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高中数学选修2-1和2-2和2-3知识点(珍藏版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 03:16
tags:高中数学选修2

上海青浦高中数学二模答案2019-高中数学知识清单pdf百度云

2020年9月22日发(作者:和亲仁)






高中数学选修2-1和
和2-3
知识点(珍藏版)
1 31
2-2



高中数学选修2-1知识点总结
目录
第一章 常用逻辑用语.......... .................................................. .................................................. ................................ 3
第二章 圆锥曲线与方程 .................................................. .................................................. ..................................... 6
椭圆的几何性质 ...................................... .................................................. .................................................. .............. 7
双曲线的几何性质 .................... .................................................. .................................................. ............................ 8
抛物线的几何性质 ...... .................................................. .................................................. ....................................... 10
解题注意点 ........................................ .................................................. .................................................. ................. 11
1、“回归定义” ................ .................................................. .................................................. ................................. 11
2、直线与圆锥曲线的位置关系 ............................... .................................................. ........................................ 11
第三章 空间向量与立体几何 ................................ .................................................. ............................................ 13
1、空间向量及其运算 ................................... .................................................. .................................................. ... 13
2、平行 .................................. .................................................. .................................................. ............................. 14
3、垂直 ........ .................................................. .................................................. .................................................. ..... 14
4、夹角问题 .............................. .................................................. .................................................. ......................... 14
5、距离问题 .......... .................................................. .................................................. ............................................. 14
立体几何解题一般步骤 ................................... .................................................. .................................................. . 15


2 31



高中数学选修2-1知识点总结
第一章 常用逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.
假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则
q
”:
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的逆命题为“若
q
,则
p
”. < br>4、若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?p< br>,则
?q
”.
5、若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的逆否命题为“若
?q
,则
?p
”.
6、四种命题的真假性:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题

真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
3 31




四种命题的真假性之间的关系:
?
1
?
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

7、
p

q
的充要条件:
p?q


p

q
的充分不必要条件:
p?q

q??p

p

q
的必要不充分条件:
p??q,q?p


p

q
的既不充分不必要条件:
p??q,q??p

8、逻辑联结词:
(1)用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.全真则真,有假则假。
(2)用联结词 “或”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q< br>.全假则假,有真则真。
(2)对一个命题
p
全盘否定,得到一个新命题,记 作
?p
.真假性相反
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“
?
”表示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对
?
中任意一个
x
,有
p
?
x
?
成立”,记作“
?x??

p
?
x
?
”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“
?
”表示.
含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在
?
中的一个
x
,使
p
?
x
?
成立”,记作“
?x??

p
?
x
?
”.
10、全称命题
p
?x??

p
?
x
?
,它的否定
?p

?x??

?p
?
x
?
.全称命题的否定是特称 命题.
4 31



例:“a=1”是“
?x?
0,2
x?
a
?
1”的( )
x
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件


5 31



第二章 圆锥曲线与方程

1、椭圆定义:平面内与两个定点
F
) 的点的轨迹称为椭圆.这
1

F
2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
6 31



椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围

x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?a?x?a

?b?y?b

y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?b?x?b

?a?y?a

顶点
?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c ,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
1

F
2
的距 离之差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹称为双曲线. 这
两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
7 31



双曲线的几何性质
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
< br>x
2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b? 0
?

2
ab
x??a

x?a

y?R
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
y??a

y?a

x?R
?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
y??
a
x

b
渐近线方程
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
6、平面内与一个定点
F
和 一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点
F
称为抛物线的焦点,
定直线
l
称为抛物线的准线.
7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物 线于
?

?
两点的线段
??
,称为抛物线的“通径”,即< br>???2p

8、焦半径公式:
8 31



p

2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
??2px
?
p ?0
?
上,焦点为
F
,则
?F??x
0
?

2
p
若点
?
?
x
0
,y
0< br>?
在抛物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?y
0
?

2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物 线
x
2
??2py
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F??y
0
?

2
若点
??
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?x
0
?
9 31



抛物线的几何性质
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

图形




顶点
?
0,0
?

对称轴
x

y

焦点
F
?
?
p
?
2
,0
?
?
?

F?
?
?
p
,0
?
F
?
?
p< br>?
F
?
?
p
?
2
?
?

?
0,
2
?
?

?
0,
?
?
2
?
?

