人教版高中数学选修2-2教案：微积分基本定理

微积分基本定理
【教学目标】
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
【教法指导】
本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．
本节学习难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
【教学过程】
☆复习引入☆
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数
f
(
x)＝
x
非常简单，但直接用定积分的定义计算?
0
x
d
x
的值却比较
麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要 的概念——导数和定积
分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？

☆探索新知☆
探究点一 微积分基本定理
2
1
问题 你能用定义计算?
1
d
x
吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
313
x
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是
y
＝
y
(
t
)，并且
y
(
t
)有连续的导 数，由导数的概
念可知，它在任意时刻
t
的速度
v
(
t)＝
y
′(
t
)．设这个物体在时间段[
a
，
b
]内的位移为
s
，你能分别用
y
(
t
)，
v
(
t
)表示
s
吗？

答 由物体的运动规律 是
y
＝
y
(
t
)知：
s
＝
y(
b
)－
y
(
a
)，
通过求定积分的几何意 义，可得
s
＝?
a
v
(
t
)d
t
＝?
a
y
′(
t
)d
t
，
所以?
a
v
(
t
)d
t
＝?
a
y
′(
t
)d
t
＝
y
(
b
)－
y
(
a
)．其中
v
(
t
)＝
y
′(
t
)．
小结 (1)一般地，如果
f
(
x
)是区间[< br>a
，
b
]上的连续函数，并且
F
′(
x
)＝
f
(
x
)，那么?
a
f
(
x
)d
x
＝
F
(
b
)－
F
(
a
)．

1
b
bb
bb

这个结论叫做微积 分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
(2)运用微积分基本定理求定积分?
a
f
(
x
)d
x
很方便，其关键是准确写出满足
F
′ (
x
)＝
f
(
x
)的
F
(
x)．
思考2 对一个连续函数
f
(
x
)来说，是否存在唯一的
F
(
x
)，使
F
′(
x
)＝
f< br>(
x
)？若不唯一，会影响微积分基
本定理的唯一性吗？
答 不唯一 ，根据导数的性质，若
F
′(
x
)＝
f
(
x
)，则对任意实数
c
，[
F
(
x
)＋
c
]′＝
F
′(
x
)＋
c
′＝
f
(
x
)．不
影响，因为?
a
f
(
x
)d
x< br>＝[
F
(
b
)＋
c
]－[
F
(a
)＋
c
]＝
F
(
b
)－
F
(
a
)
例1 计算下列定积分：
1
2
1
30< br>x
(1)?
1
d
x
；(2)?
1
(2
x
－
2
)d
x
；(3)?
－π
(cos
x
－e)d
x
.
b
b
xx

1
333
1
所以?(2
x
－)d
x
＝?2
x
d
x
－?
111
2
d
x

2xx
1
323
＝
x
|
1
＋|
1

x
122
＝(9－1)＋(－1)＝.
33
(3)?
－π
(cos
x
－e)d
x
＝?
－π
cos
x
d
x
－?
－π
ed
x

1
0
x
0
＝sin
x
|
－π
－e|
－π
＝
π
－1.
e
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数 的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积
函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
222
1
2
x
跟踪训练1 若
S
1
＝?< br>1
x
d
x
，
S
2
＝?
1
d
x
，
S
3
＝?
1
ed
x
，则S
1
，
S
2
，
S
3
的大小关系为( )
0
x
00
x
x
A．
S
1
<< br>S
2
<
S
3

C．
S
2
<
S
3
<
S
1

答案 B
1
32
7
22
解析
S
1＝?
1
x
d
x
＝
x
|
1
＝，
33
22
S
2
＝?
1
d
x
＝ln
x
|
1
＝ln 2<1，
x
B．
S
2< br><
S
1
<
S
3

D．
S
3
<
S
2
<
S
1

1

2

2
xx
22
S
3
＝?
1
ed
x
＝e|
1
＝e－e＝e(e－1)> .
7
3
所以
S
2
<
S
1
<S
3
，选B.
探究点二 分段函数的定积分
?
?
例2 已知函数
f
(
x
)＝
?
π
1，≤
x
≤2，
2
?
?
x
－1，2≤
x
≤4.
解 图象如图．
π
sin
x
，0≤
x
≤，
2

先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．

?
f
(
x
)d
x
＝
?
sin < br>x
d
x
＋
?
1d
x
＋
4
0
π
2
0
π
2
0
π
2
0
?
4
2
(
x
－1)d
x

1
24
2
＝(－cos
x
)|＋
x
|< br>π
＋(
x
－
x
)|
2

2
2
ππ
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.
22
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段 函数的分段情
况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
?
?
x
，
x
≤0，
跟踪训练2 设
f
(
x
)＝
?
?
cos
x
－1，
x
>0，
?
2


求?
－1
f
(
x
)d
x
.

