人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-1课后习题答案
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
练习（P4）
1、< br>例:(1)若x
2
?x?2?0,则x?1;(2)若x?1,则x
2
?x?2?0
.
2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.
3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.
（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于
y
轴对称. 这是真命题.
（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.
练习（P6）
1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.
否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.
2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.
否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.
逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.
否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.
逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.
练习（P8）

证明：证明：命题的逆否命题是：若
a?b?1
，则
a
2
?b
2
?2a?4b?3

a?b)?2b

?
a
2
?b
2
?2a?4b?3
?(a?b)(a?b)?2(< br>当
a?b?1
时
2?2b?3?a?b1?

0?

原式?a?b?
所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.
习题1.1 A组（P8）
1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.
2、（1）逆命题：若两个整数
a
与
b
的和
a?b
是偶数，则
a,b
都是偶数. 这是假命题.
否命题：若两个整数
a,b
不都是偶数，则
a?b
不是偶数. 这是假命题.
逆否命题：若两个整数
a
与
b
的和
a?b
不是偶数，则
a,b
不都是偶数. 这是真命题.
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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
（2）逆命题：若方程
x
2
?x?m?0
有实数根，则
m?0
. 这是假命题.
否命题：若
m?0
，则方程
x
2
?x?m?0
没有实数根. 这是假命题.
逆否命题：若方程
x
2
?x?m?0
没有实 数根，则
m?0
. 这是真命题.
3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂 直平分线上，则这个点到线段的两个端点的
距离相等.
逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.
这是真命题.
否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不
相等. 这是真命题.
逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分
线上. 这是真命题.
（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.
逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.
否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.
逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.
4、证明：如果一个三 角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形
是等腰三角形，且这两条边是等腰三 角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否
命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.
习题1.1 B组（P8）
证明：要证的命题可以改写成“若
p
，则
q
”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不
能互相平分.
此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.
可以先 证明此逆否命题：设
AB,CD
是
O
的两条互相平分的相交弦，交点是
E
，若
E
和圆
心
O
重合，则
AB,CD
是经过圆心
O
的弦，
AB,CD
是两条直径. 若
E
和圆心
O
不重合，连结
AO,BO,CO
和
DO
，则
OE
是等腰
?AOB
，
?COD
的底边上中线，所以，
OE?A B
，
OE?CD
.
AB
和
CD
都经过点
E
，且与
OE
垂直，这是不可能的. 所以，
E
和
O
必然重合. 即
AB
和
CD
是
圆的两条直径.
原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.
1.2 充分条件与必要条件
练习（P10）
1、（1）
?
； （2）
?
； （3）
?
； （4）
?
. 2、（1）. 3（1）.
4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.
练习（P12）
1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，
p
是
q
的充要条件；
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（2）原命题和它的逆命题都是真命题，
p
是
q
的充要条件；
（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，
p
是
q
的必要条件.
2、（1）
p
是
q
的必要条件； （2）
p
是
q
的充分条件；
（3）
p
是
q
的充要条件； （4）
p
是
q
的充要条件.
习题1.2 A组（P12）

1、略. 2、（1）假； （2）真； （3）真.
3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；
（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.
4、充要条件是
a
2
?b
2
?r
2
.
习题1.2 B组（P13）
1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.
2、证明：（1）充分性：如果
a
2
?b
2?c
2
?ab?ac?bc
，那么
a
2
?b
2
?c
2
?ab?ac?bc?0
.
所以
(a?b)
2
?(a?c)
2
?(b?c)
2
?0

所以，
a?b?0
，
a?c?0
，
b?c?0
.
即
a?b?c
，所以，
?ABC
是等边三角形.
（2）必要性：如果
?ABC
是等边三角形，那么
a?b?c

所以
(a?b)
2
?(a?c)
2
?(b?c)
2
?0

所以
a
2
?b
2
?c
2
?ab?ac?bc?0

所以
a
2
?b
2
?c
2
?ab?ac?bc

1.3 简单的逻辑联结词
练习（P18）
1、（1）真； （2）假. 2、（1）真； （2）假.
3、（1）
2?2?5
，真命题； （2）3不是方程
x
2
?9?0
的根，假命题；
（3）
(?1)
2
??1
，真命题.
习题1.3 A组（P18）
1、（1）
4?{2,3}
或
2?{2,3}
，真命题； （2）
4?{2,3}
且
2?{2,3}
，假命题；
（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.
2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.
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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
3、（1）
2
不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；
（3）
2?3
，假命题； （4）
8?7?15
，真命题；
（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.
习题1.3 B组（P18）
（1）真命题. 因为
p
为真命题，
q
为真命题，所以
p?q
为真命题；
（2）真命题. 因为
p
为真命题，
q
为真命题，所以
p?q
为真命题；
（3）假命题. 因为
p
为假命题，
q
为假命题，所以
p?q
为假命题；
（4）假命题. 因为
p
为假命题，
q
为假命题，所以
p?q
为假命题.
1.4 全称量词与存在量词
练习（P23）
1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.
2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.
练习（P26）
1、（1）
?n
0
?Z,n
0
?Q
； （2）存在一个素数，它不是奇数；
（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.
2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；
（3）所有实数的绝对值都是正数.
习题1.4 A组（P26）
1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.
2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.
32
3、（1）
?x
0
?N,x
0
； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；
?x
0
（3）
?x?R,x
2
?x?1?0
； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.
习题1.4 B组（P27）
（1）假命题. 存在一条直线，它在
y
轴上没有截距；
（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与
x
轴不相交；
（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于
180?
；
（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.
第一章 复习参考题A组（P30）
1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；
否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；
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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.
2、略. 3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.
4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.
5、（1）
?n?N,n
2
?0
； （2）
?P?{PP
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上
}
，
OP?r(O
为圆心
)
；
（3）
?(x,y)?{(x,y)x,y
是整数
}
，
2x?4y? 3
；
3
（4）
?x
0
?{xx
是无理数
}
，
x
0
?{qq
是有理数
}
.
6、（1）
3?2
，真命题； （2）
5?4
，假命题； （3）
?x
0
?R,x
0
?0
，真命题；
（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.
第一章 复习参考题B组（P31）
1、（1）
p?q
； （2）
(?p)?(?q)
，或
?(p?q)
.
2、（1）
?Rt?ABC
，
?C?90?
，
?A,?B,?C
的对边分别是
a,b,c
，则
c
2
?a
2
?b
2
；
（2）
??ABC
，
?A,?B,?C
的对边分别是a,b,c
，则
abc
??
.
sinAsinBsinC
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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程

练习（P37）
1、是. 容易求出等腰三角形
ABC
的边
BC
上的中线
A O
所在直线的方程是
x?0
.
3218
,b?
2、
a?
.
2525
3、解：设 点
A,M
的坐标分别为
(t,0)
，
(x,y)
.
（1）当
t?2
时，直线
CA
斜率
k
CA
?
所以，
k
CB
??
2?02
?

2?t2?t
1t?2

?
k
CA
2
t?2
(x?2)
.
2
由直线的点斜式方程，得直线
CB
的方程为
y?2?
令
x?0
，得
y?4?t
，即点
B
的坐标为
(0,4?t)
.
t4?t
由于点
M
是线段
AB
的中点，由中点坐标公式得
x?,y?
.
22
t4?t
由
x?
得
t?2x
，代入
y?
，
22
4?2x
得
y?
，即
x?y?2?0
……①
2
（2）当
t?2
时，可得点
A,B
的坐标分别为
(2,0)
，
(0,2)

此时点
M
的坐标为
(1,1)
，它仍然适合方程①
由（1）（2）可知，方程①是点
M
的轨迹方程，它表示一条直线.
习题2.1 A组（P37）
1、解：点
A(1,?2)
、
C(3,10)
在方 程
x
2
?xy?2y?1?0
表示的曲线上；
点
B(2,?3)
不在此曲线上
2、解：当
c?0
时，轨 迹方程为
x?
c?1
；当
c?0
时，轨迹为整个坐标平面.
2
3、以两定点所在直线为
x
轴，线段
AB
垂直平分线为
y
轴，建立直角坐标系，得点
M
的轨
迹方程为
x
2
?y
2
?4
.
4、解法一：设圆
x
2
?y
2
?6x?5?0
的圆心为
C
，则点
C
的坐标是
(3,0)
.
由题意，得
CM?AB
，则有
k
CM
k
AB
??1
.
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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
所以，
yy
???1
(x?3,x?0)

x?3x
化简得
x
2
?y
2
?3x?0
(x?3,x?0)