准线方程
x??
p
2

x?
p
2

y??
p
2

y?
p
2

离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0


10 31



解题注意点
1、“回归定义”
是一种重要的解题策略。如:
(1)在 求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;
(2 )涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般是余弦
定 理)的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距
离,结合几何图形利用几何意义去解决。
2、直线与圆锥曲线的位置关系
(1)有关直线与 圆锥曲线的公共点的个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、
相离.联立直线与 圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次
项系数是否为 0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是
??0

??0

??0
.
应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的 关系考查直线与双曲线的位置关
系)
常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等;
②点差法
(主要适用中 点问题,设而不求,注意需检验,化简依据:
x
1
?x
2
y?yy? y
?2x
0
,
12
?2y
0
,
21
?k

22x
2
?x
1
(2)有关弦长问题,应注意运 用弦长公式及韦达定理来解决;(注意斜率是否存在)
① 直线具有斜率
k
,两个交 点坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)

2
AB?1?
k
2
x
1?x
2
?(1?
k
2
)
?
(x?x)?4x< br>1
x
2
?
12
??
?1?
1
y1
?y
2

2
k
② 直线斜率不存在,则
AB?y
1
?y
2
.
11 31



(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。
考查三个方面:A 存在性(相交);B 中点;C 垂直(
k
1
k
2
??1

注: 1.圆锥曲线, 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方
程组理论,又关注图 形的几何性质,以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法.
3.圆锥曲线 中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建
立不等式,通 过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用(数量积解决垂直、距离、夹角等)
(4)求曲线轨迹常见做法:定义法、直接法(步骤:建—设—现(限)—代—化)、代入法(利用动
点 与已知轨迹上动点之间的关系)、点差法(适用求弦中点轨迹)、参数法、交轨法等。
例1.已知定点
F
1
(
?
3,0),
F
2
(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(答:C);
A.
PF
B.
PF
C.
PF
D.
PF
1
1
?PF
2
?
10
1
?PF
2
?4
1?PF
2
?6
2
?PF
2
2
?12

?
例2已知双曲线的离心率为2,F
1
、F
2
是左右焦点, P为双曲线上一点,且
?F
1
PF
2
?60

S< br>?PF
1
F
2
x
2
y
2
?123< br>.求该双曲线的标准方程(答:
??1

412
例3 已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若由焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆分 方程;(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M,N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围。
x< br>2
1
?y
2
?1; m?(,2)

(答:< br>32
y
2
?1
相交于两点P
1
、P
2
,求线段P
1
P
2
中点的轨迹方程。例4过点A(2,1)的直线与双曲线
x
?

2
2
12 31



第三章 空间向量与立体几何

1、空间向量及其运算

a?< br>?
x
1
,y
1
,z
1
?

b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?

?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?

?
4
?
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
?z
1
z
2

?5
?

a

b
为非零向量,则
a?b?a?b ?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0

?
6
?

b?0
,则
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?< br>?
z
2

?
7
?
a?a?a?x
2
1
?y
2
1
?z
2
1

?< br>8
?
cos?a,b??
a?b
1
y
2
?z
1
z
2
ab
?
x
1
x
2
?y
x
2
?y
2
?z
2
?
222

111
x
2
?y
2
?z
2
?
9
?
?
?
x
222
1
,y
1
,z
1
?

??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,则
d
??
????
?
x2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?

(10)共面向量定理:
p,a,b共面?p?xa?yb(x,y?R)

?AP?xAB?yAC
P、A、B、C四点共面
?OP?OA?xAB?yAC

?OP?xOA?yOB?zOC(其中x?y?z?1)
(11)空间向量基本定理
p?xa?yb?zc(x,y,z?R)
(不共面的三个向量
a,b,c
构成一组 基
13 31




底,任意两个向量都共面)
2
、平行
(直线的方向向量,平面的法向量) (
a,b
是a,b的方向向量,
n
是平面
?
的法向量)
线线平行:
ab
?
ab

线面平行:
a
?
?a?n

ab

b?
?

a?xb?yc(b,c

?
内不共线向量)
面面平行:
?

?
?n
1
n
2

3、垂直
线线垂直:
a?b
?
a?b?a?b?0

线面垂直:
a?
?
?an

a?b,

a?c (,b

c
?
内不共线向量)
面面垂直:
?
?
?
?n
1
?n
2

4、夹角问题
线线角
cos
?
?|cos?a,b?|?
?
|a?b|
(注意异面直线夹角范围
0?
?
?

