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人教版高中数学选修2-2教案:微积分基本定理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 03:14
tags:高中数学选修2

高中数学约束条件如何画图-高中数学椭圆公式怎么证明

2020年9月22日发(作者:辛秘)


微积分基本定理
【教学目标】
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
【教法指导】
本节学习重点:会利用微积分基本定理求函数的积分.
本节学习难点:直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
【教学过程】
☆复习引入☆
从前面的学习中可以发现,虽然被积函数
f
(
x)=
x
非常简单,但直接用定积分的定义计算?
0
x
d
x
的值却比较
麻烦.有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?另外,我们已经学习了两个重要 的概念——导数和定积
分,这两个概念之间有没有内在的联系呢?我们能否利用这种联系求定积分呢?

☆探索新知☆
探究点一 微积分基本定理
2
1
问题 你能用定义计算?
1
d
x
吗?有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?
313
x
思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是
y

y
(
t
),并且
y
(
t
)有连续的导 数,由导数的概
念可知,它在任意时刻
t
的速度
v
(
t)=
y
′(
t
).设这个物体在时间段[
a

b
]内的位移为
s
,你能分别用
y
(
t
),
v
(
t
)表示
s
吗?

答 由物体的运动规律 是
y

y
(
t
)知:
s

y(
b
)-
y
(
a
),
通过求定积分的几何意 义,可得
s
=?
a
v
(
t
)d
t
=?
a
y
′(
t
)d
t

所以?
a
v
(
t
)d
t
=?
a
y
′(
t
)d
t

y
(
b
)-
y
(
a
).其中
v
(
t
)=
y
′(
t
).
小结 (1)一般地,如果
f
(
x
)是区间[< br>a

b
]上的连续函数,并且
F
′(
x
)=
f
(
x
),那么?
a
f
(
x
)d
x

F
(
b
)-
F
(
a
).

1
b
bb
bb


这个结论叫做微积 分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)运用微积分基本定理求定积分?
a
f
(
x
)d
x
很方便,其关键是准确写出满足
F
′ (
x
)=
f
(
x
)的
F
(
x).
思考2 对一个连续函数
f
(
x
)来说,是否存在唯一的
F
(
x
),使
F
′(
x
)=
f< br>(
x
)?若不唯一,会影响微积分基
本定理的唯一性吗?
答 不唯一 ,根据导数的性质,若
F
′(
x
)=
f
(
x
),则对任意实数
c
,[
F
(
x
)+
c
]′=
F
′(
x
)+
c
′=
f
(
x
).不
影响,因为?
a
f
(
x
)d
x< br>=[
F
(
b
)+
c
]-[
F
(a
)+
c
]=
F
(
b
)-
F
(
a
)
例1 计算下列定积分:
1
2
1
30< br>x
(1)?
1
d
x
;(2)?
1
(2
x

2
)d
x
;(3)?
-π
(cos
x
-e)d
x
.
b
b
xx

1
333
1
所以?(2
x
-)d
x
=?2
x
d
x
-?
111
2
d
x

2xx
1
323

x
|
1
+|
1

x
122
=(9-1)+(-1)=.
33
(3)?
-π
(cos
x
-e)d
x
=?
-π
cos
x
d
x
-?
-π
ed
x

1
0
x
0
=sin
x
|
-π
-e|
-π

π
-1.
e
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点:
(1)掌握基本函数的导数以及导数 的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积
函数适当变形后再求解;
(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
222
1
2
x
跟踪训练1 若
S
1
=?< br>1
x
d
x

S
2
=?
1
d
x

S
3
=?
1
ed
x
,则S
1

S
2

S
3
的大小关系为( )
0
x
00
x
x
A.
S
1
<< br>S
2
<
S
3

C.
S
2
<
S
3
<
S
1

答案 B
1
32
7
22
解析
S
1=?
1
x
d
x

x
|
1
=,
33
22
S
2
=?
1
d
x
=ln
x
|
1
=ln 2<1,
x
B.
S
2< br><
S
1
<
S
3

D.
S
3
<
S
2
<
S
1

1

2


2
xx
22
S
3
=?
1
ed
x
=e|
1
=e-e=e(e-1)> .
7
3
所以
S
2
<
S
1
<S
3
,选B.
探究点二 分段函数的定积分
?
?
例2 已知函数
f
(
x
)=
?
π
1,≤
x
≤2,
2
?
?
x
-1,2≤
x
≤4.
解 图象如图.
π
sin
x
,0≤
x
≤,
2

先画出函数图象,再求这个函数在[0,4]上的定积分.

?
f
(
x
)d
x

?
sin < br>x
d
x

?
1d
x

4
0
π
2
0
π
2
0
π
2
0
?
4
2
(
x
-1)d
x

1
24
2
=(-cos
x
)|+
x
|< br>π
+(
x

x
)|
2

2
2
ππ
=1+(2-)+(4-0)=7-.
22
反思与感悟 求分段函数的定积分,分段标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原分段 函数的分段情
况即可;对于含绝对值的函数,可转化为分段函数.
?
?
x

x
≤0,
跟踪训练2 设
f
(
x
)=
?
?
cos
x
-1,
x
>0,
?
2


求?
-1
f
(
x
)d
x
.

