2018年人教版高中数学选修2-2全册导学案汇编

2018年人教版高中数学选修2-2
全册导学案汇编
目 录
1.1.1变化率问题
1.1.2导数的概念
1.1.3导数的几何意义
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（三）
导数的计算复习
1.3.1函数的单调性与导数（一）
1.3.1函数的单调性与导数（二）
1.3.2函数的极值与导数
1.3.3函数的最大（小）值与导数
1.4生活中的优化问题举例
1.5.2汽车行驶的路程
1.5.3定积分的概念
1.6微积分基本定理（一）
1.6微积分的基本定理（二）
1.7.1定积分在几何中的应用
I

1.7.2定积分在物理中的应用
第一章复习小结
2.1.1合情推理（一）
2.1.1合情推理（二）
2.1.2演绎推理
2.2.1综合法和分析法
2.2.2反证法
2.2.3数学归纳法（一）
2.2.3数学归纳法（二）
第二章复习小结
3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.2复数的几何意义
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.2复数代数形式的乘除运算
第三章复习小结
II

人教版高中数学选修2-2学案
1.1.1 变化率问题
【学习目标】
1．通过对实例的分析，理解平均变化率；

2．会求函数在指定区间上的平均变化率.

【新知自学】
知识回顾：

1.球的体积公式为____________________.

2.已知直线< br>l
经过两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
, y
2
)，则直线
l
的斜率为________________.

新知梳理：

1.通过气球膨胀率和高台跳水问题可知，函数
y?f(x)< br>从
x
1
到x
2
的变化过程中，我们用
?x
表 示
相对于
x
1
的一个“增量”，即
?x
=________ ____，则
x
2
=
x
1
??x
；类似地，
?y
=____________．则把
?y
?
___________叫 做函数
y?f(x)
从
x
1
到x
2
的平均变化率．
?x
注意：（１）
?x
是一个整体符号，而不是
?
与
x
的乘积；（２）
?x
是自变量
x
在
x
0
处的增量，
可以是正值，也可以是负值．
2.函数平均变化率的概念是什么？
感悟：

函数y=f(x)在x从x
1
→x
2
的平 均变化率的几何意义是过函数y=f(x)的图象上两点(x
1
,f(x
1
) )、(x
2
,f(x
2
))
的直线的斜率.
对点练习：

1

人教版高中数学选修2-2学案
1.在求平均变化率中，自变量的增量
?x
满足（ ）
A.
?x?0
B.
?x?0

C.
?x?0
D.
?x?0

2. 设函数
y?f(x)
，当自变量x由
x
0
改变到
x
0
??x
时，函数值的改变量
?y
=（ ）
A.
f(x
0
??x)
B.
f(x
0
)??x

C.
f(x
0
??x)?f(x
0
)
D.
f(x
0
)??x

3.一物体运动时的位移方程是
s ?2t
2
，则从２到２＋
?t
这段时间内位移的增量
?s
= （ ）
A.８
B.8?2?t

C.8?t?2(?t)
2

D.4?t?2(?t)
2

4.已知函数
f(x)??x
2
?x
的图象上一点（-1，-2）及邻近一点
(?1??x,?2??y)
，则
= .
?y
?x
【合作探究】

典例精析：
例1.求函数y=x
2
+1在区间[2,2+
?
x]上的平均变化率.

讨论展示
2
结合函数图象，探讨当
? x
取定值后，随
x
0
取值不同，该函数在
x?x
0
附近的的平均变化率
y?x
．．．．．．
是否相同．
2

人教版高中数学选修2-2学案

变式练习：
求函数f(x)?3x
2
?2
在区间
?
x
0
,x0
??x
?
上的平均变化率，并求当
x
0
?2,?x? 0.1
时平均变化率
的值.

例2.高台跳水运动中，运动员相对于水面的 高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间
的关系式为h(t)=-4.9t
2< br>+6.5t+10，求运动员在
t?
65
s
时的瞬时速度，并解释此时 的运动状态.
98

讨论展示
计算运动员在
0?t?
65
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49
⑴运动员在这段时间内是静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

变式练习：
放在下节试用

一质点按规律s(t)=at
2
+1作直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点在t=2s时的瞬时速度
为8ms，求常数a 的值.

