高中数学-选修2-2(1)

高中数学试题
选修（
2-2
）综合测试题
一、选择题
1函数y x
2
在区间［1,2］上的平均变化率为（ ）
A.
2
答案：
E
B.
3
C.
4
D.
5
2.已知直线 y kx 是 y
” 1

仆
In x的切线，贝k的值为（
1
U
2 2
A.—
e
B. -
e
c.—
e
D. -
e
答案：
A
3?如果1N的力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm（在弹性限度内）所耗费的功为（

）
A.
0.18J
答案：
A
B.
0.26J
C.
0.12J
D.
0.28J
4.方程x
2

(4 i)x 4 ai 0(a
R）有实根b，且z
a
bi，则 z (

)
A.
2 2i

B.
2 2i

C.
2 2i

D

2 2i

答案：
A


5
. △
ABC
内有任意三点不共线的

2002个点，加上
A C
三个顶点，共 2005个点，把这
)

2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（
A.
4005
B.
4002
C .
4007
D.
4000

答案：
A

6.数列1,
2
,
2
,
3
,
A.
8
B.
9

答案：
C
3
,
3
,
4
,
4,
4
,
4,
L
的第50项（
C.
10
D.
11

）

7?在证明f（x） 2x 1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提； ②
增函数的定义是小前提；③函数f（x） 2x 1满足增函数的定义是大前提；④函数 f（x） 2x 1满足增
1

函数的定义是大前提?其中正确的命题是（ ）
A.①② B.②④ C.①③ D.②③
2

答案：
c



&若
a, b R
,


A.
第一象限

则复数
（
a
2
4a 5) ( b
2b 6）i表示的点在（
2
E.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限


答案：

D


9.一圆的面积以 10mm
2
s速度增加，那么当圆半径


( )

A.

_ cms
1
B.
1 cms
C.
1
cms
3
4

2


答案：
C



1

10.用数学归纳法证明不等式“

2n

n k 1时，不等式的左边（


A.
增加了一项
1

2（k 1）

1

E.
增加了两项
1

2k 1
2(k 1)

C.
增加了两项
1
1
,又减少了一项

2k 1
2(k 1)


D.
增加了一项
1
1

2(k 1)
，又减少了一项—
k 1


答案：

C



11.在下列各函数中，值域不是
[2, 2]的函数共有（



(
1
)
y (sin x) (cos

(
2
)
y
(sin x)
〉
cosx



(
3
)
y
sin x (cos x)


(
4
)
y
(s in x)
?

A.


1个
B
(cos x)
.2个

C.
D.
4个


答案：

C




12.如图是函数f
（
x） x
3

bx
2
cx d的大致图象，则
3

20cm时，其半径r的增加速率
u
为
D.
1

5
cms
%
2)
”时的过程中，由n k到
24
X
2
1

A.


B.
C.
D.
12
答案：
C
二、填空题
13.函数f(x) x
3
3x 1在闭区间[3,]上的最大值与最小值分别为
答案：3， 17
111
14?若乙1 3i， z
2
6 8i，且
z Z
1
，则z的值为 _________
z
2

答案：
4
呂
5 5
15?用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数
是 ______ .
答案：a
,
2n 1
a
n
与所搭三角形的个数
n
之间的关系式可以
16?物体
A
的运动速度
v
与时间t之间的关系为v 2t 1 (
v
的单位是ms , t的单位是s),
物体
B
的运动速度
v
与时间t之间的关系为v 1 8t，两个物体在相距为 405m的同一直线上
同时相向运动?则它们相遇时，
答案：72m
三、解答题
17?已知复数 乙,Z
2
满足10zf 5z
；
2Z
1
Z
2
，且Z
1
2Z
2
为纯虚数，求证：3
乙
z为实数.
A
物体的运动路程为 ____________ .
证明：由 10z
f
5z
；

2z
1
z
2
，得 10z
；
2Z]Z
2
5z
2
即
(
3
乙
Z
2
)
2
(Z
1
2Z
2
)
2
0,那么(3Z
1
Z
2
)
2

0 ,
(Z
1
2Z
2
)
2
[(
乙
2z
2
)『
,
由于，Z
1
2Z
2
为纯虚数，可设Z
1
2Z
2
bi(b R，且b 0),
所以(3Z
1
Z
2
)
2
b
2
，从而 3z
1
Z
2
b,
4

