高中数学选修2-3知识点总结

高中数学选修2-3知识点总结

第一章 计数原理
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有
N类办法，在第一类办法中有M1
种不同的
方法，在第二类办法中有M
2
种不同的方
法，……， 在第N类办法中有M
N
种不同的
方法，那么完成这件事情共有
M
1< br>+M
2
+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要
分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M
2
不同的方法，……，
做第N步有M
N
不同 的方法.那么完成这件
事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、 排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元
素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不
． ．．．．．
同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m )!
5、组合：从n个不同的元素中任取m(m
≤
n)个
元素并成一组，叫做 从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合。

6、组合数：

n?m
C
m
n
?C
n
;


m
A
m
n
(
(
n
n
?
?
1
1)
?
?
(
(
nn
?
?
m
m
?
?
1
1)
n< br>!
!
A
n))
n
m
n
m
n
C
?
?
m
?C?
C?C?
n
n
m
m!m!
(
(
n
n
?
?
m
m
)!
)!
A
m
m!m!
A
m
m
m
n< br>n


1m
C
m?
n
?C
m
n
?C
n?1

7、二项式定理

：n0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…? Cb
nnnnn
8、二项式通项公式
展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1… …n)
rn?rr
r?1n
9.二项式系数的性质：
012nr
( a?b)
n
展开式的二项式系数是
C
n
，
C
n，
C
n
，…，
C
n
．
C
n
可 以看成以
r
为自变
量的函数
f(r)
，定义域是
{0,1, 2,L,n}
，
mn?m
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等（∵
C
n
）．
?C
n
（2）增减性与最大值：当
n
是偶数时，中间一项
C
取得最大值；当
n
是奇数时，
中 间两项
C
n?1
2
n
n
2
n
，
C
n?1
2
n
取得最大值．
1rr
x?L?C
n
x?L?x
n
， （3）各二项式系数 和：∵
(1?x)
n
?1?C
n
012rn
?C
n
?C
n
?L?C
n
?L?C
n
令
x?1< br>，则
2
n
?C
n


第二章 随机变量及其分布
知识点：
（3）随机变量：如果随机试验可能出现的结果
可以用 一个变量X来表示，并且X是随着
试验的结果的不同而变化，那么这样的变量
叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、
Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
（4）离散型随机变量：在上面 的射击、产品检
验等例子中，对于随机变量X可能取的值，
我们可以按一定次序一一列出，这样 的随机
变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列： 一般的,设离散型随机变量X
可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i< br>(i=1,2,......）的概率P(ξ=x
i
）＝
P
i
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简
称分布列


4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…
+p
n
= 1．



5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：



其中0变量X服从参数p的二点分布

6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类
物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n

≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离
散型随机变量，
则它取值为k时的 概率为
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?(k?0,1 ,2,L,m)
n
C
N
*
，
其中
m?min?
M,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N

7 、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知
事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫
做条件 概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件
下B的概率
8、公式：

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件
B(或A)发生的概率没有影响,这样的两 个事
件叫做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)


10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，
各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个
事件A发生的次数，A发生 次数ξ是一个
随机变量．如果在一次试验中某事件发生的
概率是p，事件A不发生的概率为q= 1-p，
那么在n次独立重复试验中
kkn?k
P(
?
?k)?C
n
pq
P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)
（其

中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，
p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的
概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ
的数学期望或平均数、均值，数学期望又简
称为期望．是离散型随机变量。
13 、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+（x
2
-Eξ)
2
·P
2

+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方
差，简称方差。


14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布

期望

方差

Dξ=pq
，
q=1-p
Eξ=p

二项分布，
ξ
～
B
（
n,p
）

Eξ=np

Dξ=qEξ=npq
，（
q=1-p
）


15、正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数

（?
?0)
是参数，的图像，其中解析式中的实数
?
、
?
分别表示总体的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为
正态曲线。
16、基本性质：
f(x)?
1< br>e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高
点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降 ．并
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x

轴为渐近线，向它无限靠近．

④当
?
一定时，曲线的形状由< br>?
确定．
?
越大，曲
线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
?
越
小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集
中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ
来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
(
?
?3< br>?
,
?
?3
?
)
以
以外
取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,
通常称这些情况发生为小概率 事件.也就是
说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是
不可能发生的.