(完整版)高中数学选修2-2综合测试题及答案

选修2-2综合测试题2
一、选择题
1?a
n?11．在数学归纳法证明“
1?a?a?L?a?(a?1，n?N
?
)
” 时，验证当
n?1
时，等式的左边为
1?a
2n
（ ）
Ａ．
1
Ｂ．
1?a

1
3
Ｃ．
1?a
Ｄ．
1?a
2
2．已知三次函数
f(x)?x
3
?(4m?1)x
2
?(15 m
2
?2m?7)x?2
在
x?(?∞，?∞)
上是增函数，则m
的取值范
围为（ ）
Ａ．
m?2
或
m?4
Ｂ．
?4?m??2
Ｃ．
2?m?4
Ｄ．以上皆不正确
3．设< br>f(x)?(ax?b)sinx?(cx?d)cosx
，若
f
?
( x)?xcosx
，则
a，b，c，d
的值分别为（ ）
Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1
4．已知抛物线
y?ax
2
?bx?c
通过点
P(11)，
，且在点
Q(2，?1)
处的切线平行于直线
y?x?3
，则抛物线
方程为（ ）
Ａ．
y?3x
2
?11x?9
Ｂ．
y?3x
2
?11x?9
Ｃ．
y?3x
2
?11x?9 Ｄ．
y??3x
2
?11x?9

5．数列
?a
n
?
满足
a
n?1
6
7
5
7
1
?
2a，0
≤
a
≤
，
nn
?
6
?
2
?
?
若
a
1
?
， 则
a
2004
的值为（ ）
1
7
?
2a?1，
≤
a?1，
nn
?
?2
Ａ．
Ｂ． Ｃ．
3
7
Ｄ．
a?b
2
1
7
6．已知
a，b
是不相等的正数，
x?
Ａ．
x?y

7．复数
z?
Ｂ．
y?x

，
y?a?b
，则
x
，
y
的关系是（ ）
Ｄ．不确定 Ｃ．
x?2y

m?2i
(m?R)
不可能在（ ）
1?2i
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
8．定义
A?B，B?C，C?D，D?A
的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），
（Ｂ）可能是 下列（ ）的运算的结果
Ａ．
B?D
，
A?D
Ｂ．
B?D
，
A?C
Ｃ．
B?C
，
A?D
Ｄ．
C?D
，
A?D

9．用反证法证明命题“
a，b?N
，如果
ab
可被5整除，那么
a
，
b
至少有1个能 被5整除．”则假
设的内容是（ ）
精心整理

Ａ．< br>a
，
b
都能被5整除Ｂ．
a
，
b
都不能被5 整除
Ｃ．
a
不能被5整除Ｄ．
a
，
b
有1个不能 被5整除
10．下列说法正确的是（ ）
Ａ．函数
y?x
有极大值，但 无极小值Ｂ．函数
y?x
有极小值，但无极大值
Ｃ．函数
y?x
既有极大值又有极小值Ｄ．函数
y?x
无极值 11．对于两个复数
?
??
1
2
?
?
313< br>?1
；
i
，
?
???i
，有下列四个结论：①
??
?1
；②
?1
；③
?
?
222
④< br>?
3
?
?
3
?1
．其中正确的个数为（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
12．设
f(x)
在
[a ，b]
上连续，则
f(x)
在
[a，b]
上的平均值是（ ）
Ａ．
f(a)?f(b)

2
Ｂ．
?
a
f(x)dx

b
Ｃ．
1
b
f(x)dx

2
?
a
Ｄ．
1
b
f(x)dx

b?a
?
a
二、填空题
13．若复数
z?log
2
(x
2
?3x?3)?ilog
2
(x?3)
为实数，则
x
的值为 ．
14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●
L