2
|a||b|
|a?n|

|a||n|
|n
1
?n
2
|
(一般步骤①求平面的法向量;②计算法向量夹角;③回答
|n
1
||n
2
|
线面角
sin
?
?|cos?a,n?|?
二面角
|cos
?
|?|cos?n
1
,n
2
?|?
二面角(空间想象二面角 为锐角还是钝角或借助于法向量的方向),只需说明二面角大小,无需说明理由))
5、距离问题
(一般是求点面距离,线面距离,面面距离转化为点到面的距离)
P到平面
?
的距离
d?
|PA?n|
(其中
A
是平面
?
内任一点,
n
为平面
?
的法向量)
|n|
14 31



立体几何解题一般步骤
坐标法:①建系(选择两两垂直的直线,借助于已有的垂直关系构造) ;②写点坐标;③写向量的坐标;
④向量运算;⑤将向量形式的结果转化为最终结果。
基底法 :①选择一组基底(一般是共起点的三个向量);②将向量用基底表示;③向量运算;④将向量
形式的结 果转化为最终结果。
几何法:作、证、求
异面直线夹角——平移直线(借助中位线平行四边形等平行线);
线面角——找准面的垂线,借助直角三角形的知识解决;
二面角——定义法作二面角,三垂线定理作二面角;作交线的垂面.





15 31



高中数学选修2-2知识点总结
目录
第一章 导数及其应用 ......... .................................................. .................................................. ........................ 17
常见的函数导数和积分公式 ..... .................................................. .................................................. .................. 17
常见的导数和定积分运算公式 .......... .................................................. .................................................. ......... 18
用导数求函数单调区间的步骤 ................... .................................................. .................................................. 18
求可导函数f(x)的极值的步骤 ........................... .................................................. ............................................ 18
利用导数求函数的最值的步骤 ................................ .................................................. ..................................... 20
求曲边梯形的思想和步骤 .................................. .................................................. ........................................... 20
定积分的性质 ....................................... .................................................. .................................................. ........ 20
定积分的取值情况 ......................... .................................................. .................................................. .............. 20
第二章 推理与证明 .................. .................................................. .................................................. ................... 22
第三章 数系的扩充和复数的概念 ....... .................................................. .................................................. ...... 24
常见的运算规律 ............................ .................................................. .................................................. ............... 25


16 31



高中数学选修2-2知识点总结
第一章 导数及其应用
1.函数的平均变化率为< br>f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
?

?
?x?x
x
2
?x
1
?x
注1:其中
?x
是自变量的改变量 ,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函 数的概念:函数
y?f(x)

x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
,则称 函数
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
y?f(x)在点
x
0
处可导,并把这个极限叫做
y?f(x)

x
0
处的导数,记作
f
'
(x
0
)

y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
常见的函数导数和积分公式
函数 导函数 不定积分
————————
n?1
y?c

y?x
n
y'?
0
?
n?N
?

*
y'?nx

x
n?1
?
xdx?
n?1

n
y?a
x
?
a?0,a?1
?

y'?alna

y'?e
x

1

xlna
x
a
x
?
adx?
lna

x
xx
edx?e

?
y?e
x

y?log
a
x
y'?
?
a?0,a?1,x?0
?
y?lnx

————————
y'?
1

x
1
?
x
dx?lnx

y?sinx

y'?cosx

?
cosxdx?sinx

17 31



y?cosx

y'??sinx

?
sinxdx??cosx

常见的导数和定积分运算公式
若< br>f
?
x
?

g
?
x
?
均可 导(可积),则有:
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?g(x)
?
'
'
?f
'
(x)?g'
(x)

?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)

积的导数运算
特别地:
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

商的导数运算
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
?
1
?
?g'(x )
特别地:
?

?
'?
2
gxgx
??? ?
??
y
x
?
?y
u
?
?u
x< br>?

'
复合函数的导数
微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?
(其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?

b
a
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
a
12< br>bb
a
f
1
(x)dx?
?
f
2
( x)dx
a
b
a
b
和差的积分运算
特别地:
积分的区间可加性

?
b
a
kf(x) dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
cb

?
b
a
f
(
x
)
dx?
?
f
(
x)
dx?
?
f
(
x
)
dx
(
其中a?c?b
)
ac

用导数求函数单调区间的步骤
①求函数< br>f
(
x
)的导数
f'(x)
②令
f'(x)
>0,解不等式,得
x
的范围就是递增区间.③令
f'(x)
<0,解不等式 ,得
x
的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域。(2) 求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=0的根(4) 用函数的导数为0的点,
顺次将函数的定义 区间分成若干小开区间,并列成表格,检查
f(x)
在方程根左右的值的符号,如果左正