探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
?
0
sin
x
d
x
，?
π
sin
x
d
x
，?
0
sin
x
d
x< br>.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结
论．
解 因为(－cos
x
)′＝sin
x
，
所以?
0
sin
x
d
x
＝(－cos
x
)|
0

＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；
?
π
sin
x
d
x
＝(－cos
x
)|
π

＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；

3
2π2π
ππ
π2π2π
1

?
0
sin
x
d
x
＝(－cos
x
)|
0

＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲 边梯形面积之间的关系：(1)位于
x
轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位
于
x
轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位 于
x
轴上方曲边梯形面
2π2π
积减去位于
x
轴下方的曲边 梯形面积．
跟踪训练3 求曲线
y
＝sin
x
与直线
x
＝－
π
2
，
x
＝
5
4
π，
y
＝0所围图形的面积(如图所示)．


☆课堂提高☆
1．
?
1
(e
x
0
?2x)dx
等于（ ）
A.1 B.
e?1
C.e D.e+1
【答案】C
【解析】
?
被积函数
e
x
?2x的原函数为e
x
?x
2
?c(c为常数),

1< br>?
?
1
(e
x
?2x)dx?(e
x
?x< br>2
0
｜)
0
?(e
1
?1
2
)?( e
0
?0)?e.

2.若?
a
(2
x
＋
1
1
x
)d
x
＝3＋ln 2，则
a
的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】 D
【解析】 ?
a
1
aa
1
2
aa
2
1
(2
x
＋
x
)d
x
＝ ?
1
2
x
d
x
＋?
1
x
d
x
＝
x
|
1
＋ln
x
|
1
＝
a
－1＋ln
a
＝3＋ln 2，
解得
a
＝2.
3．已知物体做变速直线运动的位移函数
s< br>＝
s
(
t
)，那么下列命题正确的是( )
①它在时间段 [
a
，
b
]内的位移是
s
＝
s
(
t
)|
b
a
；

4

②它在某一 时刻
t
＝
t
0
时，瞬时速度是
v
＝
s′(
t
0
)；
n
③它在时间段[
a
，
b
]内的位移是
s
＝lim
?

n
→∞
i
＝1
b
b
－
a
s
′(ξ
i
)；
n
④它在时间段[
a
，
b
]内的位移是
s
＝?
a
s
′(
t
)d
t
.
A．①
C．①②④
【答案】 D
B．①②
D．①②③④

2
3
?
?
1?x,x?0,
4．已知分段函数
f
?
x
?
?
?
?x
则
?
f
?
x?2
?
dx
等于( )
1
?
?
e,x?0,
A.
3?
1

e
B.
2?e
C.
71
?

3e
D.
2?
1

e
【答案】C

?
1
?
2
?
?
x
3
?2x
2
?5x
?
1
?
?< br>?e
2?x
?
3
2

3
??
??
8
71
??
1
?
?
?
?
?
?8?10
?
?
?
?2?5
?
?
?
?
e
2?3
?e
2?2
?
??
.
3e
??
3
?
??
?
3
5．计算下列定积分：
1
2
x
9
(1)?
x
(1＋
x
)dx
；
1
(e＋)d
x
；(2)?
1
x
(3)?
0
(－0.05e
(4)?
1
2
20－0.05
x
＋1
)d
x
；
1
d
x
.
x
?
x
＋1?

5

( 3)∵(e
－0.05
x
＋1
)′＝－0.05e
－0.05
x
＋1
，
∴?
20
x
＋1
0
(－0. 05e
－0.05
x
＋1
)d
x
＝e
－0.05< br>|
20
0
＝1－e.
(4)∵
1
x
?x
＋1?
＝
1
x
－
1
x
＋1
，
(ln
x
)′＝
1
x
，(ln(
x
＋1))′＝
1
x
＋1
，
∴?
2
1
1< br>x
?
x
＋1?
d
x
＝ln
x
|< br>22
1
－ln(
x
＋1)|
1
＝2ln 2－ln 3.
6．已知
f
(
x
)为二次函数，且
f
(－1 )＝2，
f
′(0)＝0，
?
1
0
f
?
x
?
dx
＝－2.
(1)求
f
(
x
)的解析式；
(2)求
f
(
x
)在[－1,1]上的最大值与最小值．

∴
f
(
x
)＝
ax
2
＋(2－
a
)．
又
?
1
0
f
?
x
?
dx
＝
?
1
0
?
?
ax
2
?< br>?
2?a
?
?
?
dx

＝[
13
ax
3
＋(2－
a
)
x
]
1
2
0
＝2－
3
a
＝－2，∴
a
＝6，
从而
f
(
x
)＝6
x
2
－4.
(2)∵
f
(
x
)＝6
x
2
－4，
x∈[－1,1]．
∴当
x
＝0时，
f
(
x
)
min
＝－4；
当
x
＝±1时，
f
(
x
)
max
＝2.


6