当
x?3
时，
y?0
，点
(3,0 )
适合题意；当
x?0
时，
y?0
，点
(0,0)
不合题意.
22
?
525
?
x?y?3x?0
解方程组
?
2
， 得
x?,y??
2
33
?
?
x?y?6x?5?0
所以，点
M
的轨迹方程是
x
2
?y
2
?3x?0< br>，
解法二：注意到
?OCM
是直角三角形，
5
?x?3
.
3
利用勾股定理，得
x
2
?y
2
?(x?3)
2
?y
2
?9
，
即
x
2
?y
2
?3x?0
. 其他同解法一.
习题2.1 B组（P37）
1、解：由题意，设经过点
P
的直线
l
的方程为
因为直线
l
经过点
P(3,4)
，所以
因此，
ab?4a?3b?0

xy
??1
.
ab
34
??1

ab
由已知点
M
的坐标为
(a,b)
，所以点
M
的轨迹方程为
xy?4x? 3y?0
.
2、解：如图，设动圆圆心
M
的坐标为
(x,y)
.
由于动圆截直线
3x?y?0
和
3x?y?0
所得弦分别为
y
B
C
F
M
E
A
AB
，
CD< br>，所以，
AB?8
，
CD?4
. 过点
M
分别 作直线
3x?y?0
和
3x?y?0
的垂线，垂足分别为
E，
D
F
，则
AE?4
，
CF?2
.

ME?
3x?y
10
，
MF?
3x?y10
.
O
（第2题）
x
连接
MA
，
MC
，因为
MA?MC
，
则有，
AE?ME?CF?MF

2222
(3x?y)2
(3x?y)
2
?4?
所以，
16?
，化简得，xy?10
.
1010
因此，动圆圆心的轨迹方程是
xy?10
.
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2.2 椭圆
练习（P42）
1、14. 提示：根据椭圆的定义，
PF
1?PF
2
?20
，因为
PF
2
?14
. 1
?6
，所以
PF
x
2
y
2
x
2
y
2
y
2
x
2
22
?x?1
； （3）
?
2、（1）
?y?1
； （2）
?1
，或
??1
.
1616
361636163、解：由已知，
a?5
，
b?4
，所以
c?a
2?b
2
?3
.
（1）
?AF
1
B
的周长
?AF
1
?AF
2
?BF
1
?BF
2
.
由椭圆的定义，得
AF
1
?A F
2
?2a
，
BF
1
?BF
2
?2a.
所以，
?AF
1
B
的周长
?4a?20
.
（2）如果
AB
不垂直于
x
轴，
?AF
1
B
的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立，
?AF
1B
的周长
?20
，这是定值.
4、解：设点
M
的坐标为
(x,y)
，由已知，得
直线
AM
的斜率
k
AM
?
直线
BM
的斜率
k
BM
由题意，得
y
(x??1)
；
x?1
y
?
(x?1)
；
x?1
yy
k
AM
?2?
(x??1,y?0)

?2
，所以
x?1x?1
k
BM
化简，得
x??3
(y?0)

因此，点
M
的轨迹是直线
x??3
， 并去掉点
(?3,0)
.
练习（P48）
y
B
2
1、以点
B
2
（或
B
1
）为圆心，以线段
OA< br>2
（或
OA
1
）
A
1
为半径画圆，圆与< br>x
轴的两个交点分别为
F
1
,F
2
.
点
F
1
,F
2
就是椭圆的两个焦点.
F
1
O
F
2
A
2
x
B
1
（第1题 ）
这是因为，在
Rt?B
2
OF
2
中，
OB2
?b
，
B
2
F
2
?OA
2
?a
，
所以，
OF
2
?c
. 同样有
OF
1
?c
.
2、（1）焦点坐标为
(?8,0)
，
(8,0)
；
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（2）焦点坐标为
(0,2)
，
(0,?2)
.
x
2
y
2
y
2
x
2
3、（1）
??1； （2）
??1
.
36322516
x
2y
2
x
2
y
2
y
2
x
2??1
，或
??1
. 4、（1）
??1
（ 2）
1006410064
94
1
x
2
y
2
22
?1
的离心率是， 5、（1）椭圆
9x?y?36
的离心率是，椭圆
?
2
1612
3
22
x
2
y
2< br>221
?1
更圆，椭圆
9x
2
?y
2
?36
更扁； 因为
?
，所以，椭圆
?
1612
3 2
x
2
y
2
2210
?1
的离心率是（2）椭圆< br>x?9y?36
的离心率是，椭圆
?
，
610
35
22
x
2
y
2
2210
?1
更圆，椭圆
x
2
?9y
2
?36
更扁. 因为，所以，椭圆
?
?
610
35
84870
82
6、（1）
(3 ,)
； （2）
(0,2)
； （3）
(?,?)
. 7、.
53737
7
习题2.2 A组（P49）
1、解：由点
M(x,y)
满足的关系式
x
2
?(y?3)
2
?x2
?(y?3)
2
?10
以及椭圆的定义得，
点
M< br>的轨迹是以
F
1
(0,?3)
，
F
2
(0, 3)
为焦点，长轴长为10的椭圆.
y
2
x
2
??1
. 它的方程是
2516
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
?1
，或
??1
.
?1
； （2）
??1
； （3）
?
2、（1）?
49404940
3632259
3、（1）不等式
?2?x?2，
?4?y?4
表示的区域的公共部分；
（2）不等式
?25?x ?25
，
?
1010
?y?
表示的区域的公共部分. 图略.
33
4、（1）长轴长
2a?8
，短轴长
2b?4
，离心率
e?
3
，
2
焦点坐标分别是
(?23,0)
，< br>(23,0)
，顶点坐标分别为
(?4,0)
，
(4,0)
，
(0,?2)
，
(0,2)
；
（2）长轴长
2a?18< br>，短轴长
2b?6
，离心率
e?
22
，
3
第9页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
焦点坐标分别是
(0, ?62)
，
(0,62)
，顶点坐标分别为
(0,?9)
，
(0,9)
，
(?3,0)
，
(3,0)
.
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
2
5 、（1）
??1
； （2）
?y?1
，或
??1
；
9
85819
x< br>2
y
2
y
2
x
2
??1
，或
??1
. （3）
259
259
6、解：由已知，椭圆的焦距
F
1
F
2
?2
.
1
因为
?PF
1
F
2
的面积等于1，所以，
?F
1
F2
?y
P
?1
，解得
y
P
?1
.
2
x
2
1
15
代入椭圆的方程，得
??1
，解得
x??
.
54
2
所以，点
P
的坐标是
(?
P
l
15
,?1)
，共有4个.
2
Q
O
A
7、解：如图，连接
QA
. 由已知，得
QA?QP
.
所以，
QO?QA?QO?QP?OP?r
.
又因为点
A
在圆内，所以
OA?OP

（第7题）
根据椭圆的定义，点
Q
的轨迹是以
O,A
为焦点，
r
为长轴 长的椭圆.
8、解：设这组平行线的方程为
y?
3
x?m
. 2
3
x
2
y
2
?1
，得
9x
2
?6mx?2m
2
?18?0
. 把
y?x?m
代入椭圆方程
?
2
49
这个方程根的判别式
??36m
2
?36(2m
2
?18)

（1）由
??0
，得
?32?m?32
.
当这组直 线在
y
轴上的截距的取值范围是
(?32,32)
时，直线与椭圆相交.
（2）设直线与椭圆相交得到线段
AB
，并设线段
AB
的中点 为
M(x,y)
.
x
1
?x
2
m
??
.
23
3m
因为点
M
在直线
y?x?m
上，与
x??
联立，消去
m
，得
3x?2y?0
.
23
这说明点
M
的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端 点），这些弦的中点在一
条直线上.
则
x?
第10页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
x
2
y
2
9、
??1
.
22
3 .5252.875
10、地球到太阳的最大距离为
1.5288?10
8
k m，最下距离为
1.4712?10
8
km.
习题2.2 B组（P50）
1、解：设点
M
的坐标为
(x,y)
，点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，
则
x?x
0
，
y?
3y
0
2
. 所以
x
0
?x
，
y
0
?y
……①. < br>23
22
因为点
P(x
0
,y
0
)
在圆上，所以
x
0
?y
0
?4
……②.
4
2
x
2
y
2
?1
将①代入②，得点< br>M
的轨迹方程为
x?y?4
，即
?
9
49
2
所以，点
M
的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.
2、解法一：设动圆圆 心为
P(x,y)
，半径为
R
，两已知圆的圆心分别为
O
1
,O
2
.
分别将两已知圆的方程
x
2
?y2
?6x?5?0
，
x
2
?y
2
?6x?91 ?0