故3z
i
Z
2
为实数.
18?用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边 长多
0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
解：设该容器底面矩形的短边长为
x
cm,则另一边长为(x 0.5) m,此容器的高为
y
14.8
4
x (x 0.5) 3.2 2x ,
于是，此容器的容积为： V(x) x(x 0.5)(3.2 2x) 2x 2.2x 1.6x，其中 0 x 1.6 ,
2
4
即 V(x) 6x 4.4x 1.6 0,得 x
,
1 , x
2
(舍去)，
15
因为，V (x)在(01.6)内只有一个极值点，且 x (0,1)时，V(x) 0,函数V(x)递增；
x (1,1.6)时，V (x) 0，函数 V(x)递减；
所以，当 x 1 时，函数 V(x)有最大值 V(1) 1 (1 0.5) (3.2 2 1) 1.8m
3
,
即当高为1.2m时，长方体容器的空积最大，最大容积为 1.8m
3
.
19.如图所示，已知直线
a
与b不共面，直线
cI
a M
,
直线
bl
bI
平面 B,
cI
平面 C ,求证：
A B,
C
三点不共线.
证明：用反证法，假设
A, B, C
三点共线于直线
???
A
B
,
? cI
l C
, ? c与I可确定一个平面
? cI
又
a
A
M
,
??? M .
?
直线
a
l ,
,

所以
? a —
A B, C

，同理
三点不共线
b
.
,
,b共面，与
a
, b不共面矛盾.
20.已知函数f(x)
3
ax
3x
2
x
1在
R
上是减函数，求
a
的取值范围
解：求函数f (x)的导数：
f (x)
3 ax
2
6x 1 .
(1 )当 f (X) 0(x R)时， f (x)是减函数.
3 ax
2
6x 1 0(x
R) a
0且 36 12a 0 a 3.
所以，当a 3时, 由f
(x)
0 , 知f(x)(x R)是减函数；
3
(2 )当a 3时，
2
f(x) 3x
3
1 8 3x x 1 3 x

5

A,

由函数y
3
x在
R
上的单调性，可知当
f(x)(x R)是减函数;
6

(3)当

a 3时，在
R
上存在使f (x) 0的区间,
所以，当a 3时，函数f(x)(x R)不是减函数. 综上，所


求
a
的取值范围是
(
3).




21 .若 x 0(i 1,2,3,L , n)
, 观察下列不等式

(X
i
丄> 4 ,
X
2
)
—
X
2

X
i


111、

(X
1
X
2
X
3
) — 9 ,
L
，请你猜测
(X
1
X
1
1
2
L
X
n
)

1

X
1
X
2
X
3
X
X
L
2
X
n



等式，并用数学归纳法加以证明



解：满足的不等式为(洛x
1

2

L 1 L 1 —n
2

(n > 2)，证明如下:

X
n
)

X
1
X

2
X

n



1.当n 2时，结论成立；


2.假设当n k时，结论成立, 即
(X X
2
L X
k
)
1 1
L
丄
k
2



X
1
X
2
X
k




(X
1 1
1
X
2
L X
k
) L
丄(
X
X
2
L )- X
k
1
丄丄
L
丄
1
X

1
X
2

X

k
X
k
1
X
1
X
2
X
k


1
1

> k
2

2. (X
i
X
2
L X
k
)
1
X
1
X
L
2
1

X
k

、


2 2
> k 2k 1 (k 1)

.

显然，当

n k 1时，结论成立.



、
2

22

.设曲线 y ax bX c(a 0)过点
(
1,1) , (1,1).


(1 )用
a
表示曲线与
x
轴所围成的图形面积 S(a);

(2 )求S(a)的最小值.


解：(1 )曲线过点
(1,1)及(11)，故有 1
c a


a，令 y 0，即 ax
2


(1
a) 0 ,


，由曲线关于

y
轴对称,


(1 a)]dx 2
旦
x
3
(1
a)x
|
o

3


a 1
3
2
1)
3
(1
4
3
7

满足的不