规律总结：
3

人教版高中数学选修2-2学案
求函数平均变化率的主要步骤：

【课堂小结】

【当堂达标】
1.已知函数f(x)=x
2+1,则在
x
0
?2,?x?0.1
时，
?y
的值为（ ）
A.0.40 B.0.41
C.0.43 D.0.44
2.如果质点M按规律
s?3?t
2
运动，则在时间段
?
2,2.1
?
中相应的平均速度等于（ ）
A.3 B.4
C.4.1 D.0.41
3.已知函数
f( x)?2x
2
?1
的图象上一点（1，1）及邻近一点
(1??x,1??y ),
则
?y
?x
=（
A． 4 B. 4x
C.
4?2?x
D.
4?2(?x)
2

4.函数
f(x)?5?3x
2在区间
?
1,2
?
上的平均变化率是 .

【课时作业】
1.将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加
?R
，则铁球的表面积增加（ ）
4


）

人教版高中数学选修2-2学案
A.8
?
R??R
B.
8
?
R??R?4
?
(?R)
2

C.
4R??R?4
?
(?R)
2
D.
4
?
?(?R)
2

2.已知曲线
y?
1
2
1
x
和这条曲线上的一点
P(1,)
,Q是曲线上点 P附近的一点，则点Q的坐标为（ ）
44
A.
(1??x,
1
(?x)
2
)

4
B.
(?x,
1
(?x)
2
)

4
1
(?x?1)
2
)

4
C.
(1??x,
D.
(?x,
1
(?x?1)
2
)

4
3.甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s=s
1
(t),s=s
2
(t)，图象如图.则在时间段内甲的平均
速度_________ _乙的平均速度（填大于、等于、小于）.
s
s
1
(t)
s
2
(t)
O
t< br>0
t

4.已知函数
f(x)?
1
在
?1,1??x
?
上的平均变化率为 .
x< br>5.求函数y=sinx在0到
?
?
?
之间和到之间的平均变化率，并 比较它们的大小.
632

6.求函数
y?x
在x
0到x
0
+
?x
之间的平均变化率.

5

人教版高中数学选修2-2学案
1.1.2导数的概念
【学习目标】
1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．
2. 理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数
在
x
附近变化的快慢等．

【新知自学】
知识回顾：

?y
?
___________叫做函数
y?f(x)
从
x
1< br>到x
2
的平均变化率．（类似的则有函数
y?f(x)
在
?x
?y
?
_______________________）． 点
x?x< br>0
附近的平均变化率为
?x
1.
2.平均变化率的几何意义是____ __________
__________________________________________
___________________________________________.
新知梳理：

1.函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
?y
?
_____________．
?x?0
?x
2.函数
y?f(x)
在点
x?x0
处的导数是：_____________________，记作
f

(x
0
)或y

|
x?x
0
，即
f

(x
0
)?
lim
?y
?
___________ __________．
?x?0
?x

感悟：

6

人教版高中数学选修2-2学案
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： < br>?y
f(x
0
??x)?f(x)
?
平均变化率，当
?x
趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x
0
处的瞬
?x?x
时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数
变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快.
对点练习：

1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ）
A.
?y?f(x< br>0
??x)?f(x
0
)
叫做函数的增量
B.
?y
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
叫做函数在
x
0
到
x
0
? ?x
之间的平均变化率
?
?x?x
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
叫做函数
y?f
?
x
?
在
x
0
处的导数
?xf
?
x
?
?f
?
x
0
?
叫做函数
y?f
?
x
?
在
x
0
处的导数
x?x
0
f
?
x
0
?h
?
?f< br>?
x
0
?
（ ）
h
C.
D.
lim
x?x
0
2.若函数f(x)在x=x
0
处存在导数，则lim
h?0
A.与
x
0
h都有关
B.仅与
x
0
有关，与h无关
C.仅与h有关，与
x
0
无关
D.与
x
0
、h都无关
3.
lim
`?x?0< br>f
?
3??x
?
?f
?
3
?
?______________.
?x
4.函数
f(x)?2x
2?1
当
x?1
时的导数
f
?
(1)
= ____________ .
7

人教版高中数学选修2-2学案

【合作探究】

典例精析：
例1. 已知
f
?
x
?
?x
2
，求
f
?
(1)
.