配方，得
(x?3)
2
?y
2
?4
，
(x?3)
2
?y
2
?100

当
当P
与
O
1
：
(x?3)
2
?y
2?4
外切时，有
O
1
P?R?2
……①
P
与
O
2
：
(x?3)
2
?y
2
?100< br>内切时，有
O
2
P?10?R
……②
①②两式的两边分别 相加，得
O
1
P?O
2
P?12

即，
( x?3)
2
?y
2
?(x?3)
2
?y
2
?12
……③
化简方程③.
先移项，再两边分别平方，并整理，得
2(x?3)
2
?y
2
?12?x
……④
将④两边分别平方，并整理，得
3x
2
?4y
2
?108?0
……⑤
x
2
y
2
??1
……⑥ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得
3627
由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹 是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，
63
.
解法二：同解法一，得方程< br>(x?3)
2
?y
2
?(x?3)
2
?y
2
?12
……①
由方程①可知，动圆圆心
P(x,y)
到点
O
1
(?3,0)
和点
O
2
(3,0)
距离的和 是常数12，
第11页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
所以点
P
的轨 迹方程是焦点为
(?3,0)
、
(3,0)
，长轴长等于12的椭圆.
并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在
x
轴上，于是可求出它的标准方程.
因为
2c?6
，
2a?12
，所以
c?3
，a?6

所以
b
2
?36?9?27
.
x
2
y
2
??1
. 于是，动圆圆心的轨迹方程为
3627
?MF
1
?
?
?
3、解：设
d
是点
M
到直线
x?8
的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
P??
M
d2
??
由此得
(x?2)
2
?y
2
1
?

8?x2
22
x
2
y
2
?1
将上式两边平方，并化简，得
3x?4y?48
，即
?
1612
所以，点
M
的轨迹是长轴、短轴长分别为8，
43
的椭圆.
4、解 ：如图，由已知，得
E(0,?3)
，
F(4,0)
，
G(0,3)
，
H(?4,0)
.
y
因为
R,S,T
是线段
OF
的四等分点，

R
?
,S
?
,T
?
是线段
CF
的四等分点，
所以，
R(1,0),S(2,0),T(3,0)
；
DG
L
M
C
R'
S'
H
O
RST
N
T'
F
x
933

R
?
( 4,),S
?
(4,),T
?
(4,)
.
424
直线
ER
的方程是
y?3x?3
；
A
3
E
直线
GR
?
的方程是
y??x?3
.
16
（第4题）
3245
联立这两个方程，解得
x?,y?
.
1717
3245
所以，点
L
的坐标是
(,)
.
1717
1699621
同样，点
M
的坐标是
(,)
，点
N
的坐标是
(,)
.
552525
B
x
2
y
2
由作图可见 ，可以设椭圆的方程为
2
?
2
?1
(m?0,n?0)
……①
mn
把点
L,M
的坐标代入方程①，并解方程组，得
1111
??
，.
2222
m4n3
第12页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
x
2
y
2
所以经过点
L,M
的椭圆方程为
??1
.
169
196121
x
2
y
2
把点< br>N
的坐标代入
?
，得
?()
2
??()
2< br>?1
，
1625925
169
x
2
y
2
所以，点
N
在
??1
上.
169
x
2
y
2
因此，点
L,M,N
都在椭圆
??1
上.
169
2.3 双曲线

练习（P55）
x
2
y
2
y
2
2
?1
.
?1
. （2）
x?
1、（1）
?
3
169
（3）解法一：因为双曲线的焦点在
y
轴上
y
2
x
2
所以，可设它的标准方程为
2
?
2
?1
(a?0,b?0)

ab
将点
(2,?5)
代入方程，得
又
a
2
?b
2
?36

2222
?
?
ab?4a?25b?0
解方程组
?
2

2
?
?
a?b?36
2 54
2222
??1
ab?4a?25b?0
，即
22
ab
?
mn?4m?25n?0
令
m?a
2
,n?b
2
，代入方程组，得
?

?
m?n?36
?
m?20
?
m?45
解得
?
，或
?

n?16n??9
??
第二组不合题意，舍去，得
a
2
?20,b
2
?16

y
2
x
2
??1
所求双曲线的标准方程为
2016
解法二：根据双曲线的定义，有
2a?
所以，
a?25

4?(?5?6)
2
?4?(?5?6)
2
?45
.
第13页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
又
c?6
，所以
b
2
?36?20?16

y
2
x
2
由已知，双曲线的焦点在
y
轴上，所以所求双曲线的标准方程为
??1
. < br>2016
2、提示：根据椭圆中
a
2
?b
2
?c2
和双曲线中
a
2
?b
2
?c
2
的关 系式分别求出椭圆、双曲线的
焦点坐标.
3、由
(2?m)(m?1)?0
，解得
m??2
，或
m??1

练习（P61）

1、（1）实轴长
2a?82
，虚轴长
2b?4
；顶点坐标为
(42 ,0),(?42,0)
；
焦点坐标为
(6,0),(?6,0)
；离心率
e?
32
.
4
（2）实轴长
2a?6
，虚轴长
2b?18
；顶点坐标为
(3,0),(?3,0)
；
焦点坐标为
(310,0),(?310,0)
；离心率
e?10
.
（3）实轴长
2a?4
，虚轴长
2b?4
；顶点坐标为
(0,2) ,(0,?2)
；
焦点坐标为
(0,22),(0,?22)
；离心率
e?2
.
（4 ）实轴长
2a?10
，虚轴长
2b?14
；顶点坐标为
(0,5), (0,?5)
；
焦点坐标为
(0,74),(0,?74)
；离心率
e?
74
. < br>5
x
2
y
2
y
2
x
2
x< br>2
y
2
?1
； （2）
??1
. 3、
??1
2、（1）
?
169362835
x
2
y
2
?1
，渐近线方程为
y??x
. 4、
?
1 818
14225
5、（1）
(6,2),(,?)
； （2）
(,3)

334
习题2.3 A组（P61）
y
2
x
2
??1
. 因为
a?8
，由双曲 线定义可知，点
P
到两焦点距1、把方程化为标准方程，得
6416
离的差的 绝对值等于16. 因此点
P
到另一焦点的距离是17.
x
2
y< br>2
x
2
y
2
??1
. （2）
??1
2、（1）
2016
2575
第14页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
5
；
3
5
（2）焦点坐标为
F
1
( 0,?5),F
2
(0,5)
，离心率
e?
；
4
3、（1）焦点坐标为
F
1
(?5,0),F
2
(5,0)
，离心率
e?
x
2
y
2
y
2
x
2
4、（1）
??1
. （2）
??1

2516916
（3）解：因为
e?
c
?2
，所以c
2
?2a
2
，因此
b
2
?c
2?a
2
?2a
2
?a
2
?a
2
.
a
x
2
y
2
y
2
x
2
设双曲线的标准方程为
2
?
2
?1
，或
2
?2
?1
.
aaaa
将
(?5,3)
代入上面的两个方程，得
259925
??1?
2
?1
. ，或
222
aaaa
解得
a
2
?16
（后一个方程无解）.
x
2
y
2
?1
. 所以，所求的双 曲线方程为
?
1616
5、解：连接
QA
，由已知，得
QA ?QP
.
所以，
QA?QO?QP?QO?OP?r
.
又因为点
A
在圆外，所以
OA?OP
.
根据双曲线的定义，点
Q
的轨迹是以
O,A
为焦点，
r
为实 轴长的双曲线.
x
2
y
2
?1
. 6、
?
88
习题2.3 B组（P62）

x
2
y
2
?1
1、
?
169
2 、解：由声速及
A,B
两处听到爆炸声的时间差，可知
A,B
两处与爆炸点的 距离的差，
因此爆炸点应位于以
A,B
为焦点的双曲线上.
使
A ,B
两点在
x
轴上，并且原点
O
与线段
AB
的中点 重合，建立直角坐标系
xOy
.
设爆炸点
P
的坐标为
(x,y)
，则
PA?PB?340?3?1020
.
即
2a?1020
，
a?510
.
又
AB?1400
，所以
2c?1400
，
c?700
，
b
2
?c
2
?a
2
?229900
.
第15页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
x
2
y
2
因此，所求双曲线的方程为
??1
. < br>26
x
2
y
2
3、
2
?
2
?1

ab
4、解：设点
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
在双曲线上，且线段
AB
的中点为
M(x,y)
.
设经过点
P
的直线
l
的方程为
y?1?k(x?1)
，即
y?kx?1?k

y
2
?1
得 把
y?kx?1?k
代入双曲线的方程
x?
2
2

(2?k
2
)x
2
?2k(?1kx)?(?1
2
k?)
（
?2
2?
0
k
2
?0
） ……①
x
1
?x
2
k(1?k)
?

