x)dx =
?
0
xdx+
?
1
1dx=
3
?

1
+x|10=+1=,故选B.
?
33
?
??2

1

1
0

π
x
5.
?
2
sin
2
dx等于( )
2
?
?
0
π
A.
4
C.2
答案 D
π
B.-1
2
π-2
D.
4
ππ
1-cos x1
x
π
π-2
解析
?
2
sin
2
dx=
?
2
dx=
2?x-sin x?
?
?
2
0

4
,故选D.
22
??
?
0
?
0

1
6.若S
1

?
2
x
2
dx,S
2
?
2
dx,S
3

?
2
e
x
dx,则S
1
,S
2
,S
3
的大小关系为( )
??
x
?
111
A.S
1
<S
2
<S< br>3

C.S
2
<S
3
<S
1

答案 B
B.S
2
<S
1
<S
3

D. S
3
<S
2
<S
1

2
2
1
7
1
?
2
?
x
2
x
= ,
S
2

?
x
dx=ln x
?
2
解析 S
1

?
2
x
2< br>dx=x
3
?
=e
2
-e=
1
=ln 2< 1,S
3

?
edx=e
?
3
?
3
?
1
?
1
?
??
1
1


1

7
e(e-1)>,所以S
2
<S
1
<S
3
,选B.
3
二、填空题
7.
?
1
(1-x
2
+x)dx= .
?

1
π
答案
2
解析
?
1
(1-x
2
+x)dx=
?
1
??

1
1-x
2
dx+
?
1
xdx,根据定 积分的几何意义可知
?
1

1
?

1
?< br>-
1
1-x
2
dx等于半径为1的半圆的面积,

?
1
?

1
π
1
1-x
2
dx= ,
?
1
xdx=x
2
|
1
=0,
2?
2

1

1
π

?
1 (1-x
2
+x)dx=.
2
?

1
8. 若
?
T
x
2
dx=9,则常数T的值为 .
?
0
答案 3


1
3
?
1
解析
?
xdx=
3
x
?
=T
3
=9,即T
3
=27,解得T=3 .
?
0
3
?
T
2
0


t
9.设函数f(x)=ax
2
+c(a≠0),
?
1
f (x)dx=f(x
0
),0≤x
0
≤1,则x
0
= .
?
0
答案
3

3
1
1
3< br>1a
2
ax+cx
?
?
解析 由
?
1
f(x)dx=f(x
0
),得
?
1
(ax
2
+ c)dx=
?
=a+c=ax+c,∴=ax
2
∵a≠0,
?
00

3
??
33
?
??
0
00

133
2
∴x
0
=,又0≤x
0
≤1,∴x< br>0
=.故填.
333
?
?
lg x,x>0,
10 .设f(x)=
?
x+
a
3t
2
dt,x≤0.
若 f[f(1)]=1,则a= .
?
?
?
?
0
答案 1
解析 因为x=1>0,所以f(1)=lg 1=0.又x≤0时,f(x)=x+
?
a
3 t
2
dt=x+t
3
?
=x+a
3

a

?
0
?
?
0

所以f(0) =a
3
.因为f[f(1)]=1,所以a
3
=1,解得a=1.
三、解答题
11.设f(x)是一次函数,且
?
1
f(x)dx= 5,
?
1
xf(x)dx=
?
0
1
?
0< br>17
,求f(x)的解析式.
6
解 ∵f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),则
f(x)dx=
?
( ax+b)dx=
?
axdx+
?
bdx
?
?
0
?
0
?
0
?
0
1
=a+b=5,
2
xf(x)dx=
?
x(ax+b)dx=
?
(ax)dx+< br>?
bxdx
?
?
0
?
0
?
0?
0
1117
=a+b=.
326
111
2
1
111
?
2
a+b=5,

?
1117
?
3
a+
2
b=
6

1

3
?
?
a=4,

?
即f(x)=4x+3.
?
b=3.
?

?
x,x∈[0,1],
?
12.若函数f(x)=
?
x,x∈?1,2],
?
?
2
x
,x∈?2,3].
解 由积分的性质,知:


?
3
f(x)dx的值.
?
0
f(x)dx=
?
f(x)dx+
?
f(x)dx+
?
f(x)dx ?
?
0
?
0
?
1
?
2
312 3



?
1
x
3
dx+
?
2
xdx+
?
3
2
x
dx
?
0
?
1
?
2
1
2
x
?
3
x
4
?
23
?
2

?

3
x
2
?
1

ln 2
?
2

4
0

14284
=+2-+-
433ln 2ln 2
544
=-+2+.
123ln 2
13.求定积分
?
3
|x+a|dx.
?

4
解 (1)当-a≤-4即a≥4时,
2
x
7
+ax
??
3
原式=
?
(x+a)dx=
?

4
=7a-.
?
2
??
2
?
3

4

(2)当-4<-a<3即-3<a<4时,
原式=
?

a
[-(
x

a
)]dx+
?
3
(x+a)dx
?

4
?

a
22

a
xx
?
--ax
?

?
+ax
??
3
?
?
2
?
?

4
?
2??

a



2
a9
a
2
+3a+
?
=-4a+8+
?
2
??
2
2
25
=a
2
-a+.
2
(3)当-a≥3即a≤-3时,
x
2
?
=-7a+
7
.
3
?
原式=
?
[-(x+a)]dx=
?
2
-ax
?
?
?
2
?
-4
?

4

2
3

综上,得
?
3
?< br>-
4
?
?
25
|x+a|dx=
?
a-a+
2
?-3<a<4?,
?
?a≤-3?.
?
-7a+
7
2
7
7a-?a≥4?,
2


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本文更新与2020-09-22 03:06,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/407692.html

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