高中数学选修2-2知识点总结(精华版)复习过程

高中数学选修2-2知
识点总结(精华版)

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数学选修2-2知识点总结
一、导数
1．函数 的平均变化率为
?y
?x
?
?f
?x
?
f(x2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
x
?

2
?x
1
?x
注1：其中?x
是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函 数
y?f(x)
在
x?x
?y
??x)?f(x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
00
)
?x?0
?x
?
?
lim
x?0
?x
，则
称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或< br>y
'
|
?y
x?x
0
)
0
，即f
'
(
x
(x
0
)
=
?
li m
f
0
??x)?f(x
x?0
?x
?
?
lim
x?0
?x
.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数
函数 导函数
y?c

y'?
0
y?x
n
?
n?N
*
?

y'?nx
n?1

y?a
x
?
a?0,a?1
?

y'?a
x
lna

y?e
x

y'?e
x

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y'?
1
xlna

y?lnx

y'?
1
x

y?sinx

y'?cosx

y?cosx

y'??sinx





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6、常见的导数和定积分运算公式:若
f
?
x
?
，
g
?
x
?
均可导（ 可积），则有：
和差的导数运算
积的导数运算
?
f(x)?g(x)< br>?
?f
'
(x)?g
'
(x)

'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)

特别地：
?
?
Cf
?
x?
?
?
'?Cf'
?
x
?

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)< br>(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'
商的导数运算
复合函数的导数
微积分基本定理
?
1
?
?g'(x)
特别地：
?

?'?
2
gxgx
????
??
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?

?
f
?
x
?
dx?

a
b
（其中
F'
?
x
?
?f
?< br>x
?
）
和差的积分运算
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx

kf(x)dx?k< br>?
f(x)dx(k为常数)
特别地：
?

a
12< br>a
1
a
2
bb
aa
bbb
积分的区间可加性

?
b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb

用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
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(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小 开区间，并列成表
格，检查
f

(x)
在方程根左右的值的符号，如果 左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大
值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值； 如果左右不改变符号，那么f(x)在这
个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个是最大值 ，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
?
1
dx
?
b
?
a

a
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?< br>，则
?
f
(
x
)
dx
?0

a
b
①推广：
?
[f
1
(x)?f
2
( x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
( x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)

aaaa
bbbb
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L?
?
f(x)dx

aac
1
c
k
b c
1
c
2
b

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取
负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形
面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的
值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
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（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分
的值为0，且等于x轴上方 图形的面积减去下方的图形的面
积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移 的导数为速度，速度
的导数为加速度。（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．．．．．
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
．．．．

14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳 推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检
验，因此，它不能作为数学 证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起< br>点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：
根据两个（ 或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或
相同，这样的推理称为类比 推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
．．．．

17.类比推理的思维过程
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概括、推广 猜测一般性结论

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观察、比较

18.演绎推理的定义：
联想、类推 推测新的结论

演绎推理是根据已 有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法
则得到新结论的推理过程。演绎推 理是由一般到特殊的推理。
．．．．

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；
③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件 或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的
真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推 出
要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换 前面的条件或者一定成立的
式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合
使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论 出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误
的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤
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（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确
．．．
，即所求证命题正确。



26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 反义词 原结论词 反义词
至少有一个 一个也没有 对所有的x都成立 存在x使不成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在x使成立
至少有n个 至多有n-1个 p或q
?p
且
?q

至多有n个 至少有n+1个 p且q
?p
或
?q


27.反证法的思维方法:正难则反
．．．．


28.归缪矛盾
（1）与已知条件
．．．．
矛盾:
（2）与已有公理、定理、定义
．．．．．．．．．．
矛盾；
（3）自相
．．
矛盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数
．．．
有关的数学命题）的步骤
(1 )证明：当n取第一个值
．．．．
nN
?
0
?
n
0
?
?
时命题成立；
(2)假设当n=k (k∈N
*
，且 k≥n
0
)时命题成立，证明当n=k+1
．．．．．
时命题也成立.
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi
． ．．．
的数叫做复数，其中i叫虚数单位，
a
叫实部，
b
叫虚部， 数
集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫做复数集。
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规定：
a?bi?c?di?
a=c且，
．．．．
b=d
．．．
强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

?
实数 (b?0)
?
31．数集的关系：
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯虚数(a?0)
?

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面 ：根据复数相等的定义，任何一个复数
z?a?bi
，都可以由一个有序实数对
(a, b)
唯一确定。
由于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系中的点一一对 应，因此复数集与平面直角坐标
系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平
面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都表示 实数，除了原点外，虚轴上的点都
表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的 模(也叫绝对值)
记作
z或a?bi
。由模的定义可知：
z?a?bi?a< br>2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的 加、减法法则：
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
，则z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
．．
②复数的乘法法则：
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法法则：
a?bi(a?bi)(c ?di)ac?bdbc?ad
???i
其中
c?di
叫做实数化因子 c?di(c?di)(c?di)c
2
?d
2
c
2
? d
2
36.共轭复数:两复数
a?bi与a?bi
互为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;

2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z ?R

(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
?? 1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
( 7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
?
??i

?
1?i1?i
?
2
?
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(9)
设
?
?
?1?3i
是1的立方虚根，则
1?
?
?
?
2
?0
，
?
3n?1
?< br>?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1

2

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