22?k
2
k(1?k)
?1
，解得
k?2
. 由题意，得
2
2?k
所以，
x?
当
k?2
时，方程 ①成为
2x
2
?4x?3?0
.
根的判别式
??16?24??8?0
，方程①没有实数解.
所以，不能作 一条直线
l
与双曲线交于
A,B
两点，且点
P
是线段
AB
的中点.
2.4 抛物线
练习（P67）
1、（1）
y
2
?12x
； （2）
y
2
?x
； （3）
y
2
?4x,y< br>2
??4x,x
2
?4y,x
2
??4y
.
11
2、（1）焦点坐标
F(5,0)
，准线方程
x??5
； （2）焦点坐标
F(0,)
，准线方程
y??
；
88
55
（3）焦点坐标
F(?,0)
，准线方程
x?
； （4）焦点坐标
F(0,?2)
，准线方程
y?2
；
88
p
3、（1）
a
，
a?
. （2）
(6,62)
，
(6,?62)

2
提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点
M
到准线的距离等于9，
所以
x?3?9
，
x?6
，
y??62
.
练习（P72）
y
y
2
=4x
y
2
=2 x
1、（1）
y
2
?
16
x
； （2）
x
2
?20y
；
5
（3）
y
2
??16x
； （4）
x
2
??32y
.
2、图形见右，
x
的系数越大，抛物线的开口越大.
O
y
2
=x
1
2
y=x
2
x
第16页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
3、解：过点
M(2,0)
且斜率为1的直线
l
的方程
为
y?x?2

?
y?x?2
与抛物线的方程
y?4x
联立
?
2

?
y?4x
2
?
?
x
1
?4?23
?
?
x< br>2
?4?23
解得
?
，
?

?
?
y
1
?2?23
?
?
y
2
? 2?23
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
? x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2< br>?(?43)
2
?(?43)
2
?46
.
4、解：设直线
AB
的方程为
x?a
(a?0)
.
将
x?a
代入抛物线方程
y
2
?4x
，得
y2
?4a
，即
y??2a
.
因为
AB?2y?2?2a?4a?43
， 所以，
a?3

因此，直线
AB
的方程为
x?3
.
习题2.4 A组（P73）
11
1、（1）焦点坐标
F(0,)
，准线方程
y??
；
22
33
（2）焦点坐标
F(0,?)
，准线方程
y?；
1616
11
（3）焦点坐标
F(?,0)
，准线方程x?
；
88
33
（4）焦点坐标
F(,0)
，准线方 程
x??
.
22
2、（1）
y
2
??8x
； （2）
(4,42)
，或
(4,?42)

3、解：由抛物线的方程
y
2
?2px
(p?0)
，得它的准线方程为
x??
p
.
2
根据抛物线的定义，由
MF?2p
，可知 ，点
M
的准线的距离为
2p
.
设点
M
的坐标为
(x,y)
，则
x?
将
x?
p3p
?2p
，解得
x?
.
22
3p
代入
y
2
?2px
中，得
y??3p
.
2
3p3p
因此，点
M
的坐标为
(,3p)
，
(,?3p)
.
22
4、（1）
y
2
?24x
，
y
2
? ?24x
； （2）
x
2
??12y
（图略）
5 、解：因为
?xFM?60?
，所以线段
FM
所在直线的斜率
k?t an60??3
.
因此，直线
FM
的方程为
y?3(x?1)

第17页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
?
1
?
y?3(x?1)
与抛物线
y?4x
联立，得
?

2
2
?
?
y?4x
1
将
1
代入2
得，
3x
2
?10x?3?0
，解得，
x
1
?
，
x
2
?3

3
2
把
x
1
?
1
23
，
x
2
?3分别代入①得
y
1
??
，
y
2
?23

3
3
123
由第5题图知
(,?)
不合题意 ，所以点
M
的坐标为
(3,23)
.
33
因此，
FM?(3?1)
2
?(23?0)
2
?4

6、证明：将
y?x?2
代入
y
2
?2x
中，得
(x?2)
2
?2x
，
化简得
x
2
?6x?4?0
，解得
x?3?5

则
y?3?5?2?1?5

因为
k
OB
?
1?51?5
，
k
OA
?

3?53?5
1?51?51?5
????1

9?5
3?53?5
y
O
2
l
x
所以
k
OB
?k
OA
?
所以
OA?OB

7、这条抛物线的方程是
x
2
?17.5y

8、解：建立如图所示的直角坐标系，
设拱桥抛物线的方程为
x
2
??2py
，
因为拱桥离水面2 m，水面宽4 m
所以
2
2
??2p(?2)
，
p?1

因此，抛物线方程为
x??2y
……①
2
4
（第8题）
水面下降1 m，则
y??3
，代入①式，得
x
2
??2? (?3)
，
x??6
.
这时水面宽为
26
m.
习题2.2 B组（P74）
1、解：设垂线段的中点坐标为
(x,y)
，抛物线上相应点的坐标为
(x
1
,y
1
)
.
根 据题意，
x
1
?x
，
y
1
?2y
，代入< br>y
1
2
?2px
1
，得轨迹方程为
y
2?
1
px
.
2
第18页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
p
由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为
(,0)
的抛物线.
8
2、解：设这个等边三角形
OAB
的顶点
A,B
在抛物线上，且 坐标分别为
(x
1
,y
1
)
，
(x
2,y
2
)
，
2
则
y
1
2
?2px
1
，
y
2
?2px
2
.
222
又
OA?OB
，所以
x
1

?y
1
2
?x
2
?y
2
2
2
即
x
1
2
?x
2
)?2p(x
1
?x
2< br>)?0

?2px
1
?2px
2
?0
，(x
1
2
?x
2
因此，
(x
1
?x< br>2
)(x
1
?x
2
?2p)?0

因为x
1
?0,x
2
?0,2p?0
，所以
x
1< br>?x
2

由此可得
y
1
?y
2
，即 线段
AB
关于
x
轴对称.
因为
x
轴垂直于
AB
，且
?AOx?30?
，所以
y
1
3
. < br>?tan30??
x
1
3
y
1
2
因为
x
1
?
，所以
y
1
?23p
，因此
AB ?2y
1
?43p
.
2p
3、解：设点
M
的坐标为
(x,y)

y
(x??1)
.
x?1
y
(x?1)
. 直线
BM
的斜率
k
BM
?
x?1
yy
? ?2(x??1)
，由题意，得
k
AM
?k
BM
?2
，所以，化简，得
x
2
??(y?1)(x??1)

x?1x?1
由已知，得 直线
AM
的斜率
k
AM
?
第二章 复习参考题A组（P80）
1、解：如图，建 立直角坐标系，使点
A,B,F
2
在
x
轴上，
F
2
为椭圆的右焦点（记
F
1
为左焦点）.
x
2
y< br>2
因为椭圆的焦点在
x
轴上，所以设它的标准方程为
2
?2
?1(a?b?0)
.
ab
y
则
a?c?OA? OF
2
?F
2
A
?6371?439?6810
，
a?c?OB?OF
2
?F
2
B
?6371?2384?8755
，
解得
a?7782.5
，
c?8755

所以
b?a?c?(a?c)(a?c)?8755?6810

用计算器算得
b?7722

22
B
F
1
O
F
2
Ax
（第1题）
第19页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
x
2
y
2
因此，卫星的轨道方程是
??1
. 22
77837722
2R?r
1
?r
2
?
a ?
?
?
a?c?R?r
1
?
2
2、解：由题意，得
?
， 解此方程组，得
?

r?r
?
a?c?R ?r
2
?
c?
21
?
?2
因此卫星轨道的离心率< br>e?
3、（1）
D
； （2）
B
.
4、（1）当
?
?0?
时，方程表示圆.
cr
2
?r
1
.
?
a2R?r
1
?r
2
y
2
?1
. 方程表示焦点在
y
轴上的椭圆. （2）当
0??
?
?90?< br>时，方程化成
x?
1
cos
?
2
（3）当
?
?90?
时，
x
2
?1
，即
x??1
，方程表示平行于
y
轴的两条直线.
0??
?
?180?
时， （4）当
9
因为
co s
?
?0
，所以
x
2
?y
2
cos
?
?1
表示双曲线，其焦点在
x
轴
上. 而当
?
?180?
时，方程表示等轴双曲线.
5、解：将
y?kx ?1
代入方程
x
2
?y
2
?4

得
x
2
?k
2
x
2
?2kx?1?4?0

即
(1?k
2
)x
2
?2kx?5?0
……①

??4k
2
?20(1?k
2
令
??0
，解得
k?
2

6)?20?k1
55
，或
k??

