高中数学选修2-2 导数的计算

1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1
[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c(c为常数)，y＝x，y＝x
2
，y＝，y＝x的导数.2.能利
x
用 给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

知识点一 几个常用函数的导数
原函数
f(x)＝c(c为常数)
f(x)＝x
f(x)＝x
2

1
f(x)＝
x
f(x)＝x

思考 (1)函数f(x)＝c，f(x)＝x，f(x)＝x
2
的导数的 几何意义和物理意义分别是什么？
1
(2)函数f(x)＝导数的几何意义是什么？
x
答案 (1)常数函数f(x)＝c：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率
为0；当y＝c表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，
即一直处于静止状态.
一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线 斜率为1，当y＝x表示路程
与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动； 一般地，一次函
导函数
f′(x)＝0
f′(x)＝1
f′(x)＝2x
1
f′(x)＝－
2

x
1
f′(x)＝
2x
1

数y＝kx ：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k，|k|越大，函数变化得
越快.
二次函数f(x)＝x
2
：导数y′＝2x，几何意义为函数y＝x
2
的图 象上点(x，y)处的切线斜率为
2x，当y＝x
2
表示路程关于时间的函数时，y′ ＝2x表示在时刻x的瞬时速度为2x.
111
(2)反比例函数f(x)＝：导数y′＝－
2
，几何意义为函数y＝的图象上某点处切线的斜率为
xxx
1
－< br>2
.
x
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)＝c(c为常数)
f(x)＝x
α
(α∈Q
*
)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝a
x

f(x)＝e
x

f(x)＝log
a
x
f(x)＝ln x

思考 由函数y＝x，y＝x
2
的导数，你 能得到y＝x
α
(α∈Q
*
)的导数吗？如何记忆该公式？
答案 因y＝x，得y′＝1；y＝x
2
，得y′＝2x，故y＝x
α
的导数y′＝ αx
α1
，结合该规律，
－
导函数
f′(x)＝0
f′(x)＝αx
α1

－
f′(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f′(x)＝a
x
ln a(a>0，且a≠1)
f′(x)＝e
x

1
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
xln a
1
f′(x)＝
x
可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”.

题型一 运用求导公式求常见的基本初等函数的导数
例1 求下列函数的导数：
1
π
(1)y＝
5
；(2)
y?log
1
x
；(3)y＝co s ；(4)y＝2
2x
.
x4
2
1
?
5
－
5
－
6
5
′＝(x)′＝－5x＝－
6
； 解 (1)y′＝
?
?
x
?
x
11
(2)y′＝＝－；
1xln2
xln
2
π
cos
?
′＝0； (3 )y′＝
?
4
??
(4)y′＝(2
2x
)′＝(4
x
)′＝4
x
·ln 4.
2

反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导 数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题
中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
1
?
x< br>(1)y＝x
8
；(2)y＝
?
?
2
?
；( 3)y＝xx；(4)y＝
log
1
x
.
3
解 (1)y′＝8x
7
；
1
?
x
1
?
1
?
x
ln 2； (2)y′＝
?
ln ＝－
?
2
?
2
?
2
?
3
(3)∵y＝xx＝
x
，∴y′＝
x
2
；
2
11
(4) y′＝＝－.
1xln 3
xln
3
题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
π
1
?
例2 求过曲线y＝sin x上点P
?
?
6
，
2
?
且与 过这点的切线垂直的直线方程.
解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
π
1
?
曲线在点P
?
?
6
，
2
?
处 的切线斜率是：
y′|
?
6
3
2
1
x?
π
3
＝cos＝.
62
2
，
3
∴过点P且与切 线垂直的直线的斜率为－
π
12
x－
?
， 故所求的直线方程为y－ ＝－
?
2
3
?
6
?
即2x＋3y－
3π
－＝0.
23
反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条 直线互相垂直时，其斜率之
积为－1(在其斜率都存在的情形下).
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x
3
－4x
2
＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
解 (1)∵f′(x)＝3x
2
－8x＋5，∴f′(2)＝1.
又∵f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
3

2
(2)设切点坐标为(x
0
，x
3
0
－4x
0
＋5x
0
－4).
∵f′(x
0
)＝3x
2
0
－8x
0
＋5，
∴切线方程为 y－(－2)＝(3x
2
0
－8x
0
＋5)(x－2).
3
又∵切线过点(x
0
，x
0
－4x
2
0
＋5x
0
－4)，
32
∴x
0
－4x
2
0
＋5x
0
－2＝(3x
0
－8x
0
＋5)(x< br>0
－2).
整理得(x
0
－2)
2
(x
0
－1)＝0，解得x
0
＝2或x
0
＝1.
当x
0
＝2时，f′(x
0
)＝1，
此时所求切线方程为x－y－4＝0；
当x
0
＝1时，f′(x
0
)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为
x－y－4＝0或y＋2＝0.