变式练习：
已知
f
?
x
?
?

例2.求函数
y?
x?2
，则
f
?
(2)
.
4
在某点的导数.
2
x

变式练习：
求函数
y?x
3
在某点的的导数.

规律总结
利用导数定义求导数的三步曲：
（1）求函数的增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?y
f(x
0
??x)?f(x)
?
（2）求平均变化率；
?x?x
（3）取极限，得导数
f
?
(x)=
lim
?y

.
?x?0
?x
【课堂小结】

8

人教版高中数学选修2-2学案
【当堂达标】
1.如果质点按规律
s?3t
2
运动，则在3秒时的瞬时速度为（ ）
A.6 B.18
C.54 D.81

2.如果某物体作运动方程为
s?21?t
2
的直线运动（s的单 位为m，t的单位为s），那么其在1.2s
末的瞬时速度为 （ ）
??
A.
?4.8ms
B.
?0.88ms

C.
0.88ms
D.
4.8ms

3.设函数
f
?
x
?
可导，则
lim
?x?0
f
?
1??x
?
?f
?
1
?
= （ ）
3?x
A.
f

?
1
?
B.3
f

?
1
?

C.
1

f
?
1
?
D.
f

?
3
?

3

4.求曲线
f
?
x
?
?x
在（2，8）处的瞬时变化率.
3

【课时作业】
2
1.已知< br>f
?
x
?
??x?10,
则
f
?
x
?
在
x?
3
处的瞬时变化率是（ ）
2
9

人教版高中数学选修2-2学案
A.3 B.-3 C.2 D.-2

2.设函数
f
?
x
?< br>?ax
3
?2,
若
f
A.-1 B.

?
?1
?
?3,
则a=（ ）
1

2
1

3
C.1 D.
（保留可以删除）
??
3.若
f
?
(x
0)?2
，则
lim
f
?
x
0
?
?f
?
x
0
??x
?
= .曾子班学生可以
?x?0
2?x
处理

4.求下列函数的导函数:建议少处理，留着公式法求解
?
（1）
f(x)?

1
；
x?2
（2）
f(x)?x
3
?x
.

5.设
f
?
x
?
?ax
3
?2,
若
f
?
(?1)?3
，求
a
的值.

6.已知f(x) =x
2
，g(x)=x
3
，求满足
f< br>?
(x)?2?g
?
(x)
的x的值.不难可以前置处理

10

人教版高中数学选修2-2学案
1.1.3导数的几何意义
【学习目标】
1.了解导函数的概念；
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义；
3.会求曲线
y?f(x)
在某点处的切线方程．
【新知自学】
知识回顾：

1.若直线
l
过点P（x
0
，y0
），且直线的斜率为k，则直线
l
的方程为________________ _________.
2.函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处的导数是：_____________________，记作
f

(x
0
)或y

|
x?x
0
，即
f

(x
0
)?
lim
?y
?
_________________ ____．
?x?0
?x
新知梳理：

1.由下图，我们发现，当 点
P
n
趋近于点
P
时，割线
PP
n
趋近于 确定的位置，这个确定的位置的直
线
PT
称为点
P
处的 ________ ．
注意：曲线的切线与曲线的公共点可能有多个．

2.导数 的几何意义：函数在
f(x)
在
x?x
0
处的导数就是函数图象在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线
PT
的< br>斜率
k
，即
k?
________________________ ____.
3.曲线
y?f(x)
上在
x?x
0
处的切 线方程为_________________________．
11

人教版高中数学选修2-2学案
4.若对于函数
y?f(x)
定义域内的每一个自变量值
x
，都对应一个确定的导数值
f

(x)
，则在
f(x)
定义域内，
f

(x)
构成一个新的 函数，这个函数称为函数
y?f(x)
的___________（简称
______ ___），记作______或____，即______________________.