22
因为
??0
，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，
所以 ，
k
的取值范围为
k?
55
，或
k??

22
pp
6、提示：设抛物线方程为
y
2
?2px
，则点< br>B
的坐标为
(,p)
，点
C
的坐标为
(,?p)
22
设点
P
的坐标为
(x,y)
，则点
Q
的坐标为
(x,0)
.
因为，
PQ?y?2px
，
BC?2p
，
OQ?x
.
所以，
PQ?BCO Q
，即
PQ
是
BC
和
OQ
的比例中项.
7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是
A,B
，其中点
A
在
x
轴上方.
第20页 共38页

2

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
直线
FA
的方程为
y?
3p
(x?)

32
与
y
2
?2px
联立，消去
x
，得
y
2
?23py?p
2
?0

解方程，得
y
1
?(3?2)p
，
y
2
?(3?2)p

把
y
1
?(3?2)p
代入
y?
7
3p
(x?)
，得
x
1
?(?23)p
.
2
32
7
3p
(x?)
，得
x
2
?(?23)p
.
2
32
把
y2
?(3?2)p
代入
y?
77
所以，满足条件的点
A
有两个
A
1
((?23)p,(3?2)p)
，
A
2
((?23)p,(3?2)p)
.
22
7
根据图形的对称性， 可得满足条件的点
B
也有两个
B
1
((?23)p,?(3?2)p )
，
2
7
B
2
((?23)p,?(3?2)p)

2
所以，等边三角形的边长是
A
1
B
1
?2(3? 2)p
，或者
A
2
B
2
?2(2?3)p
.
8、解：设直线
l
的方程为
y?2x?m
.
把
y ?2x?m
代入双曲线的方程
2x
2
?3y
2
?6?0，得
10x
2
?12mx?3m
2
?6?0
.
6m
3m
2
?6

x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
?
……①
5
10
由已知，得
(1?4)[(x
1
?x
2< br>)
2
?4x
1
x
2
]?16
……②
把①代入②，解得
m??
210

3
210
< br>3
所以，直线
l
的方程为
y?2x?
9、解：设点
A
的坐标为
(x
1
,y
1
)
，点
B
的坐标为
(x
2
,y
2
)
，点
M
的坐标为
(x,y)
.
并设经过点
M
的直线
l
的方程为< br>y?1?k(x?2)
，即
y?kx?1?2k
.
y
2
?1
，得 把
y?kx?1?2k
代入双曲线的方程
x?
2
2

(2?k
2
)x
2
?2k(?1k2x)?
22
? (1k2?)?(2?k0?0
.
)
……①
第21页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
x
1
?x
2
k(1?2k)
?

22?k
2
k(1?2k)
?2
，解得
k?4
由 题意，得
2?k
2
所以，
x?
当
k?4
时，方程① 成为
14x
2
?56x?51?0

根的判别式
??56
2
?56?51?280?0
，方程①有实数解.
所以，直线
l
的方程为
y?4x?7
.
10、解：设点
C
的坐标为
(x,y)
.
y
(x??5)

x?5
y
(x?5)
直线
BC
的斜率
k
BC
?
x?5
yy
??m(x??5)
由题意，得
k
AC
k
BC
?m
. 所以，
x?5x?5
由已知，得 直线
AC
的斜率
k
AC
?
x
2
y
2
??1(x??5)
化简得，
2525m
当
m?0
时，点
C
的轨迹是椭圆
(m??1)
，或者圆
(m??1)
，并除去两点
(?5,0),(5,0)
；
当
m?0
时，点
C
的轨迹是双曲线，并除去两点
(?5,0 ),(5,0)
；
11、解：设抛物线
y
2
?4x
上的点
P
的坐标为
(x,y)
，则
y
2
?4x
.
点
P
到直线
y?x?3
的距离
d?
x?y?3< br>2
?
y
2
?4y?12
42
?
(y?2)< br>2
?8
42
.
当
y?2
时，
d
的最小值是
2
. 此时
x?1
，点
P
的坐标是
(1,2)
.
12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱
顶为原点、拱高所在直线为
y
轴
（向上），建立直角坐标系.
设隧道顶部所在抛物线的方程
为
x
2
??2py

因为点
C(4,?4)
在抛物线上
所以
4??2p(?4)

A
2
y
O
抛物线
6 m
D
E
C
2 m
3 m
8 m
（第12题）
x
解得
2p??4

所以，隧道顶部所在抛物线的方程
第22页 共38页

3 m
F
B

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
为
x
2
??4y
.
设
EF?h?0.5
. 则
F(3,h?5.5)

把点
F
的坐标代入方程
x
2
??4y
，解得
h?3.25
.
答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.
第二章 复习参考题B组（P81）
1、
S
?PF
1
F
2
?243
.
2、解：由题意，得
PF
1
?x
轴.
b
2
b
2
把
x??c
代入椭圆方程，解得
y??
. 所以，点
P
的坐标是
(?c,)

a
a
b
b
2
直线
OP
的斜率
k
1
??
. 直线
AB
的斜率
k
2
??
.
a
acb
2
b
?
，所以，
b?c
，
a?2c
. 由题意，得
aca
由已知及
F
1
A?a?c
，得
a?c?10?5

所以
(1?2)c?10?5
，解得
c?5

所以，
a?10
，
b?5

x
2
y
2
?1
. 因此，椭圆的方程为
?
105
3、解：设点
A
的坐标
(x
1
,y
1
)
，点
B
的坐标
(x
2
,y
2
)
.
由
OA?OB
，得
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.
由已知，得直线
AB
的方程为
y??2x?5
.
则有
y
1
y
2
?5(y
1
?y
2
)?25?0
……①
由
y??2x?5
与
y
2
?2px
消去
x
，得
y
2
?py?5p?0
……②

y
1
?y
2
??p
，
y
1
y
2
??5p
……③
把③代入①，解得
p?
5

4
第23页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
当
p?
55< br>时，方程②成为
4y
2
?5y?25?0
，显然此方程有实数根. 所以，
p?

44
4、解：如图，以连接
F
1
,F
2
的直线为
x
轴，线段
F
1
F
2
的中点为原点，建立直角坐标系.
对于抛物线，有
p
?1763?529?2292
，
2
所以，
p?4584
，
2p?9168
.
?
c?a?2080
对于双曲线，有
?

?
c?a ?529
解此方程组，得
a?775.5
，
c?1304.5
因此，
b
2
?c
2
?a
2
?1100320< br>.
（第4题）
x
2
y
2
??1
(x?775.5)
. 所以，所求双曲线的方程是
601400.31100320
因为抛物线的顶点横坐标是
?(1763?a)??(1763?775.5)??987.5

所以，所求抛物线的方程是
y
2
?9168(x?987.5)