在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错

例3 求函数y＝
3
x
2
的导数.
错解 ∵y＝x，∴y＝
x
，
3
故y′＝
x
2
.
2
错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果.
2
?
正解 ∵y＝x＝
x
，∴y′＝
x
3
.
3
3
2
2
3
1
1
3
2
3
2
防范措施 准 确把握根式与指数幂的互化：
n
x
m
＝
x
，
nm
n
1
x
m
＝
x
m
?
n.

1.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( )
A.0
C.2
答案 D
1
解析 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.
x＋1
由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.
又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
4
B.1
D.3

2.函数f(x)＝x，则f′(3)等于( )
A.
313
B.0 C. D.
62
2x
答案 A
113
解析 ∵f′(x)＝(x)′＝，∴f′(3)＝＝.
2x23
6
3.给出下列结论：
π
π
1
cos
?
′＝－sin ＝－； ①
?
6
??
62
1－
②若y＝
2
，则y′＝－2x
3
；
x
③若f(x)＝3x，则[ f′(1)]′＝3；
1
④若y＝
5
x，则y′＝
5
x.
5
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
π
1
π
3
cos
?
′＝0， 所以①错误；y′＝
?
2
?
′＝(x
－
2
)′＝－ 2x
－
3
，解析 cos ＝为常数，则
?
6
???
x
?
62
所以②正确；因为f(x)＝3x，所以f′(x)＝3，所以[ f′( 1)]′＝0，所以③错误；y′＝(
5
x)′
1
?
＝
(x )?
＝
x
5
，所以④错误.
5
4.曲线y＝e
x
在点(2，e
2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .
1
答案 e
2

2
解析 ∵y′＝(e
x
)′＝e
x
，∴k＝e
2
，
∴曲 线在点(2，e
2
)处的切线方程为y－e
2
＝e
2
(x－ 2)，
即y＝e
2
x－e
2
.当x＝0时，y＝－e
2< br>，当y＝0时，x＝1.
11
2
∴S
△
＝×1×
|
－e
|
＝e
2
.
22
5.求下列函数的导数：
1
(1)y＝
3
；(2)y＝
3
x.
x
1
?
－
3
－
3
－
1
－
4
3
′＝(x)′＝－3x解 (1)y′＝
?
＝－3x.
?
x?
1
?1
1
?
(2)y′＝(x)′＝
(x)?
＝
x
3
＝
x
3
.
33
3
1
5
4
1
3
1
2
5

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是 牢记和运用好导数公
式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.
xx
如求y＝1－2sin
2
的导数.因为y＝1－2sin
2
＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
22
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.

一、选择题
1.设直线y＝
1
2
x＋b－1是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(
A.1－ln 2 B.
1
2
ln 2 2 D.2
答案 C
解析 设切点为(x
0
，y
0
)，根据导数几何意义，得
1
2
＝y′|
1
x?x
0
＝
x
，
0
解得x
0
＝2，代入曲线方程得y
0
＝ln 2.
故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得
ln 2＝
1
2
×2＋b－1，
解得b＝ln 2，故选C.
2.过曲线y＝
1
x
上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
A.
?
1
?
2
，2
?
?
B .
?
1
?
2
，2
?
?
或
?
?
－
1
2
，－2
?
?

C.
?
?
－
1
2
，－2
?
?
D.
?
1
?
2
，－2
?
?

答案 B
解析 y′＝
?
1
?
x
?
?
′＝－< br>1
x
2
＝－4，x＝±
1
2
，故选B.
3.已知f(x)＝x
a
，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A.4 B.－4 C.5 D.－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝ax
a
－
1
，f′(－1)＝a(－1)
a
－
1
＝－4，
∴a＝4.
4.函数f(x)＝x
3
的斜率等于1的切线有( )
6
)