探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分:
?
0
sin
x
d
x
,?
π
sin
x
d
x
,?
0
sin
x
d
x< br>.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结
论.
解 因为(-cos
x
)′=sin
x

所以?
0
sin
x
d
x
=(-cos
x
)|
0

=(-cos π)-(-cos 0)=2;
?
π
sin
x
d
x
=(-cos
x
)|
π

=(-cos 2π)-(-cos π)=-2;

3
2π2π
ππ
π2π2π
1


?
0
sin
x
d
x
=(-cos
x
)|
0

=(-cos 2π)-(-cos 0)=0.
反思与感悟 可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:
定积分的值与曲 边梯形面积之间的关系:(1)位于
x
轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分;(2)位

x
轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数;(3)定积分的值就是位 于
x
轴上方曲边梯形面
2π2π
积减去位于
x
轴下方的曲边 梯形面积.
跟踪训练3 求曲线
y
=sin
x
与直线
x
=-
π
2

x

5
4
π,
y
=0所围图形的面积(如图所示).


☆课堂提高☆
1.
?
1
(e
x
0
?2x)dx
等于( )
A.1 B.
e?1
C.e D.e+1
【答案】C
【解析】
?
被积函数
e
x
?2x的原函数为e
x
?x
2
?c(c为常数),

1< br>?
?
1
(e
x
?2x)dx?(e
x
?x< br>2
0
|)
0
?(e
1
?1
2
)?( e
0
?0)?e.

2.若?
a
(2
x

1
1
x
)d
x
=3+ln 2,则
a
的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】 D
【解析】 ?
a
1
aa
1
2
aa
2
1
(2
x

x
)d
x
= ?
1
2
x
d
x
+?
1
x
d
x

x
|
1
+ln
x
|
1

a
-1+ln
a
=3+ln 2,
解得
a
=2.
3.已知物体做变速直线运动的位移函数
s< br>=
s
(
t
),那么下列命题正确的是( )
①它在时间段 [
a

b
]内的位移是
s

s
(
t
)|
b
a


4


②它在某一 时刻
t

t
0
时,瞬时速度是
v

s′(
t
0
);
n
③它在时间段[
a

b
]内的位移是
s
=lim
?

n
→∞
i
=1
b
b

a
s
′(ξ
i
);
n
④它在时间段[
a

b
]内的位移是
s
=?
a
s
′(
t
)d
t
.
A.①
C.①②④
【答案】 D
B.①②
D.①②③④

2
3
?
?
1?x,x?0,
4.已知分段函数
f
?
x
?
?
?
?x

?
f
?
x?2
?
dx
等于( )
1
?
?
e,x?0,
A.
3?
1

e
B.
2?e
C.
71
?

3e
D.
2?
1

e
【答案】C

?
1
?
2
?
?
x
3
?2x
2
?5x
?
1
?
?< br>?e
2?x
?
3
2

3
??
??
8
71
??
1
?
?
?
?
?
?8?10
?
?
?
?2?5
?
?
?
?
e
2?3
?e
2?2
?
??
.
3e
??
3
?
??
?
3
5.计算下列定积分:
1
2
x
9
(1)?
x
(1+
x
)dx

1
(e+)d
x
;(2)?
1
x
(3)?
0
(-0.05e
(4)?
1
2
20-0.05
x
+1
)d
x

1
d
x
.
x
?
x
+1?

5



( 3)∵(e
-0.05
x
+1
)′=-0.05e
-0.05
x
+1

∴?
20
x
+1
0
(-0. 05e
-0.05
x
+1
)d
x
=e
-0.05< br>|
20
0
=1-e.
(4)∵
1
x
?x
+1?

1
x

1
x
+1

(ln
x
)′=
1
x
,(ln(
x
+1))′=
1
x
+1

∴?
2
1
1< br>x
?
x
+1?
d
x
=ln
x
|< br>22
1
-ln(
x
+1)|
1
=2ln 2-ln 3.
6.已知
f
(
x
)为二次函数,且
f
(-1 )=2,
f
′(0)=0,
?
1
0
f
?
x
?
dx
=-2.
(1)求
f
(
x
)的解析式;
(2)求
f
(
x
)在[-1,1]上的最大值与最小值.


f
(
x
)=
ax
2
+(2-
a
).

?
1
0
f
?
x
?
dx

?
1
0
?
?
ax
2
?< br>?
2?a
?
?
?
dx

=[
13
ax
3
+(2-
a
)
x
]
1
2
0
=2-
3
a
=-2,∴
a
=6,
从而
f
(
x
)=6
x
2
-4.
(2)∵
f
(
x
)=6
x
2
-4,
x∈[-1,1].
∴当
x
=0时,
f
(
x
)
min
=-4;

x
=±1时,
f
(
x
)
max
=2.


6

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