感悟：

（1）设切线的倾斜角为
?
,那么当Δ
x
→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点
P
处的切线的斜率；
（2）导数的定义提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
（3）切线斜率的本质—函数在
x?x
0
处的导数；
（4）曲线在某点处的切线与该点的位置有关.
对点练习：

1.已知函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数分别为下列情况：（1）
f

(x)
＝０；（2）
f

(x)
＝１；（3）
f

(x)
＝－１．试求函数图象在对应点处的切线的倾斜角．

2.甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，

试问：（1）甲、乙二人哪一个跑得快？
（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？

12

人教版高中数学选修2-2学案
3.建议后置下列说法正确的是（ ）
A.若
f
′ (
x
0
)不存在，则曲线
y
=
f
(
x
)在点(
x
0
,
f
(
x
0
))处就没有切线
B.若曲线
y
=
f
(
x
)在点(
x
0
,
f
(
x
0
))处有切线，则
f
′ (
x
0
)必存在
C.若
f
′ (
x
0
)不存在，则曲线
y
=
f
(
x
)在点(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线斜率不存在
D.若曲线
y
=
f
(
x
)在点(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线


4.若曲线
y
=
f
(
x
)在点(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线方程是y=-2x-7,则
f
?
(x
0
)< br>=________________.

【合作探究】

典例精析：
例1. 求曲线
y?x?1
在点
P(1,2)
处的切线方程.
2

变式练习：
求曲线
y?3x
2
在点
(1,3)
处的 切线方程.

例2.在曲线y=x
2
上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5？
变式练习：
已知抛物线y=2x
2
+1，求其上哪一点处的切线垂直于直线x+8 y-3=0？

13

人教版高中数学选修2-2学案
规律总结
:
一般地，设曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x
0
,y
0
)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知直线
的斜率k=
f

(x
0
)?
lim
方程.
?y
?
li m
f
?
x
0
?
?f
?
x
0
??x
?
，继而由点和斜率可得点斜式方程，化简得切线
?x?0
?x?x?0
?x
【课堂小结】

【当堂达标】
1.函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数
f

(x
0
)
的几何意义是（ ）
A.在点
x
0
处的斜率
B.在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线与
x
轴所夹的锐角的正切值
C.曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
D.点
(x
0
,f(x
0
))
与点（０，０）连线的斜率
2.如果曲线y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的 切线方程为
x?2y?3?0
，那么（ ）
A.
f

(x
0
)
＞０ B.
f

(x
0
)
＜０
C.
f

(x
0
)
＝０ D.
f

(x
0
)
不存在
3.若函数
y? f(x)
的图像上点
P(x
0
,y
0
)
处的导数< br>f

(x
0
)
＜０，则说明函数在点
P
附近< br>_________________（填单调递增或单调递减）．

4.已知函数y=2x
2
图象上一点A(2,8)，求点A处的切线方程.
14

人教版高中数学选修2-2学案

【课时作业】
1 .在曲线
f(x)?x
2
上的切线倾斜角为
?
4
的切点为（ ）
A.（０，０） B.（２，４）
C.（
1111
,
） D.（
,
）
41624
2．曲线
y?x
2
?2x?3
在点
A(?1,6 )
处的切线方程是_______________．

3．如图，函数y=f(x )的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+
f
?
(5)
=_________.

应该标出点P的横坐标5
4.在抛物线
.y?x
2
上求一点，使过此点的切线：
（1）平行于直线
y?4x?15
；

（2）垂直于直线
2x?6y?5?0
．

5.已知抛物线y=a x
2
+bx+c通过点P（1,1）、Q（2，-1），且在点Q处与直线y=x-3相切，求 实数
a,b,c的值.
15

人教版高中数学选修2-2学案
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
【学习目标】
3< br>1.能由定义求函数
y?c
，
y?x
，
y?x
2，
y?x,y?
1
,y?
x
x
的导数；
2.能运用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
【新知自学】
知识回顾：

1.函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处的导数是：_____________________，记作
f

