高中数学面试题库-2019年高中数学学科知识与教学能力真题
高中数学选修2-2知识点汇总
目录
第一章导数及其应用 2
常见的函数导数和积分公式 2
常见的导数和定积分运算公式 3
用导数求函数单调区间的步骤 3
求可导函数f(x)的极值的步骤 3
利用导数求函数的最值的步骤 4
求曲边梯形的思想和步骤 4
定积分的性质
4
定积分的取值情况 4
第二章推理与证明 5
第三章数系的扩充和复数的概念
常见的运算规律 8
7
1 8
2 8
高中数学选修2-2知识点总结
第一章导数及其应用
f
f(X
2
)
f(xj f(X
!
x) f(xj
X
x
2
捲
x
1 ?函数的平均变化率为
注1 :其中
x
是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2
:函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均速度。
2、导函数的概念:函数y f
(x)在
x x
0
处的瞬时变化率是lim
lim
--------------
x 0
x
x 0
yx)f
(x0
)
_
,则称函数
x
f
(x
o
)
或y |
x
冷,即 y f
(x)在点
x
o
处可导,并把这个极限叫做
、_ r y
f
(x
o
)
= lim
f
'
(x
y
f(x)在
x
o
处的导数,记作
「
lim
0
x
x 0
f (x
0
x)
f(X
o
)
x
x
3?函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1 )切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
常见的函数导数和积分公式
函数 导函数
不定积分
y c
n
y'
0
n 1
M
*
y x
n N
y' nx
n1
x
n
dx x
n 1
x
y a
a 0,a
1
x
x
y' a
x
l na
a dx
X
」
x
ln a
y e
y' e
x
e dx e
y log
a
x
y'
1
a 0,a 1,x
y In x
y sin
x
0
y'
丄
xln a
1
—dx In x X
x
y' cosx
cosxdx sinx
3 8
y cosx
y' sin x
sin xdx
cosx
4 8
常见的导数和定积分运算公式
若
f X
,
g x
均可导(可积),则有:
和差的导数运算
f (x) g(x)
'
f
'
(x)
g
'
(x)
f (x) g(x)
'
f
'
(x)g(x) f(x)g
'
(x)
积的导数运算
特别地:
Cf x ' Cf ' x
f(x)
'
f
'
(x)g(x) f(x)g
'
(x)
「、
…
2
g
()
g(x)
x
(g(x) 0)
商的导数运算
特别地:
1
g x
' g'
(x)
g x
复合函数的导数
微积分基本定理
y
x
b
y
u
U
x
f x dx
(其中
F' x
f x
)
b b
a
b
a
[f
i
(x) f
2
(
x)]dx
b
a
f
i
(x)dx
b
a
f
2
(
x)dx
和差的积分运算
特别地:
a
积分的区间可加性
b
kf(x)dx k
a
c
f(x)dx(k
为常数
)
b
a f(x)dx a
f (x)dx c f(x)dx(其中a c b)
用导数求函数单调区间的步骤
①求
函数
f
(
x
)的导数
f'(x)
②令
f'(x)<
br>>0,解不等式,得
x
的范围就是递增区间?③令
f'(x)
<0,解
不等
式,得
x
的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的
定义域。
求可导函数
f(x)
的极值的步骤
(1)确定函数的定义域。(
2)求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=O的根(4)用函数的导数为0的
点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查
如果左正右负,那么
f
(
x
)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么
果左右不改变符号,那么
f
(
x
)在这个根处无极值
f
(x)
在方程根左右的值的符号,
f
(
x
)在这个根处取得极小值;如
5 8
利用导数求函数的最值的步骤
求
f
(
X
)
在
a,b
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)
在
a,b
上的极值;⑵将
f(x)
的各极值
与
f(a), f
(b)
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
[注]:实际问题的开区间唯一
极值点就是所求的最值点;
求曲边梯形的思想和步骤
近似代替
求和
(“以直代曲”的思想)
定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
b
性质1
1dx b
a
a
性质5若
f(x) 0, x
则
a
f(x)dx 0
a, b
,
b
b
b b b
①推广:
[f
1
(
X
)
f
2
(
x)
L
a
b q
a
f
m
(x)]dx
C
2
a
f
1
a
(
x)dx
b
C
k
a
f
2
a
(
x)dx L
a
f
m
(x)
a
②推广:
f (x)dx
a
f(x)dx
C
1
f(x)dx L f (x)dx
定积分的取值情况
定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是 0.
(1
)当对应的曲边梯形位于 x轴上方时,定积分的值取
1
j *?-—y=sin Jt
J!
正值,且等于x轴上方的图形面积;
-1
J
(2)当对应的曲边梯形位于 x轴下方时,定积分的值取负值,
且等于x轴上方图形面积的相反数;
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于
的曲边梯形面积时,定积分的值为
x轴下方
0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.
(2)力的积分为功
12 .物理中常用的微积分知识(1
)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。
6 8
第二章推理与证明
13?归纳推理的定义:从个别事实.中推演出一股性.的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部
分到整体,由个别到一般的推理。
____ t ____ t ___
t _______ t__
14.归纳推理的思维过程
大致如图:|实验、观察”
-------------- 1概括、推广: --------- 猜测一般性结―
15?归纳推理的特点:①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现
象。②由
归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,
它不能作为数学证
明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为
进一步研究的起点,帮助人们
发现问题和提出问题。
16?类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面
也相似或
相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊 ..到特殊的推理。
17.
类比推理的思维过程
观察、比较亍 --------- t联想、类推—? ---------
推测新的结论
18.
演绎推理的定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格
的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般 _____ 到特殊的推理。
19
.演绎推理的主要形式:三段论
20. “三段论”可以表示为:①大前题:
M是P②小前提:S是M ③结论:S是P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,
它是根据
一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.
直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直
接证明包
括综合法和分析法。
22.
综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结 论。
23.
分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称
为“由
果索因”。要注意叙述的形式:要证
A
,只要证
B
,
B
应是
A
成立的充分条件.分析法和综合法
常结合使用,不
要将它们割裂开。
7 8