18 31



右负,那么
f
(
x
)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么< br>f
(
x
)在这个根处取得极小值;如果左右不改变
符号,那么
f
(
x
)在这个根处无极值
19 31



利用导数求函数的最值的步骤

f(x)

?
a,b?
上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求
f(x)

?
a,b
?
上的极值;⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就
是所求 的最值点;
求曲边梯形的思想和步骤
分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 (“以直代曲”的思想)
定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1
dx
?
b
?
a

a
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
①推广:
②推广:
?
b
a
f
(
x
)
dx
? 0

bb
aa
?
[f(x)?f(x)?
a
12< br>b
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx ?
?
f
2
(x)dx?
c
2
c
1
?
?
f
m
(x)

a
b
?
ba
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
a
c
1
?
?
f(x)dx

c
k
b
定积分的取值情况
定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正
值,且等于x轴上方的图形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,
且等于x轴上方图形面积的相反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方
20 31



的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.
12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。
21 31



第二章 推理与证明
13.归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
.......
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
....
14.归纳推理的思维过程
大致如图:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳 所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过 逻辑证明和实验检验,因此,它不能
作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归 纳推理的猜想,可以作为进一步研究
的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理 的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相
似或相同, 这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
....
17.类比推理的思维过程

观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义 、公理、定理等)按照严格的逻
辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
....
19.演绎推理的主要形式:三段论
20.“三段论”可以表示为:①大前题:M是P②小前提:S是M ③结论:S是P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它
是根 据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义 、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证
明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“ 由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。
22 31



23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称 为“由
果索因”。要注意叙述的形式:要证
A
,只要证
B

B
应是
A
成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,
不要将它们割裂开。
24反证法:是指从否定的结论出发,经过 逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结
论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理
论证,得出矛盾;(3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。
...
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有
n

至多有
n

反义词
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
原结论词
对所有的
x
都成立
对任意
x
不成立
反义词
存在x使不成立
存在x使成立
p

q

p

q

?p

?q

?p

?q

27.反证法的思维方法:正难则反
....
28.归缪矛盾(1)与已知条件矛盾:(2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾.
................
?
nn?N
29.数 学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤(1)证明:当
n
取第一个值
时 命
00
.......
??
题成立;(2)假设当n=k (
k∈N
*
,且
k

n
0
)时命题成立,证明当n =k+1时命题也成立.由(1),(2)可知,命
.....
题对于从
n
0
开始的所有正整数
n
都正确 [注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。



23 31



第三章 数系的扩充和复数的概念
30.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
b
叫虚部,数 集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
a
叫实部,
.. ..
叫做复数集。
规定:
a?bi?c?di?
a=c且,强调:两复数不 能比较大小,只有相等或不相等。
....
b=d
...
?
实数 (b?0)
?
31.数集的关系:
复数Z
?
?
?
一 般虚数(a?0)

?
虚数 (b?0)
?
?
?
纯 虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面:根据复数相等的定义,任何一个复数
z?a?bi
,都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。由
于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系 中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建
立一一对应。这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面,
x
轴叫做实轴,
y
轴叫做虚轴。实轴
上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记作
z或a?bi
。由模的定义可知:
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则:
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
,则
的加、减法 来进行。
z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。注:复数 的加、减法运算也可以按向量
..
②复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di)?< br>?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i

③复数的除法法则:
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i
其中
c?di
叫做实数化因子
c?di(c?di)(c?di) c
2
?d
2
c
2
?d
2
36.共轭复数: 两复数
a?bi与a?bi
互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
24 31



常见的运算规律
(1)z?z;(2)z?z?2a,z?z?2bi;

(3)z?z?z
2
?z
2
?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z?R

(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
(7)
?
1?i
?
2
??i;(8)
1 ?i
1?i
?i,
1?i
?
1?i
?
1?i
??i,
?
?
2
?
?
??i

(9)< br>设
?
?
?1?3i
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
2
?0

?
3n?1
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
2
?1
25 31




高中数学选修2-3知识点总结
目录
第一章计数原理 ............ .................................................. .................................................. ..................................... 27
分类加法计数原理 ..................................... .................................................. .................................................. ........ 27
分步乘法计数原理 ......................... .................................................. .................................................. .................... 27
二项式定理 ................ .................................................. .................................................. ......................................... 27
第二章 随机变量及其分布 ................................. .................................................. ............................................... 28
第三章 统计案例 ..................................... .................................................. .................................................. .......... 31