(x< br>0
)或y

|
x?x
0
，即
f

(x
0
)?
lim
?y
?
______________ _______．
?x?0
?x
2.导数的几何意义：函数在
f(x)在
x?x
0
处的导数就是函数图象在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜
率k，即k=___________________ _________.
新知梳理：

1. 几个常见函数的导数:
(1)若f(x)=c(c为常数),则
f
?
(x)?
_________________;
(2)若f(x)=x, 则
f
?
(x)?
_________________;
2
(3)若f(x)=x, 则
f
?
(x)?
_________________;
(4)若f(x)=
1
, 则
f
?
(x)?
_________________;
x(5)若f(x)=
x
,则
f
?
(x)?
______ ___________.
16

人教版高中数学选修2-2学案
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)?x
?
(
?
?Q
?
)

f
?
(x)?
_________________
f
?
(x)?
_________________
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=sinx
f(x)
=cosx
f(x)
=a
x
f
?
(x)?
_________________
f
?
(x)?
_________________
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=e
x
f(x)
=log
a
x
f(x)
=lnx
f
?
(x)?
_________________
f
?
(x)?
_________________
感悟：

求简单函数的导函数的基本方法：
（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
（2）用导数的公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度，是我们以后主要求导方法.
对点练习：

1.函数
f
?
x
?
?0
的导数为（ ）
A.

0
B.
1
C.不存在 D.不确定
2.已知f(x)=e,则
f
?
(-1)?
_____ _________.
3.
y?cosx
在
x?
x
?6
处切线的斜率为（ ）
17

人教版高中数学选修2-2学案
A.
11
33
B.- C.
?
D.
2
2
22
4.曲线< br>y?x
n
在
x?2
处的导数为
12
，则
n< br>的等于（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

【合作探究】

典例精析：
例1.求下列函数的导数:
（1）y=sin
?
3
； （2）
y?x
10
；

（3）y=5
x
; (4)
y?
1
x
2
；

（5）
y?x
3
x
; (6)y=log
3
x.

变式练习：

求下列函数的导数:
(1)y=lg2; (2)y=
1
x
2
;

(3)y=
（
1
2
）
x
; (4)y=
xx
;

(5)
y?log
1
x
.
3
18

人教版高中数学选修2-2学案

例2.求曲线y=x在点
?
1,1
?
处的切线方程.
3

,1
，且与过这点的切线垂直的直线方程.
变式练习：
求过曲线y=sinx上点
P（
?
，）
62

规律总结：
1.求简单函数的导函数的基本方法：
（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.
2.在求函数的导函数时，可根 据函数解析式的结构特征，先进行适当变形，在选择合适的求导
公式.
【课堂小结】

【当堂达标】
1. 1.函数
y?
3
x
2
的导数
y
?
=（ ）
A.
3x
B.
2
1
2
x

3
1
2
?
1
C.
?x
2
D.
x
3

2
3
2.在曲线
y?x
上切线 的倾斜角为
2
3
?
的点是（ ）
4
19

人教版高中数学选修2-2学案
?
??
2
?
A.
?
,
B.
?
2,4
?

?
88
?
?
??
11
?
?
11
?
C.
?
?
,
?
D.
?
?,
?
坐标出错了
?
24
?
?< br>24
?
3.若
f
?
x
?
?x
3，
f

?
x
0
?
?6
，则
x< br>0
的值是（ ）.
2
A.
2
B.
?
C.
?2
D.
?1

4.求下列函数的导数：
（1）y=log
2
7; (2)
y?

1
;
x
2
(3)y=10; (4)y=log
5
x;

(5)y=x
4
x
.
3
x

【课时作业】
1.若
f
?
x
?
?
3x
则
f

?
1
?
=（ ）
A.
0
B.
?
a
11
C.
3
D.

3
3

2.已知
f
?
x
?
?x
，若
f
?
?1
?< br>??4
，则
a
的值等于（ ）
A.
4
B.
?4
C.
5
D.
?5

3.质点的运动方程是
s?

20
1
（其中
s
的单位为
m
，
t
的单位为
s
），求质点在
t?3s
时的速度.
t
4

人教版高中数学选修2-2学案
4.求曲线
y?x
3
上过点
M
?
2,8
?
的切线与坐标轴围成的三角形面积.