若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数
为 ．
15．函数
f(x)?ax
3
?6ax
2
?b(a?0 )
在区间
[?1，2]
上的最大值为3，最小值为
?29
，则
a
，
b
的值分别
为 ．
16．由
y
2
?4x
与直线
y?2x?4
所围成图形的面积为 ．
三、解答题
17．设
n?N
?
且
sinx?cosx?? 1
，求
sin
n
x?cos
n
x
的值．（先观察< br>n?1
归纳猜测
sin
n
x?cos
n
x
， 2，3，4
时的值，
的值．）
18．设关于
x
的方程
x< br>2
?(tan
?
?i)x?(2?i)?0
，
（1）若方程有实数根，求锐角
?
和实数根；
（2）证明：对任意
?
?k
π
?
(
k?Z
)
，方程无纯虚数根． 19．设
t?0
，点
P(t，0)
是函数
f(x)?x
3
?ax
与
g(x)?bx
2
?c
的图象的一个公共点，两 函数的图象在点
P
精心整理
π
2

处有相 同的切线．（1）用
t
表示
a，b，c
；（2）若函数
y?f(x) ?g(x)
在
(?1，3)
上单调递减，求
t
的取值
范围．
20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若
a?b?c
，且
a?b?c?0
，
b
2
?ac
则
?3
．
a
21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系 数为
k(k?0)
，
且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率 为
4.8%
时，银行吸收的存款能全部放贷
出去；若设存款的利率为
x
，
x?(0，0.048)
，则当
x
为多少时，银行可获得最大收益？ < br>22．已知函数
f(x)?
（1）求
a
2
，a
3，a
4
；
（2）猜想数列
?
a
n
?
的通项，并予以证明．
参考答案
一、选择题：CCDAC,BABBBD
二、填空题：13、4，14、61，15、2,316、9
17、解：当
n?1
时，
sinx?cosx??1
；
当
n?2
时，有
sin
2
x?cos
2
x?1
；
当
n?3
时，有
sin
3
x?cos
3x?(sinx?cosx)(sin
2
x?cos
2
x?sinxco sx)
，
而
sinx?cosx??1
，
∴1?2sinxcos x?1
，
sinxcosx?0
．
∴sin
3
x?cos< br>3
x??1
．
当
n?4
时，有
sin
4< br>x?cos
4
x?(sin
2
x?cos
2
x)2
?2sin
2
xcos
2
x?1
．
由以上 可以猜测，当
n
?N
?
时，可能有
sin
n
x?c os
n
x?(?1)
n
成立．
18、解：（1）设实数根为
a
，则
a
2
?(tan
?
?i)a?(2?i)?0，即
(a
2
?atan
?
?2)?(a?1)i?0
．
，
?
a??1
，
?
a
2
?atantan
?
?2?0，
?
a??1
π
?
?
?
由于
a
，
tan
?
?R
，那么
?
又0?
?
?
，得
?
π

tan
?
?1．
a?1?1
2
?
?．
?
?
?
?4
x
1?x
2
(x?0)
，数列
?
a
n?
满足
a
1
?f(x)
，
a
n?1
? f(a
n
)
．
（2）若有纯虚数根
?
i(
??R)
，使
(
?
i)
2
?(tan
?
?i)(
?
i)?(2?i)?0
，即
(?
?
2
?
?
?2)?(
?
tan
?
?1)i?0
，
?
?
?
2
?
?
?2?0，
由
?
，
tan
?
?R
，那么
?
由于
?
?
2
?
?
?2?0
无实数解．
?
?
tan
?
?1?0，
精心整理

