全国高中数学微课-高中数学必修4经典试卷及答案
高中数学选修2-2模块综合测试题
一、选择题
1、函数
y?x
在区间
[1,2]
上的平均变化率为(
)
(A)
2
(B)
3
(B)
4
(D)
5
答案:(B) <
br>2曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为( )
(A)
3
2
8754
(B)
(C) (D)
3333
答案:(A);
3、已知直线<
br>y?kx
是
y?lnx
的切线,则
k
的值为( )
(A)
112
2
(B)
?
(C) (D)
?
eee
e
答案:(A)
4、设
1,a?bi,b?ai
是一等比数列的连续三项,则
a,b
的值分别为( )
(A)
a??
3113
,b??
(B)
a??,b?
2222
3113
,b?
(D)
a??,b??
2222
(C)
a???
3
a??
?
a
2
?b
2
?b
?
?
2
2
答案:(C);由
(b?ai)?a?bi?
?
?
?
?
2ab?a
?
b?
1
?
2
?
5、方程
x?(4?i)x?4?ai?0(a?R)
有实根<
br>b
,且
z?a?bi
,则
z?
( )
(A)
2?2i
(B)
2?2i
(C)
?2?2i
(D)
?2?2i
2
?
b
2
?4b?4?0
?
b??2
?
?
答案:(A
);由
?
,则
z?2?2i
?
a?2
?
b?a?0
6、已知三角形的三边分别为
a,b,c
,内切圆的半径为
r,则三角形的面积为
s?
1
(a
2
?b?c)r;四面体的四个面的面积分别为
s
1
,s
2
,s
3,s
4
,内切球的半径为
R
。类比三角形的
面积可得四面体的体
积为( )
(A)
V
?
11
(s
1
?
s
2
?
s
3
?
s
4
)R
(B)
V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4<
br>)R
23
(C)
V
?
1
(
s
1
?
s
2
?
s
3
?
s
4
)R
(D)
V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4
)R
4
答案:(B)
7
、数列
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?
的第
50
项是(
)
(A)
8
(B)
9
(C)
10
(D)
11
答案:(C)
8、在证明
f(x)?2x?1
为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义
是大前
提;②增函数的定义是小前提;③函数
f(x)?2x?1
满足增函数的定义是
小前提;④函数
f(x)?2x?1
满足增函数的定义是大前提;其中正确的命题是(
)
(A)①② (B)②④ (C)①③
(D)②③
答案:(C)
9、若
a,b?R
,则复数
(a?4a
?5)?(?b?2b?6)i
表示的点在( )
(A)在第一象限
(B)在第二象限
(C)在第三象限
(D)在第四象限
答案:(D);由
a?
4
a?
5
?(
a?
2)
?
1
?
0
,
?b?2b?
6??(b?1)?5?0
,知
在第四象限;
10、用数学归纳法证明不等式“2222
22
11113
?????(n?2)
”时的过程中,
n?1n?22n24
由
n?k
到
n?k?1
时,不等式的左边(
)
(A)增加了一项
1
11
?
(B)增加了两项
2k?12(k?1)
2(k?1)
11
1
?
,又减少了;
2k?12(k?1)
k?1
(C)增加了两项
(D)增加了一项
答
案:(C);
1
1
,又减少了一项;
2(k?1)
k?1
32
11、如图是函数
f(x)?x?bx?cx?d
的大致
图象,则
x
1
?x
2
等于( )
(A)
22
24
(B)
33
(C)
812
(D)
33
答案:(C);提示,由图象过
(0,0),(1,0),(2,0)
知
f(x)?x(x?1)(x?2)
经比较可得
?
x
1
?x
2
?2
?
b??3,c?2,d?0
,即
f(x
)?x
3
?3x
2
?2x
,由
f
(x)?
3x
2
?6x?2
得
?
2
;
x
1
x
2
?
?
3
?
12、对于函数
f(x)?x?3x
,给出下列四个命题:①
f(x)
是增函数,无极值;②
f(x)
是
减函数,有极值;③
f(x)
在区间
(??,0]
及
[2,??)<
br>上是增函数;④
f(x)
有极大值为
0
,
极小值
?4
;其中正确命题的个数为( )
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
32
答案:(B);其中命题③与命题④是正确的。
二、填空题
13、函数
f(x)?x?3x?1
在闭区间
[?3,
0]
上的最大值与最小值分别为:
答案:
3,?17
;
14、若
z
1
?1?3i
,
z
2
?6?8
i
,且
3
111
??
,则
z
的值为
;
zz
1
z
2
答案:
z
?
113
422
?i
?
i
;提示,由
z
1
?1
?3i
,得
?
z
1
1010
55
1341112?
11i
??i
,那么
????
z
2
5050zz
2
z
1
50
又由
z
2
?
6
?
8i
,得
15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数
a
n
与所搭三角形的个数
n
之间的关系式可以
是 .
答案:
a
n
?2n?1
16、物体A的运动速度
v
与时间
t
之间的关系为
v?2t?1
(
v
的单位是
ms
,
t
的单
位是
s
),物体B的运动
速度
v
与时间
t
之间的关系为
v?1?8t
,两个物体在相
距为
405
m
的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时,A物体的运动路程为:
tt
答案:
72m
;提示,设运动
ts
时两物体相遇,那么
(2
t?