5.已知
P
?
?1 ,1
?
、
Q
?
2,4
?
是曲线
y?x2
上的两点，求与直线
PQ
平行的曲线
y?x
2
的切线 方程.

6.已知抛物线y=x
2
，直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离.

7.设f
0
(x)=sinx，f
1
(x)=
f
0
(x),f
2
(x)?f
1
?
(x),

?
??
???,f
n?1
(x)?f
n
(x),n ?N
，试求f
2016
(x).

21

人教版高中数学选修2-2学案
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
【学习目标】
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则；
2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和求导法则求函数的导数.
【新知自学】
知识回顾：

1. 1.基本初等函数的导数公式：
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)?x
?
(
?
?Q
?
)

f
?
(x)?
_________________
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=sinx
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=cosx
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=a
x
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=e
x
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=log
a
x
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=lnx
f
?
(x)?
_________________
新知梳理：

1. 导数的运算法则：
22

人教版高中数学选修2-2学案
设两个函数分别为f(x)和g(x),
（1）
[cf(x)]?
_____________;
（2）
?
f(x)?g(x)
?
?
?
___________；
（3）
?
f(x)?g(x)
?
?
?
__________ _____；
?
??
f(x)
（4）
?
?
__ ______________
(g(x)?0)
．
?
?
g(x)
?
感悟：

'
常数与函数的 积的导数，等于常数乘函数的导数，即：
?
cf(x)
?
?cf(x)
.
'
对点练习：

1.下列等式成立的是( )
A.
(3)
?
?3
B.
(2x
3
)
?
?5x
2

C.
(?2x
3
)
?
??6x
2
D.
(2x
5
)
?
?10x
5

2.若
y＝x＋x
，则
y
?
?
( )
2
A.2x B.2x+1 C.3x D.x
2
+1
3.设
y?x
2
e
x
,< br>则
y
?
?
( )
2xx
A.
xe?2x
B.
2xe

C.
(2x?x)e
D.
(x?x)e

4.设
y?
2x2x
sinx
，则
y
?
?
_______ ___________.
x
23

人教版高中数学选修2-2学案
【合作探究】

典例精析：
例1.求下列函数的导数：
（1）
y?2x
; (2)
y?x
3
?2x?3
；

2
x
(3)y=xsinx; (4)y=.
x

变式练习：
求下列函数的导数：
（1）
f(x)?x
3
sinx
; (2) y=
x?
1
3
lnx
;
x

（3）
y?
cosx
; (4)y=(x
2
-2)(x+1).
x
e

例2.求函 数y=(
sin
xx
?cos
)
2
-1的导函数.
22

变式练习：
求函数
y?
1?x
1?x?
1?x
1?x
的导函数.

例3.曲线y=xe
x
+2x+1在点(0,1)处的切线方程.
24

人教版高中数学选修2-2学案

变式练习：
若曲线f(x )=xsinx+1在x=
?
处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，求实数a的值.
2

规律总结：
1.对于和与差的导数运算法则，此法则可以推广到任意有 限个可导函数的和与差，即：[f
1
(x)
?

?
?
f
2
(x)
?
…f
n
(x)
]
?
=
f
1
?
(x)
?

f
2
(x )
?
…
?
f
n
(x)
.
2.对于积与商 的导数的运算法则，首先要注意不能出现
[f(x)?g(x)]
?
?f
?< br>(x)?g
?
(x)
以及
[
f(x)f
?
( x)
]
?
?
这样的错误；其次，还要特别注意两个函数积与商的求导公式中的 符号的异同，积
?
g(x)g(x)
的求导公式中是“+”，商的求导公式中是“-” .

【课堂小结】

【当堂达标】
1.已知
f(x) ?x
?
，若
f
?
(?1)??4
，则
?
的 值( )
A.一4 B. 4 C.±4 D.不确定

2.若函数f(x)=x+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数
f
?
( x)的图象是（ ）
2
25

人教版高中数学选修2-2学案

3.若f(x)=x
2< br>e
x
，则
f
?
(2)?
_____________ .
4.求下列函数的导数：
(1)
f(x)＝x
2
＋sinx
；

32
（2）
g(x)＝x－x－6x＋2
．
3
2

(3)
h(x)＝xsinx
；

（4）
f(x)＝2xlnx
.

