高中数学选修2-2模块综合测试题

高中数学选修2-2模块综合测试题

一、选择题
1、函数
y?x
在区间
[1,2]
上的平均变化率为（ ）
（A）
2
（B）
3
（B）
4
（D）
5

答案：（B） < br>2曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为（ ）
（A）
3
2
8754
（B） （C） （D）
3333
答案：（A）；
3、已知直线< br>y?kx
是
y?lnx
的切线，则
k
的值为（ ）
（A）
112
2
（B）
?
（C） （D）
?

eee
e
答案：（A）
4、设
1,a?bi,b?ai
是一等比数列的连续三项，则
a,b
的值分别为（ ）
（A）
a??
3113
,b??
（B）
a??,b?
2222
3113
,b?
（D）
a??,b??

2222

（C）
a???
3
a??
?
a
2
?b
2
?b
?
?
2
2

答案：（C）；由
(b?ai)?a?bi?
?
?
?
?
2ab?a
?
b?
1
?
2
?
5、方程
x?(4?i)x?4?ai?0(a?R)
有实根< br>b
，且
z?a?bi
，则
z?
（ ）
（A）
2?2i
（B）
2?2i
（C）
?2?2i
（D）
?2?2i

2
?
b
2
?4b?4?0
?
b??2
?
?
答案：（A ）；由
?
，则
z?2?2i

?
a?2
?
b?a?0
6、已知三角形的三边分别为
a,b,c
，内切圆的半径为
r，则三角形的面积为
s?
1
(a

2
?b?c)r；四面体的四个面的面积分别为
s
1
,s
2
,s
3,s
4
，内切球的半径为
R
。类比三角形的
面积可得四面体的体 积为（ ）
（A）
V
?
11
(s
1
?
s
2
?
s
3
?
s
4
)R
（B）
V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4< br>)R

23

（C）
V
?
1
( s
1
?
s
2
?
s
3
?
s
4
)R
（D）
V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4
)R

4
答案：（B）
7 、数列
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?
的第
50
项是（ ）
（A）
8
（B）
9
（C）
10
（D）
11

答案：（C）
8、在证明
f(x)?2x?1
为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义 是大前
提；②增函数的定义是小前提；③函数
f(x)?2x?1
满足增函数的定义是 小前提；④函数
f(x)?2x?1
满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）
（A）①② （B）②④ （C）①③ （D）②③
答案：（C）
9、若
a,b?R
，则复数
(a?4a ?5)?(?b?2b?6)i
表示的点在（ ）
（A）在第一象限 （B）在第二象限
（C）在第三象限 （D）在第四象限
答案：（D）；由
a?
4
a?
5
?(
a?
2)
?
1
?
0
，
?b?2b? 6??(b?1)?5?0
，知
在第四象限；
10、用数学归纳法证明不等式“2222
22
11113
?????(n?2)
”时的过程中，
n?1n?22n24
由
n?k
到
n?k?1
时，不等式的左边（ ）
（A）增加了一项
1
11
?
（B）增加了两项
2k?12(k?1)
2(k?1)
11
1
?
，又减少了；
2k?12(k?1)
k?1
（C）增加了两项
（D）增加了一项
答 案：（C）；
1
1
，又减少了一项；
2(k?1)
k?1
32
11、如图是函数
f(x)?x?bx?cx?d
的大致
图象，则
x
1
?x
2
等于（ ）
（A）
22
24
（B）
33

（C）
812
（D）
33
答案：（C）；提示，由图象过
(0,0),(1,0),(2,0)
知
f(x)?x(x?1)(x?2)
经比较可得
?
x
1
?x
2
?2
?

b??3,c?2,d?0
，即
f(x )?x
3
?3x
2
?2x
，由
f

(x)? 3x
2
?6x?2
得
?
2
；
x
1
x
2
?
?
3
?
12、对于函数
f(x)?x?3x
，给出下列四个命题：①
f(x)
是增函数，无极值；②
f(x)
是 减函数，有极值；③
f(x)
在区间
(??,0]
及
[2,??)< br>上是增函数；④
f(x)
有极大值为
0
，
极小值
?4
；其中正确命题的个数为（ ）
（A）
1
（B）
2
（C）
3
（D）
4

32
答案：（B）；其中命题③与命题④是正确的。
二、填空题
13、函数
f(x)?x?3x?1
在闭区间
[?3, 0]
上的最大值与最小值分别为：
答案：
3,?17
；
14、若
z
1
?1?3i
，
z
2
?6?8 i
，且
3
111
??
，则
z
的值为 ；
zz
1
z
2
答案：
z
?
113
422
?i

?
i
；提示，由
z
1
?1 ?3i
，得
?
z
1
1010
55
1341112? 11i
??i
，那么
????

z
2
5050zz
2
z
1
50
又由
z
2
?
6
?
8i
，得
15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：






按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数
a
n
与所搭三角形的个数
n
之间的关系式可以
是 .
答案：
a
n
?2n?1

16、物体A的运动速度
v
与时间
t
之间的关系为
v?2t?1
（
v
的单位是
ms
，
t
的单
位是
s
），物体B的运动 速度
v
与时间
t
之间的关系为
v?1?8t
，两个物体在相 距为
405
m
的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时，A物体的运动路程为：
tt
答案：
72m
；提示，设运动
ts
时两物体相遇，那么
(2
t?
1)
dt?
(1
?
8
t
)
dt?
405

00
??

