高中数学选修23知识点

高中数学 选修2－3知识点
第一章 计数原理

1 、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1
种不同的方法， 在第二
类办法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有M
N
种不同的方法，那么完成这件事情共有
M
1
+M
2
+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二
步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同的方法.那么完成这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方
法。 3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取
．．．．．．
出m个元素的一个排列
4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n )个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一
m
个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示。
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?

5、公式：
，

n!
(m?n,n,m?N)

( n?m)!
mmmm?1mm?1
A
n?
?A?A?C?A?mA
1 nmnnn

6、组合：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一
个组合。
m
A
m
n
(
? )
1
?
(n
(
??1)
1)
m
m
n!
n!
A
n
1
?)
?
n
m
?m ?
n
n
n(
n
7、公式：
C
C
?
?
m
m
?
?
C
C
?
?
n
n
m!m!(n
A
m
m!m!(
?
n
m
?
)!
m)!
A
m

mm?1
A
n?nA
n?1
m
m
n
n
n?m
C
m< br>n
?C
n
;




1m
C
m?
n
?C
m
n
?C< br>n?1
n0n1n?12n?22rn?rrnn

(a?b)?Ca?Cab ?Cab?…?Cab?…?Cb
nnnnn
8、二项式定理：
rn?rr
9 、二项式通项公式
展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)
r?1n
为 二项式系数（区别于该项的系数）
10、二项式系数
C

n
11、杨辉三角：
rn?r

（1）对称性：C?Cr?0，1 ，2，……，n
nn
01nn
（2）系数和：C?C?…?C?2

nnn
r
??
数学

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n
??
2

?1项，二项式系数为C；n为奇数时，(n?1)为偶 数，中间两项的二项式
??
n
??
2
n?1n?1
22
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C?C
nn
22
n?1n ?1
n
第二章 随机变量及其分布

1、随机变量：如果随机试验可能出现 的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同
而变化，那么这样的变量叫做随机变量 ． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击 、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定
次序一一列出，这样的随机变量叫做 离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布
列
4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．

5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：




其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N )件,
这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,
n
C
N
,m)
，
其中
m?min
?
M ,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*

7、条件 概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.
记作P( B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
P(AB)
P(B|A)?,P(A)?0.
P(A)

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互< br>独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)


10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
数学

11、概率：

(k)?C
k
p
k
(1?p)
n?k
P
nn



12、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发 生次数ξ是一个随机变量．如果
在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p ，那么在n次独立重复试验中
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq
（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
13、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离
散型随机变量。

14、两点分布数学期望：E(X)=np

15、超几何分布数学期望：E（X）=
n?
M
.
N
< br>16、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+ （x
2
-Eξ)
2
·P
2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
17、集中分布的期望与方差一览：

两点分布
超几何分布
期望 方差
Dξ=pq，q=1-p
Eξ=p

E
?
?n?
?
服从参数为N,M,n的超几何分布

二项分布，ξ ～ B（n,p）
M
D（X）=np（1-p）* （N-n）（N-1）

（不要求）
N

Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

Eξ=np

1

p
几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)


数学
q
D
?
?
2

p

17.正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?

1
e
2
??
?
(x??
)
2
2
?
2
,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当 曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近
线，向它无限靠近．

④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总 体的分布越分散；
?
越小，曲线
越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.

19. 3
?
原则：
(
?
?
?
,
?
?
?
)

(
?
?2
?
,
?
?2
?
)

(
?
?3
?
,
?
?3
?
)< br>

数学

从上表看到,正态总体在
(< br>?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
??3
?
)
以外取
值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这 些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况
在一次试验中几乎是不可能发生的.

第三章 统计案例

1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：

x
1

x
2

总计

y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计

a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独 立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较
精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中 的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方）
K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为 样本容量，K
2
的值越大，说明“X与Y有关
系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时，X与Y无关； K
2
>3.841时，X与Y有95% 可能性有关；K
2
>6.635时X与Y有99%可能
性有关

2、回归分析
?
?a?bx
回归直线方程
y
1
?
x
?
y
n
?
其中
b?
1
?
x
2
?
n
(
?x
2
)
?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)
,
?
a?y?bx

SS
?
(x?x)
2
x

数学