26 31



高中数学选修2-3知识点总结
第一章计数原理
知识点:
分类加法计数原理
做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M
1
种不同的方法,在第二类办法中有M
2
种不同的方
法,……,在第N类办法中有MN
种不同的方法,那么完成这件事情共有M
1
+M
2
+……+M
N
种不同的方法。
分步乘法计数原理
做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有M
2
不同的方法,……,
做第N步有M
N
不同的方法.那么完成这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、 排列:从
n
个不同的元素中任取
m(m

n
)个元素,按照 一定顺序排成一列,叫做从
n
个不同元素中取
......

m个元素的一个排列
4、排列数:
A
m
?n(n?1)?(n?m?1 )?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
5、组合:从n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组,叫做从< br>n
个不同元素中取出
m
个元素的一
个组合。

mA
m
n
(
?)
1
?
(n
(
? ?1)
1)
m
m
n!
n!
A
n
1
?)
?
n
m
?m?
n
n
n(
n
6 、组合数:
C
C
?
?
m
m
?
?
C
C
?
?
n
n
m!m!(n
A
m
m !m!(
?
n
m
?
)!
m

)!
A
m

m
m
n
n
n?m< br>C
m
n
?C
n
;


1m
C
m?
n
?C
m
n
?C
n? 1

二项式定理
n0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?C a?Cab?Cab?…?Cab?…?Cb

nnnnn
rn?rr
8、二项式通项公式

展开式的通项公式:T
?
Cab
(
r
?0

1
……n
)
r?1n
27 31



第二章 随机变量及其分布
知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不同而
变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:在上面的射击、产 品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次
序一一列出,这样的随机变量叫做离散 型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....)的概率P(ξ=x
i
)=P
i
,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列


4、分布列性质① p
i
≥0, i =1,2, … ;② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1.
5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:

其中06、超几何分布:一般地, 设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n(n≤N )件,这n
件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P
(
X?k
)< br>?
(
k?
0,1,2,
n
C
N
,
m
)

其中
m?min
?
M,n
?
,且< br>n≤N,M≤N,n,M,N?N
*

7、 条件概率:对任意事件A和事件B ,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记
作P(B|A),读作A发生的条件 下B的概率
28 31



8、 公式:

P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)

9、 相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件 叫做相互独
立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)

10、n次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布: 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,A发生次数ξ是一个随机变量.如 果在
一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq
(其 中 k=0,1, ……,n,q=1-p )
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:

这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p) ,其中n,p为参数
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+… 为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离散
型随机变量。
13、方差: D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+(x
2-Eξ)
2
·P
2
+......+(x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:

两点分布
期望
Eξ=p
方差
Dξ=pq,q=1-p
29 31



15、

若概
度曲
是或近似地是函数
二项分布,ξ ~ B(n,p) Eξ=np

Dξ=qEξ=npq,(q=1-p)

正态
布:
率密
线就
f(x)?

1
e< br>2
??
(x?
?
)
2
?
2
?
2
,x?(??,??)


?
?0)
是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式 中的实数
?

?
则其分布叫正态分布
记作:N(
?
,
?
)
,f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线x=
?
对称,且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
,曲线上升;当时
x?
?
,曲线下降.并且当 曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,
向它无限靠近.
④当
?
一定时,曲线的形状由
?
确定.
?
越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越 分散;
?
越小,曲线越
“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3
?
原则:
从上表看到,正态总体在
(
?< br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值
的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概 率事件.也就是说,通常认为这些情况在一
次试验中几乎是不可能发生的.
30 31



第三章 统计案例
知识点:
1. 独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
},其样本频数列联表为:

x
1

x
2

总计
y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计
a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
:“X与Y有关系”,可以利用独 立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较
精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中 的数据算出随机变量K^2的值(即K的平方)
K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d为 样本容量,K
2
的值越大,说明“X与
Y有关系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时,X与Y无关; K
2
>3.841时,X与Y有95% 可能性有关;K
2
>6.635时X与Y有99%可
能性有关
2. 回归分析
?
?a?bx
1、回归直线方程
y
1
x
?
y
?
n
其中
b??
1
?
x
2
?
n
(
?
x
2
)
?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)< br>,
?

a?y?bx

SS
?
(x?x)
2
x
2、检验性质:(1)︱r ︳≤1,︱r ︳并且越接近于1,线性相关程度越强,︱r ︳越接近于0,线性相关
程度越弱;(2)︱r ︳>r
0.05
,表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系;︱r ︳≤r
0.05
,我们
没有理由拒绝原来的假设,这是寻找回归直线方程毫无意义!
31 31

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