高中数学选修2-2练习

高中数学选修2-2综合测试卷
一、选择题（每空5分，共60 分）
1、 复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．3 B．-3i C．3i D．-3
2、已知函数在点处连续,下列结论中正确的是( )
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在
C.如果在
D.如果在附近的左侧
附近的左侧
附近的左侧
,右侧
,右侧
,右侧
,那么
,那么
,那么
是极大值
是极小值
是极大值
3、 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为
在处的导数值，所以是的 极值点. 以上推理
中
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4、函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+2n=n(2n+1)时，由n=k到 n=k+1时，等式左边应添加的项是（ ）
A． 2k+1 B． 2k+2 C． (2k+1)+(2k+2) D． (k+1)+(k+2)+…+2k
6、.已知奇函数是函数是导函数，若时，则( )
A. B.
C. D.
7、 设
为（ ）
是函数的导函数，，若对任意的
，，
则的解集
A. (－1,1) B. (－1,+∞) C. (－∞,－1) D. (－∞,1)

8、将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作
列的数是1 5，记作
a
24
＝15，则有序数对(
a
28
,
a
84
)是
1 4 5 16 17 36 ……
2 3 6 15 18 35 ……
9 8 7 14 19 34 ……
10 11 12 13 20 33 ……
25 24 23 22 21 32 ……
26 27 28 29 30 31 ……
…… …… …… …… ……
，如第2行第4
A．（63，53） B．(64,53) C．(63,54) D．(62,53)
9、函数的大致图像为（ ）
A． B． C. D．
10、函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式
的的范围是（ ）
A. B. C. D.
11、定义方程的实数根x
0
叫做函数的“ 新驻点”，如果函数，，
（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是
（ ）
A．>> B．>> C．>> D．>>

12、 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方 向留
下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为， 在上的导函数为，若在

上 恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上
为“凸函数”，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（每空5 分，共20 分）
13、 在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 ．
14、关于下列说法：
①由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；
②归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确；
③演绎推理是由特殊到特殊的推理；
④演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
其中正确的是 ．（填所有正确说法的序号）
15、已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：
甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京.” 乙说：“我去过上海，甲说得不完全对.”
丙说：“我去过北京，乙说得对.”
已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_________．
16、已知定义在上的函数和满足，，
．令
为 ．
，则使数列的前项和超过1516的最小自然数的值
三、简答题（共70分）
17、已知是复数，
（Ⅰ）求复数；
均为实数（为虚数单位），

（Ⅱ）求一个以为根的实系数一元二次方程。

18、已知函数，当时，取得极小值．
（1）求




的值； （2）求函数在上的最大值和最小值．
19、设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤





(2).
20、已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
(II)若





在是单调递增函数，求实数的取值范围.

21、 等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且
均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 ，
证明：对任意的





，不等式成立.
22、已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且,求证:；
(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．

草稿纸

高中数学选修2-2综合测试卷参考答案

一、选择题

1、D

2、B
解析：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A错.
如果在
如果在
故选B.

3、A

4、B

5、B
6、C

7、B
8、A
9、A

10、D

11、D

12、.C

附近的左侧
附近的左侧
,右侧
,右侧
,则函数先增后减,则
,则函数先减后增,则
是极大值.
是极小值.
二、填空题

13、
14、 ①④ ．

15、甲、丙

16、5
解析：∵，且，∴，从而有，
又，知为减函数，于是得，，由于
，故得使数列的前项和超过
三、简答题

17、解：（Ⅰ）设，
，由题意得 .…3
分
…………………6分
由题意得 . ∴ .………………8
分
（Ⅱ）若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根
，
所求的一个一元二次方程可以是. …………………12分
18、由已知得解得
，
令得
的最小自然数．

变化如下表





-

减


0

+
增




又
，
19、【解析】(1)由得.
由题设得,即.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即
≥a+b+c，所以.

20、解：（I）的定义域为.
当时，，

所以曲线在处的切线方程为

(II)因为
又在是单调递增函数；
所以在恒成立
即在恒成立
令，
所以在单增，
所以，即，
故实数的取值范围为.
21、 解析：因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.
所以得,当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
下面用数学归纳法证明不等式成立.

①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立..
②假设当时不等式成立,即成立.
则当时,左边=

所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
22、解：
(1)当时,,
令或,令,
所以的递增区间为和,递减区间为.
(2)由于有两个极值点,
则在上有两个不等的实根,

设，
所以
所以在上递减，所以
即.
(3)由题意知：只需成立即可.
因为,
所以，因为，所以，而，
所以，所以在递增，
当时，.
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
，又
当时，,在递减,当时，,
所以，所以；

当即时，
①即时，在上递增，
存在，使得，不合；
②即时，，在递减,
当时，,所以，所以
综上, 实数的取值范围为.