故对任意
?
?k
π
?
(
k?Z
)
，方程无纯虚数根
19、解：（1）因为函数
f(x)
，
g(x)
的图象都过点
(t，0)
，所以
f(t)?0
，即
t
3
?at?0
．
因为
t?0
，所以
a ??t
2
．
g(t)?0
，即
bt
2
?c?0，所以
c?ab
．
又因为
f(x)，g(x)
在点
(t，0)
处有相同的切线， 所以
f
?
(t)?g
?
(t)
，而
f
?
(x)?3x
2
?a
，
g
?
(x)?2bx，所以
3t
2
?a?2bt
．
将
a??t
2
代入上式得
b?t
．因此
c?ab??t
3
．故
a ??t
2
，
b?t
，
c??t
3
．
（2 ）
y?f(x)?g(x)?x
3
?t
2
x?tx
2
?t
3
，
y
?
?3x
2
?2tx?t
2
?(3x?t)(x?t)
．
当
y
?
?(3x?t)(x ?t)?0
时，函数
y?f(x)?g(x)
单调递减．
由
y?
?0
，若
t?0
，则
??x?t
；
若
t?0
，则
t?x??
．
????
，
3)
?
?
?，t
?
或
(?1，3)?
?
t ，?
?
．
由题意，函数
y?f(x)?g(x)
在
(?1 ，3)
上单调递减，则
(
?
1
33
????
tt< br>π
2
t
3
t
3
所以
t
≤
? 9
或
t
≥
3
．
又当
?9?t?3
时，函 数
y?f(x)?g(x)
在
(?1，3)
上不是单调递减的．
?9
?
U
?
3，?∞
?
． 所以
t
的取值范围为
?
?∞，
20、解：此命题是真命题．
∵a?b?c?0，
a?b?c
，
∴a?0
，
c?0
．
b2
?ac
要证
?3
成立，只需证
b
2
?ac? 3a
，即证
b
2
?ac?3a
2
，也就是证
(a? c)
2
?ac?3a
2
，
a
即证
(a?c)(2 a?c)?0
．
∵a?c?0
，
2a?c?(a?c)?a??b?a?0< br>，
∴(a?c)(2a?c)?0
成立，
故原不等式成立．
21、 解：由题意，存款量
f(x)?kx
2
，又当利率为0.012时，存款量为1.44 亿，即
x?0.012
时，
y?1.44
；
·(0.012)
2
，得
k?10000
，那么
f(x)?10000x
2
，银行应支付的利息
g(x)?x·f(x)?10000x
3
，
由
1.44?k
设银行可获收益为
y
，则
y?480x
2
? 10000x
3
，
由于
y
?
?960x?30000x< br>2
，则
y
?
?0
，即
960x?30000x
2
?0
，得
x?0
或
x?0.032
．
因为，
x?(0，0.032)
时，
y
?
?0
，此时，函数
y?480x
2
?10000x
3
递增；
精心整理

x?(0.032，0.048)
时，
y
?
?0
，此时，函数
y?480x
2
?10000x
3
递减 ；
故当
x?0.032
时，
y
有最大值，其值约为0.164亿．
x
22、解：（1）由
a
1
?f(x)
，得
a2
?f(a
1
)?
a
1
1?a
2
1< br>?
1?x
2
?
x
?
1?
??
2?
1?x
?
2
?
x
1?2x
2
， < br>x
a
3
?f(a
2
)?
a
2
1?a
2
2
?
1?2x
2
??
x
1?
? ?
2
?
1?2x
?
x
2
?
x
1? 3x
2
，
a
4
?f(a
3
)?
a
3
1?a
2
3
?
1?3x
2
??
x1?
??
2
?
1?3x
?
x
2
?x
1?4x
2
．
（2）猜想：
a
n
?
1?nx
2
(n?N
?
)
，
证明：（1）当
n?1
时，结论显然成立；
（2）假设当
n?k< br>时，结论成立，即
a
k
?
x
1?kx
2
；
x
那么，当
n?k?1
时，由
a
k?1
?f(a< br>k
)?
1?kx
2
??
x
1?
??
2
1?kx
??
2
?
x
1?(k?1)x
2
，
这就是说，当
n?k?1
时，结论成立；
由（1），（2）可知，< br>a
n
?
x
1?nx
2
对于一切自然数
n(n
?N
?
)
都成立．
精心整理