【课时作业】
1. 1.函数
y?mx
2m?n
的导数为
y
?
? 4x
3
,则( )
A.
m??1,n??2
B.
m??1,n?2

C.
m?1,n?2
D.
m?1,n??2

x
2
2.函数
y?
的导函 数为__________________.
x?3

11
3. 直线y＝－x＋b是函数f(x)＝的切线，则b＝________.
4x

4.求下列函数的导数：
26

人教版高中数学选修2-2学案
（1）
y?x
3
log
4
x
；

（2）
y?2
x
cosx
；

(3)
y?sin2x
；

(4)
f(x)?tanx
.

5.直线y＝kx＋1与曲线y＝x
3
＋ax＋b相切于点A(1,3)，求2a＋b的值.

6.设
f(x )＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)
，求
f
?
(0)
,
f
?
(-1)
．

7．已知函数f(x)＝x
3
－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线
l
和
y
＝
f
(
x
)相切且切点异于
P
的直线方程．
27

人教版高中数学选修2-2学案
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（三）
【学习目标】
1.了解复合函数的定义；
2.了解复合函数的求导法则;
3.会应用法则求某些简单复合函数的导数
【新知自学】
知识回顾：

1.基本初等函数的导数公式：
原函数 导函数
f(x)=c(c为常
f
?
(x)?
_________________
数)
f(x)?x
?
(
?
?Q
?
)

f
?
(x)?
_________________
f(x)
=sinx
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=cosx
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=a
x
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=e
x
f
?
(x)?
_________________
f(x)
=log
a
x
f
?
(x)?
_________________
28

人教版高中数学选修2-2学案
f(x)
=lnx
f
?
(x)?
_________________
2.
导数的运算法则：
设两个函数分别为f(x)和g(x),
（1）
[cf
?
(x)]?
_____________;
（2）
?
f(x)?g(x)
?
?
?
______ _____；
（3）
?
f(x)?g(x)
?
?
?_______________；
?
??
f(x)
（4）
?
?
______________
(g(x)?0)
．
?
?
g(x)
?
新知梳理：

1. 复合函数的概念
若函数
y?f(x)
的定义域为
U
，
u? g(x)
的定义域为A，值域为B，且
B?U
，则称函数
y?f(g(x))
是由函数________与函数______复合而成的复合函数．并将
u
叫做中间 变量，把函数
f(u)
叫做外层函数，函数g(x)叫做内层函数．
说明：在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数的定义域的子集．
2. 复合函数的求导法则
?
一般地，复合函数
y?f
?
?
?< br>x
?
?
，设函数
u＝φ
(x)在点
x
处有导 数
μ
?
函数
y＝f(u)
在点
x
＝φ
(< br>x
)
，
?
＝f(φ(x))
在点
x
处也有导 数，且
y'
x
＝y'
u
?u'
x
或
x< br>的对应点
u
处有导数
y
?
μ
＝f(μ)
，则 复合函数
y
f
x
?
(φ(x))＝f
?
(μ)?φ
?
(x)
．
感悟：

29

人教版高中数学选修2-2学案
1.复合函数的求导法则：复合函数对自变量 的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间
变量对自变量的导数；
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
对点练习：

1.说出函数y=log
2
(x-1)是由那两个函数复合而成？

2.函数
y?(3x?5)
2
的导函数是_______________.

3.求下列复合函数的导函数：
（1）
y?cos2x
；

（2）y=ln(2-x).

【合作探究】

典例精析：
例1. 求下列函数的导数：
（1）
y?sin(2x?
?
3
)
;

（2）
y?cos(3x?5)
.
30

变式练习：
求下列函数的导数：
(1)
y?(5x?7)
8
;

(2)y=cos(1-2x).

例2.求下列函数的导数：
（1）
y?ln(5x?4)
；

（2）
y?3
2x?1
.