答：抛物线的方程为
y
2
?9168(x?987.5)
，
x
2
y
2
??1
(x?775.5)
. 双曲线的 方程是
601400.31100320
5、解：设点
M
的坐标为
( x,y)

y
(x??1)

x?1
y
(x?1)
直线
BM
的斜率
k
BM
?
x?1
yy
? ?2(x??1)
，化简，得
xy?x
2
?1(x??1)
由题意 ，得
k
AM
?k
BM
?2
，所以
x?1x?1由已知，得 直线
AM
的斜率
k
AM
?
所以，点M
轨迹方程是
xy?x
2
?1(x??1)
.
6、解 ：（1）当
m?1
时，方程表示
x
轴；（2）当
m?3
时， 方程表示
y
轴；
x
2
y
2
??1
. （3）当
m?1,m?3
时，把方程写成
3?mm?1
①当
1?m?3,m?2
时，方程表示椭圆； ②
m?2
时，方程表示圆；
③当
m?1
，或
m?3
时，方程表示双曲线.
7、以
AB
为直径的圆与抛物线的准线
l
相切.
证明：如 图，过点
A,B
分别作抛物线
y
2
?2px(p?0)
的准 线
l
的
第24页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
垂线，垂足分别为
D,E
.
由抛物线的定义，得
AD?AF
，
BE?BF
.
所以，
AB?AF?BF?AD?BE
.
设
AB
的中点为
M
，且过点
M
作抛物线
y
2
?2px(p?0)< br>的准线
l
的垂线，垂足为
C
.
显然
MC
∥
x
轴，
所以，
MC
是直角梯形
ADEB
的中位线. 于是，
MC?
11
(AD?BE)?AB
.
22
因此，点
C
在以
AB
为直径的圆上.
又MC?l
，所以，以
AB
为直径的圆与抛物线的准线
l
相切.
类似地，可以证明：
对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；
对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.
第25页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
练习（P86）
1、略. 2、略. 3、A
?
C?AB?AD?AA
?
，
BD
?
?AB ?AD?AA
?
，
DB
?
?AA
?
?AB?AD< br>.
练习（P89）
1、（1）
AD
； （2）
AG
； （3）
MG
.
2、（1）
x?1
； （2）
x?y?
3、如图.


Q



练习（P92）
C
B
S
O
R
11
； （3）
x?y?
.
22
P
A
（第3题）
1、
B
.
2、解：因为
AC
?
?AB?AD?AA
?
，
所以
AC
?
?(AB?AD?AA
?
)
2

2
?AB?AD?AA
?
?2(AB?AD?AB?AA
?
?AD?AA
?
)
?4?3?5?2?(0?10?7.5)?85
所以AC
?
?85

3、解：因为
AC?
?

所以
AC?BD
，
AC?AB
，又知
BD?AB
.
所以
AC?BD?0
，
AC?AB?0
，又知
BD?AB? 0
.
222
222

?C

D

CD?CD
?(CA?AB?

?CA?AB?
2 2
2
B)D?(?CA?AB)BD
BD
2

?a
2
?b
2
?c
2
所以
CD?a
2
?b2
?c
2
.
练习（P94）
第26页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
1、向量
c
与
a?b
，
a?b
一定构成空间的一个基底. 否则
c
与
a?b
，
a?b
共面，
于是
c
与
a
，
b
共面，这与已知矛盾. 2、共面
2、（1）解：
OB
?
?OB?BB
?
?OA? AB?BB
?
?OA?OC?OO
?
?a?b?c
；
< br>BA
?
?BA?BB
?
??OC?OO
?
?c?b< br>
CA
?
?CA?AA
?
?OA?OC?OO
??a?b?c

1111
（2）
OG?OC?CG?OC?CB
?
?b?(a?c)?a?b?c
.
2222
练习（P97）
1、（1）
(?2,7,4)
； （2）
(?10,1,16)
； （3）
(?18,12,30)
； （4）2. 2、略.
3、解：分别以
DA,DC,DD
1
所在 的直线为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立空间直角坐标系. 1
则
D(0,0,0)
，
B
1
(1,1,1)
，
M(1,,0)
，
C(0,1,0)

2
1
所以 ，
DB
1
?(1,1,1)
，
CM?(1,?,0)
. < br>2
1
1??0
DB
1
?CM15
2
所以，< br>cos?DB
1
,CM??
.
??
15
1
DB
1
?CM
3?1?
4
习题3.1 A组（P97）
A'
D
D'
C'
B'
G
M
1、解：如图，（1）< br>AB?BC?AC
；
（2）
AB?AD?AA
?
?AC?A A
?
?AC?CC
?
?AC
?
；
A
C< br>B
1
（3）设点
M
是线段
CC
?
的中点，则
AB?AD?CC
?
?AC?CM?AM
；
2
11
（4）设点
G
是线段
AC
?
的三等分点，则
(AB?AD ?AA
?
)?AC
?
?AG
.
33
向量
AC,AC
?
,AM,AG
如图所示.
2、
A
.
3、解：
AC
?
?(AB?AD?AA
?
)
2

2
（第1题）
第27页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
222?AB?AD?AA
?
?2(AB?AD?AB?AA
?
?AD?AA< br>?
)
122
?5
2
?3
2
?7
2< br>?2(5?3??5?7??3?7?)
222
?98?562
所以，
AC
?
?13.3
.
4、（1）
AB?AC?AB?ACcos60??

1
2
a
；
2
1
（2）
AD?DB?AD ?DBcos120???a
2
；
2
111
（3）
GF? AC?GF?ACcos180???a
2

(GF?AC?a)
；
222
111
（4）
EF?BC?EF?BCcos60??a
2

(EF?BD?a)
；
422
111
（5）
FG?BA? FG?BAcos120???a
2

(FG?AC?a)
；
422
11
（6）
GE?GF?(GC?CB?BA)?CA
22
111
?(DC?CB?BA)?CA
222
111
?DC ?CA?CB?CA?BA?CA
424

111
?DC?CAcos120 ??CB?CAcos60??BA?CAcos60?
424
1
?a
24
5、（1）
60?
； （2）略.
6、向量
a
的 横坐标不为0，其余均为0；向量
b
的纵坐标不为0，其余均为0；向量
c
的 竖坐
标不为0，其余均为0.
7、（1）9； （2）
(14,?3,3)
.
8、解：因为
a?b
，所以
a?b?0
，即
?8?2?3x?0
，解得
x?
9、解：
A B?(?5,?1,10)
，
BA?(5,1,?10)

设
AB
的中点为
M
，
OM?
10
.
3
119
(OA?OB)?(,,?2)
，
222
19< br>所以，点
M
的坐标为
(,,?2)
，
AB?(?5)
2
?(?1)
2
?10
2
?126

22
10、解：以
DA,DC,DD
1
分别作为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标系
O?xyz
.
第28页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
11
则
C,M,D
1
,N
的坐标分别为：
C(0,1,0)
，
M(1,0,)
，
D
1
(0,0,1)
，
N(1, 1,)
.
22
11
,1,
，
)D
1
N? (1,1,?)

CM?(1?
22
1313
所以
CM?1
2
?(?1)
2
?()
2
?
，
D
1
N?1
2
?1
2
?(?)
2
?

2222
1?1?
cos?CM,D
1
N??
1
4
??
1

9
9
4
由于异面直线
CM< br>和
D
1
N
所成的角的范围是
[0,]

2< br>1
因此，
CM
和
D
1
N
所成的角的余弦值为 .
9
31
11、
(,?,3)

22
习题3.1 B组（P99）

?
1、证明：由已知可知，
OA?BC
，
OB?AC

∴
OA?BC?0
，
OB?AC?0
，所以
OA?(OC ?OB)?0
，
OB?(OC?OA)?0
.
∴
OA?OC?OA?OB
，
OB?OC?OB?OA
.
∴
OA?OC?OB?OC?0
，
(OA?OB)?OC?0
，
BA?OC? 0
.
∴
OC?AB
.
2、证明：∵ 点
E,F,G,H
分别是
OA,OB,BC,CA
的中点.
11
AB
，
HG?AB
，所以
EF?HG

22
∴四边形
EFGH
是平行四边形.
1111

EF?EH?AB?OC?(OB?OA)?OC?(OB?OC?OA?OC)

2244
∵
OA?OB
，
CA?CB
（已知），
OC?OC
.
∴
?BOC
≌
?AOC
（
SSS
）
∴
?BOC??AOC

∴
EF?
∴
OB?OC?OA?OC

∴
EF?EH?0

∴
EF?EH

∴ 平行四边形
□
EFGH
是矩形. 3、已知：如图，直线
OA?
平面
?
，直线
BD?
平面
?
，
O,B
为垂足.
第29页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
求证：
OA
∥
BD