9
得< br>t?9
，由于
(2
t?
1)
dt?
72
，得 相遇时A物体运动
72m
；
0
?
三、解答题
17、已 知复数
z
1
,z
2
满足
10z
1
?5z< br>2
?2z
1
z
2
，且
z
1
?2z< br>2
为纯虚数，求证：
3z
1
?z
2
为
实数
证明：由
10z
1
?5z
2
?2z
1
z< br>2
，得
10z
1
?2z
1
z
2
?5 z
2
?0
，
即
(3
z
1
?z
2
)
?
(
z
1
?
2
z
2
)
?
0
，那么
(3z
1
?z
2
)??(z< br>1
?2z
2
)?[(z
1
?2z
2
)i]< br>
由于，
z
1
?2z
2
为纯虚数，可设
z< br>1
?2z
2
?bi(b?R且b?0)

所以
(3z
1
?z
2
)?b
，从而
3z
1
?z
2
??b

故
3z
1
?z
2
为实数 < br>18、求由
y?sinx
与直线
y?
22
22222
2222
22
22x
所围成图形的面积
3
?
3
?
?
x??
?
y?sinx
?
4
??
解：由
?
或
?
?
22x
?
y?
?
y? ?
2
?
?
?
2
?
3
?
?
x?
?
x?0
?
3
?
4
?
或
?< br>，本题的图形由两部分构成，首先计出
[?
,0]
上的面积，再计算出
?
4
y?0
2
?
?
y?
?
2
?< br>[0,
3
?
]
上的面积，然后两者相加即可；于是
4
0

S?
?
?
?
3
4< br>(
22x22x2x
?sinx)dx?
?
(sinx?)dx?(? cosx)?(?cosx?

3
?
3
?
3
?3
?
0
?
4
3
?
4
2
02x16?(8?32
?
)
)?

3
?
08
19、用总长
14.8m
的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面 的一边长比另
以一边长多
0.5m
那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容 积.
解：设该容器低面矩形边长为
xm
,则另一边长为
(x?0.5)m
，此容器的高为
2
3
?
4

h?
14 .8
?x?(x?0.5)?3.2?2x
，
4
于是，此容器的容积为：
V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)?
?
2x
?
2.2x
?
1.6x
，其中
32
0?x?1.6

由
V
?
（x）??
6
x?
4.4
x?
1.6
?
0
，得
x
1
?1
，
x
2
??

2
4
（舍去）
15

因为，
V
(
x
)
在
(0,1.6)
内只有一个极值点，且
x?(0, 1)
时，
V(x)?0
，函数
V(x)
递
增；
x? (1,1.6)
时，
V
(
x
)
?
0
，函数
V(x)
递减；
所以，当
x?1
时，函数
V(x)
有最大值
V(1)?1?(1?0.5)?(3.2?2?1)?1.8m

即当高为
1.2m
时, 长方体容器的容积最大，最大容积为
1.8米
.
20、已知
a?0
，函数
f(x)?(x?2ax)e
．
（Ⅰ）当
x
为何值时，
f(x)
取得最小值证明你的结论；
（Ⅱ）设
f(x)
在
[?1,1]
上是单调函数，求
a
的 取值范围
解析：（1）略
（2）由
f(x)
?
(2x
?
2a)e
?
(x?2ax)e?e[x?2(1?a)x?2a]


令
f
(
x
)
?
0
，即
x?2(1 ?a)x?2a?0
，得
x
1
?a?1?1?a
2
，
x
2
?a?1?

2
x2xx2
2x
3

3
1?a
2
，其中
x
1
?x
2

当
x
变化时，
f
(
x
)
、
f(x )
的变化情况如下表：

x

(??,x
1
)

?


x
1

0

极大值

(x
1
,x
2
)

?


x
2

0

极小值

(x
2
,??)

?


f

(x)

f(x)

当
a?0
时，
x
1
??
1,
x
2
?
0,
f
(
x
)
在
(x
1
,x
2
)
上单调递减；
由此可得：
f(x)
在
[?1,1]
上是单调函数 的充要条件为
x
2
?
1
，即
a?1?1?a
2?1
，
解得
a?
3
；
4
3
4
即所求
a
的取值范围为
[
,
??
)
；