A.1条
C.3条
答案 B
B.2条
D.不确定
解析 ∵f′(x)＝3x
2< br>，设切点为(x
0
，y
0
)，则3x
2
0
＝ 1，得x
0
＝±
3
33
，即在点
?
，
?< br>和点
3
9
??
3
?
－
3
，－
3
?
处有斜率为1的切线.所以有2条切线.
9
??
3
5.已知直线y＝kx是曲线y＝e
x
的切线，则实数k的值为( )
1
A.
e
C.－e
答案 D
y
0
＝kx
0
，
?
?
解析 y′＝ex
，设切点为(x
0
，y
0
)，则
?
y
0
＝ex
0
，
?
?
k＝ex
0
.
∴ex
0
＝ex
0
·x
0
，∴x
0
＝1 ，∴k＝e.
6.已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为( )
11
A.1 B. C.－1或 D.－1
22
答案 B
1
解析 由g(x)＝ln x，得x＞0，且g′(x)＝.
x
1
故2x＋1＝，
x
即2x
2
＋x－1＝0，
1
解得x＝或x＝－1.
2
又因x＞0，
1
故x＝(x＝－1舍去)，选B.
2
1
7.某质点的运动方程为s＝
4
(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t ＝3秒时的速度
t
为( )
A.－4×3
C.－5×3
－
4
1
B.－
e
D.e


米秒
米秒
B.－3×3米秒
D.－4×3米秒
－5
－4
－
5
答案 D
1
?
1
－
4
－
5
4
′＝(t)′＝－4t. 解析 由s＝
4
得s′＝
?
t
??
t
7

得s′|
t
＝
3
＝－4×3
5
，故选D.
－
二、填空题
9
8.曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是 .
x
答案 x＋y－6＝0
9
解析 ∵y′＝－
2
，∴y′|
x
＝
3
＝－1，
x
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为
y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
9.若曲线y＝
x
＝ .
答案 64
解析 ∵y＝
x
?
1
2
?
1
2
在点(a，
a
?
1
2
)处的切线与两个坐标 轴围成的三角形的面积为18，则a
1
?
，∴y′＝－
x
2
，
2
?
1
2
3
∴曲线在点(a，
a
1< br>?
)处的切线斜率k＝－
a
2
，
2
?
1< br>2
3
∴切线方程为y－
a
1
1
?
2
＝－
a
(x－a).
2
3
3
?
令x＝0得y＝
a
2
；令y＝0得x＝3a.
2
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
13
?
2
9
2
S＝·3a·
a
＝
a
＝18，∴a＝64.
2 24
10.点P是曲线y＝e
x
上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为 .
答案
2

2
11
解析 根据题意设平行于直线y＝x 的直线与曲线y＝e
x
相切于点(x
0
，y
0
)，该切点即 为与y
＝x距离最近的点，如图.则在点(x
0
，y
0
)处的切线斜 率为1，即y′|
x?x
0
＝1.

∵y′＝(e
x< br>)′＝e
x
，∴ex
0
＝1，得x
0
＝0，代入y＝ e
x
，得y
0
＝1，即P(0,1).利用点到直线的距
离公式得最 小距离为
三、解答题
8
2
.
2

11.求下列函数的导数：
1
(1) y＝
5
x
3
；(2)y＝
4
；
x
x
x
1－2cos
2
?
； (3)y＝－2sin
?
4
?
2
?
(4)y＝log2
x
2
－log
2
x.
3
?1
3< br>?
3
5
3
?
′＝
(x)?
＝
x5
＝
x
5
＝解 (1)y′＝
?
.
?x
?
55
5
5
x
2
1
?
4< br>－
4
－
4
－
1
－
5
4
′＝ (x)′＝－4x(2)y′＝
?
＝－4x＝－.
?
x
?
x
5
x
x
1－2cos
2
?
(3)∵y＝－2s in
?
4
?
2
?
x
xxx
2cos
2
－1
?
＝2sin cos ＝sin x， ＝2sin
?
4
?
2
?
22
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log
2
x
2
－log
2
x＝log
2
x，
1
∴y′＝(log
2
x)′＝.
xln 2
12.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
π
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
2
13.设f
0
(x)＝sin x， f
1
(x)＝f′
0
(x)，f
2
(x)＝f′
1
(x)，…，f
n
＋
1
(x)＝f′
n
(x)，n ∈N，试求f
2 017
(x).
解 f
1
(x)＝(sin x)′＝cos x，
f
2
(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f
3
(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f
4
(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f
5
(x)＝(sin x)′＝f
1
(x)，
f
6
(x)＝f
2
(x)，…，
f
n
＋
4
(x)＝f
n
(x)，可知周期为4，
∴f
2 017
(x)＝f
1
(x)＝cos x.
3
5
32
9