证明：以点
O
为原点，以射线
OA
方向为
z
轴正方向， < br>建立空间直角坐标系
O?xyz
，
i,j,k
分别为沿
x轴、
y
轴、
z
轴的坐标向量，且设
BD?(x,y,z)
.
∵
BD?
?
.
∴
BD?i
，
BD?j
.
∴
BD?i?(x,y,z)? (1,0,0)?x?0
，
BD?j?(x,y,z)?(0,1,0)?y?0
.
∴
BD?(0,0,z)
.
∴
BD?zk
.
∴
BD
∥
k
，又知
O,B
为两个不同的点.
∴
BD
∥
OA
.
3.2 立体几何中的向量方法
练习（P104）
1、（1）
b?3a
，
l
1
∥
l
2
； （2）
a?b?0
，
l
1
⊥
l
2
； （3）
b??3a
，
l
1
∥
l
2
.
2、（1）
u?v?0
，
?
?
?
； （2）
v??2u
，
?
∥
?
；
（3）
u?v
uv
??
29
29
，
?
与
?相交，交角的余弦等于.
2247
2247
练习（P107）
1、证明：设正方形的棱长为1.
D
1
F?DF?DD
1
，
AE?BE?BA
. < br>因为
D
1
F?AD?(DF?DD
1
)?AD?0?0?0< br>，所以
D
1
F?AD
.
因为
D
1
F?AE?(DF?DD
1
)?(BE?BA)?0?
因此
D
1F?
平面
ADE
.
2、解：
CD?CD?(CA?AB?BD)
2


2
11
??0?0
，所以
D
1
F?AE
.
22
?CA?AB?BD?2CA?AB?2CA?BD?2AB?BD
?36?16 ?64?2?6?8?cos(180??60?)?68
222

∴
CD?68

第30页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
练习（P111）
1
1、证明：
MN?AB?(MB?BC?CN)?AB?(MB?BC?CD)?AB

2
11
AD?AC)?AB
22

1
2
1 1
?a?a
2
cos120??a
2
cos60??a
2< br>cos60??0
222
?(MB?BC?
∴
MN?AB
. 同理可证
MN?CD
.
2、解：
l
2
?EF?(EA?
?A
?
A?AF)
2
?m
2
?d
2
?n
2
?2mncos
?
（或
2mncos(
?< br>?
?
)
）
2
d
2
?l
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
，所以
AA
?
?d?l
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
3、证明：以点
D
为原点，
DA,DC,DD
?< br>的方向分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴正方向，建立坐标系 ，
11
得下列坐标：
D(0,0,0)
，
C(0,1,0)
，
B(1,1,0)
，
C
?
(0,1,1)
，
O( ,1,)
.
22
11
∵
DO?BC
?
?(?,?1,?)?(?1,0,1)?0
∴
DO?BC
?

22
习题3.2 A组（P111）
1、解：设正方形的棱长为1
（1）
MN?CD
?
?(MB< br>?
?B
?
N)?(CC
?
?C
?
D
?
)?
1
2
，
MN?CD
?
??2?1

2
2
1
1

co
?
s?
2
?
，
?
?60?
.
12
（2）
MN?AD?(MB
?
?B
?
N) ?AD?
1
22
，
MN?AD?

?1?
2
22
1
2

co
?
，
?
?45?
.
s?
2
?
2
2
2
2、证明：设正方体的棱长为1
因为
DB
1
?AC?(DB?BB
1
)?AC?0?0?0
，所以
DB
1
?AC
.
因为
DB
1?AD
1
?(DA
1
?AD
1
.
1
?AB
11
)?AD
1
?0?0?0
，所以
DB
因 此，
DB
1
?
平面
ACD
1
.
3、证明 ：∵
OA?BC?(OC?OB)?OA?OCOAcos
?
?OBOAcos
?
?0
，∴
OA?BC
.
4、证明：（1）因为
AC
?LE
.
1
1
?LE ?(A
1
A?AC)?LE?0?0?0
，所以
AC
第31页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
因为
AC
?EF
.
1
1
?EF?(AB
1
?BC)?EF?0?0?0
，所以
AC
因此，
AC?
平 面
EFGHLK
.
1
（2）设正方体的棱长为1
AC?DB
1
?(3)
2
?3
因为
AC
1
?DB
1
?(A
1
A?AC)?(DB?DB
1
)??1
，
1
1
所以
cos
?
??
.
3
因此
DB
1
与平面
EFGHLK
的所成角
?
的余弦
cos
?
?
5、解：（1）
DE
2?DE?DE?DE?(DA?AB?
2
22
.
3
11111
AC?AB)
2
?(OA?AC?AB)
2

22222
11
?(1?1?1?1?1?1)?

42
所以，
DE?
2

2
（2）
AE?A O?
11111
3
(AC?AB)?AO?(?)?
，
AE?AO?

22222
2
1
6
3
，
sin
?
?

cos
?
?
2
??
3
3< br>3
2
点
O
到平面
ABC
的距离
OH?OAs in
?
?1?
66
.
?
33
6、解：（1）设< br>AB?1
，作
AO?BC
于点
O
，连接
DO
.
以点
O
为原点，
OD,OC,OA
的方向分别为
x轴、
y
轴、
z
轴正方向，
建立坐标系，得下列坐标：
O(0,0,0)
，
D(
13
33
,0,0)
，
B(0,,0)
，
C(0,,0)
，
A(0,0,)
.
2 2
22
∴
DO?DA?(?
3333
182
,0,0)?( ?,0,)?
，
DO?DA?
，
cos
?
?
.
2224
42
∴
AD
与平面
BCD
所成角等于
45?
.
（2）
BC?DA?(0,1,0)?(?
33
,0,?)?0
. 所以，
AD
与
BC
所成角等于
90?
.
22
（3）设平面
ABD
的法向量为
(x,y,1)
，
第32页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
13
则
(x,y,1)?AB?(x,y,1)?(0,,?)?0
，
22
(x,y,1)?AD?(x,y,1)?(
解得
x?1
，
y?3

显然
(0,0,1)
为平面
BCD
的法向量.

(0,0,?1)(1,?3
，
,1
cos
)
?
1
?
33
,0,?)?0
.
22
15
.
?
1?3?1
5
5
.
5
因此，二面角
A ?BD?C
的余弦
cos
?
?cos(
?
?
?)??
7、解：设点
B
的坐标为
(x,y,z)
，则
A B?(x?1,y?2,z)
.
因为
AB
∥
?
，所以x?1y?2z
??
.
?3412
因为
AB?2
?< br>?26
，所以
(x?1)
2
?(y?2)
2
?z2
?26
.
解得
x??5
，
y?6
，
z?24
，或
x?7
，
y??10
，
z??24
.
8、解：以点
O
为原点建立坐标系，得下列坐标：
A(a,?a,0)< br>，
B(a,a,0)
，
C(?a,a,0)
，
aah
D(?a,?a,0)
，
V(0,0,h)
，
E(?,,)
. < br>222
(?
（1）
cos?BE,DE??
3aaha3ah
,?,)?(,,)
22
222222
?
h?6a
.
h< br>2
?10a
2
BEDE
3aahh
2
2
?0
，
h
2
?2a
2
（2）
VC?BE?(?a,a ,?h)?(?,?,)?a?
2222
h
2
?6a
2
?4 a
2
1
cos?BE,DE??
2
???

h?1 0a
2
12a
2
3
111
9、解：以点
A
为原点建立坐标系，得下列坐标：
A(0,0,0)
，
B(0,1,0)
，< br>O(?,,)
，
222
1
A
1
(0,0,1)，
D
1
(?1,0,1)
，
M(0,0,)
.
2
因为
OM?AA
1
?0
，
OM?BD
1
?0
，
所以
OM?AA
1
，
OM?BD
1，
OM?
112
.
??
442
第33页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
10、解： 以点
A
为原点建立坐标系，得下列坐标：
A(0,0,0)
，
B(0 ,7,0)
，
C(0,0,24)
，
D(x,y,z)
.
因为
BD?AB?(x,y?7,z)?(0,7,0)?0
，所以
y?7
.
由
BD?x
2
?z
2
?24
，
CD? x
2
?7
2
?(z?24)
2
?25

解得
z?12
，
x?123

cos
?
?
BD?AC
BD?AC
?
1
，
?
?60?