变式练习：
求下列函数的导数：
(1)
y?
1
3x?1
；

（2）
y?1?2x
2
.


人教版高中数学选修2-2学案
31

人教版高中数学选修2-2学案
规律总结：
应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
（1）中间变量的选取应是基本函数结构；
（2）正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对那个变量求导；
（3）一般从最外层开始，由外及里，一层层求导；
（4）善于把一部分表达是作为一个整体；
（5）最后把中间变量换成自变量的函数.熟练后，就不必写出中间步骤.
【课堂小结】



【当堂达标】
1.函数
y?
sin2
x
的导数为( )
A.
y
?
?
cos2
x
B.
y
?
?
2sin2
x

C.
y
?
?
2cos2
x
D.
y
?
?
2sin2
x

2.
y?e
x
2
?1
的导数是( )
A．
y
?
?
?
x
2
?1
?
e
x
2
?1
B.
y
?
?2xe
x
2
?1

C.y
?
?
?
x
2
?1
?
e
x< br> D.
y
?
?e
x
2
?1
．
32

人教版高中数学选修2-2学案
3.求下列函数的导数：
（1）
y?(3x?2)sin5x
；

（2）y=sin(2x+
?
);
3

(3)y=e
sinx
.

【课时作业】
1.若函数y=sin
2
x，则
y
?
?
（ ）
2x B.2sinx
sx
2
x

2.
y?sin2xcos3x
的导数是_________________．

3.求下列函数的导数．
2x
（1）
y?ecos3x
；

（2）
y?x
2
?xe
?x
；
33
??

人教版高中数学选修2-2学案

（3）
y?2
x
e
x
.

(4)
y
＝e
2x-1
·cos x.

4.已 知
f(x)?e
?
x
sin
?
x
，求
f< br>?
(x),f
?
()
.
1
2

5 .求曲线y=e
-2x
+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积 .

34

人教版高中数学选修2-2学案
1.3.1函数的单调性与导数（一）
【学习目标】
1.了解函数的单调性与导数之间的关系；

f(x)＝x
2
－4x
＋3
(2，＋∞)
(－∞，2)
区间．

增函数
减函数
切线的
f ′(x)
斜率
正
负
＞0
＜0
2.用导数研究函数的单调性，会求函数的单调
【新知自学】
知识回顾：

1.在《必修一》中函数单调性是如何定义的？

2.由定义如何证明函数在定义域的单调性？

3.函数在图象上某点处的导数的几 何意义是____________________________.
新知梳理：
1.函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是 函数y＝f(x)的导数．从函数
y＝x
2
－4x＋3
的图象

可以看到：
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y＝f(x)的值随着x的增大而增大，即y ′＞0时 ，
函数y＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y ＝f(x)
的值随着x的增大而减小，即y′＜0时，函数y＝f(x)在区间（－∞，2）内为减函数 ．
35

人教版高中数学选修2-2学案
2.定义：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数
y＝f(x)为在这个区间内的___________；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内
的____________．
感悟：

用导数求函数单调区间的步骤：
①优先确定函数的定义域；
②求函数f(x)的导数
f
?
(x)
;
③定义域内满足不 等式
f
?
(x)
≥0的
x
的区间就是递增区间；满足不等式
f
?
(x)
≤0的
x
的区间就
是递减区间．
对点练习：

1.在区间(
a
,
b
)内
f

(x)
＞0是
f
(
x
)在(
a
,
b
)内单调递增的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.函数
y?3x?x
3
的单调增区间为( )
(A)(0,??)

(B)(??,?1)

(C)(?1,1)

(D)(1,??)

3．若函数< br>f(x)
在
?
a,b
?
上的图像是连续不断的，
x?
?
a,b
?
时，
f

(
x
)＜0， 又
f(a)?0
，则（ ）
A.
f(x)
在
?
a,b
?
上单调递增，且
f(b)?0

B.
f(x )
在
?
a,b
?
上单调递减，且
f(b)?0
< br>C.
f(x)
在
?
a,b
?
上单调递增，且
f(b)?0

D.
f(x)
在
?
a,b
?
上单调递减，且
f(b)?0

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