2
因此，线段
BD
与平面
?
所成的角等于
90??
?
?30?
.
11、解：以点
O
为原点建立坐标系，得下 列坐标：
O(0,0,0)
，
A(4,0,0)
，
B(0,3,0)
，
3
O
?
(0,0,4)
，
A
?
(4,0,4)
，
B
?
(0,3,4)
，
D(2,,4)
，
P(0,3,z)
.
2
9
39
PB
8
3
由
OP?BD?(0,3,z)?(2,?,4)?0
，解得
z?
. 所以，
tan
?
???
.
28
OB38
12、解 ：不妨设这条线段
MN
长为2，则点
M
到二面角的棱的距离
MP?1
，点
N
到二面角
的棱的距离
NQ?1
，
QM?PN ?3
，
PQ?2
.

co
?
s?PQ?MN
PQ?MN
?
P?Q(M?P
22
P?Q)QNPQ 2
??
，
?
?45?
.
22
2
2
习题3.2 B组（P113）
1、解：
S
?ABC
?
1
?2?2?2
，
2
AD?BE?(AB?BD)?BE?22cos45??0?2
，
AD ?BE?AD2cos
?
?
18
V
ABCD
??4?2?< br>
33
2、解：（1）以点
B
为原点建立坐标系，得下列坐标：
B(0,0,0)
，
A(1,0,0)
，
C(0,0,1)
，
20
AD
，
AD?20
，
BD?20?4?4
.
10
F(1,1,0)
，
M(
22
22
a,0,1 ?a)
，
N(a,a,0)
.
22
22
22
a, a?1)
2
?a
2
?2a?1
，
MN?a
2
?2a?1
.
22

MN?(0,
2
第34页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
（2）a
2
?2a?1?(a?
2
2
1
2
时，
MN
的长最小.
)?
，当
a?
22
2
（3）当
a?
111
2
时，
MN
的中点为
G(,,)
，
244
2
所求二面角的余弦值
cos
?
?
1
??
.
3
GA?GB
GA?GB
3、证明：设
AE?BF?b
. 以点
O
为原点建立坐标系，得下列坐标：
O(0,0,0)
，
A(0 ,a,0)
，

B(?a,a,0)
，
C(?a,0,0)
，
O
?
(0,0,a)
，
A
?
(0,a,a)< br>，
B
?
(?a,a,a)
，
C
?
(?a,0 ,a)
，
E(?b,a,0)
，
F(?a,a?b,0)
.
（1）
A
?
F?C
?
E?(?a,?b,?a)?(a?b,a, ?a)?0
，
A
?
F?C
?
E
.
111 1
（2）
S
?BEF
?b(a?b)?[a
2
?(a?b)
2
]
，当
a?2b
时，
S
?BEF
最大， 三棱锥体积最大.
2242
此时，
EF
的中点
G
与点B
的连线
BG?
第三章 复习参考题A组（P117）
BB
?
2
tan
?
??22
.
a
，
BG
4
1、
B
.
11111
a?b?c
； （2）
AM?a?b?c
；
22222
1114
（3）
AN?a?b?c
； （4）
AQ?a?b?c
.
2555
2、（1）
AP?
3 、证明：因为
AM?BA
1
?(AB?BC?CM)?(BA?AA
1
)?AB?BA?CM?AA
1
??3?
所以
AM?BA
1

6
?0

2
134、解：（1）以点
C
为原点建立坐标系，得下列坐标：
C(0,0,0)
，
A(a,0,0)
，
B(a,

a,0)
，
22

A
1
(a,0,2a，
)C
1
(0,0,2a)
.
33
a,2a)
， （2）点
C
1
在侧面
AB B
1
A
1
内的射影为点
C
2
(a,
44< br>
cos
?
?
AC
1
?AC
2
AC
1
?AC
2
?
3
，
?
?30 ?
.
2
第35页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
5、解：（1）
cos
?
?
AB?AC
AB?AC
?
1
，
??60?
，
S?AB?ACsin
?
?73
.
2
（2）设
a
的坐标为
(x,y,z)
，则
( x,y,z)?(?2,?1,3)?0
，
(x,y,z)?(1,?3,2)?0

解得
a?(1,1,1)
，或
a?(?1,?1,?1)

6、解：
cos
?
4
?
OA?OC
OA?OC
?< br>m?n2
6
，
m?n?
；
?
2
2
3
?
OB?OCn?p2
6

cos?
，
n?p?
.
??
4
OB?OC
2
2
3

m
2
?n
2
?n
2
?p
2
1?
， 解得
n?
6?2
.
4
n
2
?
2?3
.
4
< br>cos?AOB?
OA?OB
OA?OB
?
m
2
?n
2
n
2
?p
2
7、
D
. 8、
C
.
13
9、解：以点
C
为原点建立坐标系，得下列 坐标：
C(0,0,0)
，
A(1,0,0)
，
B(,,0)
，
22
1313

C
1
(0,0,
，< br>,2)
，
M(,,0)
，
N(0,0,z)
.
2)
B
1
(,
2244
1
z?

AB
，得.
?MN?0
1
8
11
∴点
N
坐标为
(0,0,)
，即点
N
在
CC
1
上 ，
CN?
.
88
10、（1）证明：因为
EF?CF?(ED?D F)?CF?ED?CF?DF?CF?0
，所以
EF?CF
.
（2 ）解：因为
EF?CG?(ED?DF)?(CB?BG)?
1
EF?CG15
，
cos
?
?
，
?
4
15
EF?CG
所以，
EF
与
CG
所成角的余弦值为
15
.
15
（3）解：
CE?1?
15
.
?
42
11、解：以点
C
为原点建立坐标系，得下列坐标：
C(0,0,0)
，
A(1,0,0)
，
B(0,1,0)
，
A
1
(1,0,2)
，
11
B
1
(0,1,2)
，
C
1
(0,0,2)
，
M(,,2)
，
N(1,0,1).
22
（1）
BN?1?2?3
.
第36页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
（2）cos?BA
1
,CB
1
??
BA
1
?CB< br>1
BA
1
?CB
1
?
30
.
10
11
（3）因为
A
1
B?C
1
M?(?1,1,? 2)?(,,0)?0
，所以
A
1
B?C
1
M
.
22
12、解：以点
O
为原点建立坐标系，得下列坐标：
O(0,0 ,0)
，
A(
22
,0,0)
，
B(0,,0)
，
22

C(?
22
222
，
,0,)，
F(?,0,0)
E(
,,0)
.
44
244
1
OE?OF1

co
?< br>s??
8
??
，
?EOF?120?
.
2
OE?OF
1
?
1
22
1111
13、证明：（1）因为< br>FE?(BA?BC)?CA
，
HG?(DA?DC)?CA

2222
?
所以
FE?HG
. 因此
E,F,G,H
四点共面.
（2）因为
BD
在平面
E FGH
之外，
BD
∥
EH
，所以
BD
∥平面
EFGH
.
11111
（3）
OM?(OE?OG)?[(OA?OB) ?(OC?OD)]?(OA?OB?OC?OD)
.
22224
第三章 复习参考题B组（P119）
1、解：（1）
AC
?
?AC
??AC
?
?(AB?BC?CC
?
)
2
?2a
2
?2ab?b
2
.
（2）设
BD
?
与
AC
的夹角为
?
，
B D
?
?AC?abbb4a
2
?2b
2
则
cos< br>?
?
.
?????
22
2222
4a?2b
BD
?
?AC
2a?b?2a4a?2b
由于
BD
?与
AC
所成的角的范围为
[0,]
，
2
?
b 4a
2
?2b
2
因此直线
BD
?
与
AC< br>夹角的余弦值为.
4a
2
?2b
2
2、（1）证明：因为< br>AC
1
?AE?(AB
1
?BC)?AE?BC?AE?BC?(AB ?BE)?0

所以
AC?AE
；
1
因为
AC?DC)?AF?DC?AF?BC?(AD?DF)?0

1
?AF?(AD
1
所以
AC?AF
， 因此，
AC?
平面
AEF
. 11
（2）解：以点
A
1
为原点建立坐标系，得下列坐标：
A< br>1
(0,0,0)
，
B
1
(4,0,0)
，
C
1
(4,3,0)
，
第37页 共38页

高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]

D
1
(0,3,
，
0)
A(0,0,?5)
，
B(4,0, ?5)
，
C(4,3,?5)
，
D(0,3,?5)
.
设平面
D
1
B
1
BD
的法向量为
a?(x,y,0 )
，则
a?B
1
D
1
?0
，得
4x?3y
.
令
x?3,y?4
，则
a?(3,4,0)
， 所以
cos
?
?
3、解：（1）
V?
a?AC
1
a?AC
1
?
122

25
1
.
4
（2）以点
A
为原点建立坐标系，得下列坐标：
A(0,0,0)
，
B(0,1 ,0)
，
C(1,1,0)
，
1
D(,0,0)
，
S(0,0,1)

2
设平面
SDC
的法向量为
a?(x,y,1)
，则
a?SC?0，
a?SD?0
，得
x?2,y??1
.
因此
a?(2,?1,1)
.
cos
?
?
a ?AD
a?AD
?
6
.

3
第38页 共38页