1)
dt?
(1
?
8
t
)
dt?
405
00
??
9
得<
br>t?9
,由于
(2
t?
1)
dt?
72
,得
相遇时A物体运动
72m
;
0
?
三、解答题
17、已
知复数
z
1
,z
2
满足
10z
1
?5z<
br>2
?2z
1
z
2
,且
z
1
?2z<
br>2
为纯虚数,求证:
3z
1
?z
2
为
实数
证明:由
10z
1
?5z
2
?2z
1
z<
br>2
,得
10z
1
?2z
1
z
2
?5
z
2
?0
,
即
(3
z
1
?z
2
)
?
(
z
1
?
2
z
2
)
?
0
,那么
(3z
1
?z
2
)??(z<
br>1
?2z
2
)?[(z
1
?2z
2
)i]<
br>
由于,
z
1
?2z
2
为纯虚数,可设
z<
br>1
?2z
2
?bi(b?R且b?0)
所以
(3z
1
?z
2
)?b
,从而
3z
1
?z
2
??b
故
3z
1
?z
2
为实数 <
br>18、求由
y?sinx
与直线
y?
22
22222
2222
22
22x
所围成图形的面积
3
?
3
?
?
x??
?
y?sinx
?
4
??
解:由
?
或
?
?
22x
?
y?
?
y?
?
2
?
?
?
2
?
3
?
?
x?
?
x?0
?
3
?
4
?
或
?<
br>,本题的图形由两部分构成,首先计出
[?
,0]
上的面积,再计算出
?
4
y?0
2
?
?
y?
?
2
?<
br>[0,
3
?
]
上的面积,然后两者相加即可;于是
4
0
S?
?
?
?
3
4<
br>(
22x22x2x
?sinx)dx?
?
(sinx?)dx?(?
cosx)?(?cosx?
3
?
3
?
3
?3
?
0
?
4
3
?
4
2
02x16?(8?32
?
)
)?
3
?
08
19、用总长
14.8m
的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面
的一边长比另
以一边长多
0.5m
那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容
积.
解:设该容器低面矩形边长为
xm
,则另一边长为
(x?0.5)m
,此容器的高为
2
3
?
4
h?
14
.8
?x?(x?0.5)?3.2?2x
,
4
于是,此容器的容积为:
V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)?
?
2x
?
2.2x
?
1.6x
,其中
32
0?x?1.6
由
V
?
(x)??
6
x?
4.4
x?
1.6
?
0
,得
x
1
?1
,
x
2
??
2
4
(舍去)
15
因为,
V
(
x
)
在
(0,1.6)
内只有一个极值点,且
x?(0,
1)
时,
V(x)?0
,函数
V(x)
递
增;
x?
(1,1.6)
时,
V
(
x
)
?
0
,函数
V(x)
递减;
所以,当
x?1
时,函数
V(x)
有最大值
V(1)?1?(1?0.5)?(3.2?2?1)?1.8m
即当高为
1.2m
时,
长方体容器的容积最大,最大容积为
1.8米
.
20、已知
a?0
,函数
f(x)?(x?2ax)e
.
(Ⅰ)当
x
为何值时,
f(x)
取得最小值证明你的结论;
(Ⅱ)设
f(x)
在
[?1,1]
上是单调函数,求
a
的
取值范围
解析:(1)略
(2)由
f(x)
?
(2x
?
2a)e
?
(x?2ax)e?e[x?2(1?a)x?2a]
令
f
(
x
)
?
0
,即
x?2(1
?a)x?2a?0
,得
x
1
?a?1?1?a
2
,
x
2
?a?1?
2
x2xx2
2x
3
3
1?a
2
,其中
x
1
?x
2
当
x
变化时,
f
(
x
)
、
f(x
)
的变化情况如下表:
x
(??,x
1
)
?
x
1
0
极大值
(x
1
,x
2
)
?
x
2
0
极小值
(x
2
,??)
?
f
(x)
f(x)
当
a?0
时,
x
1
??
1,
x
2
?
0,
f
(
x
)
在
(x
1
,x
2
)
上单调递减;
由此可得:
f(x)
在
[?1,1]
上是单调函数
的充要条件为
x
2
?
1
,即
a?1?1?a
2?1
,
解得
a?
3
;
4
3
4
即所求
a
的取值范围为
[
,
??
)
;
21、若
x
i
?0(i?1,2,3,?,n)
,观察下列不
等式:
(x
1
?x
2
)(
11111
?)?4<
br>,
(x
1
?x
2
?x
3
)(??)?9,…,请你猜测
x
1
x
2
x
1
x
2<
br>x
3
111
????)
将满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。
x
1
x
2
x
n
111
????
)
?n
2
(
n?
2)
,证明如下:
x
1<
br>x
2
x
n
(x
1
?x
2
???x<
br>n
)(
解:将满足的不等式为
(x
1
?x
2
???x
n
)(
1
0
当
n?2
时,结论成立; <
br>2
0
假设
n?k
时,结论成立,即
(x
1
?
x
2
???x
k
)(
111
????)?k
2
x
1
x
2
x
k
那么,当
n?k?1
时,
(x
1
?
x
2
?
?
?
x
k
?
x
k?1
)(
1111
??
?<
br>??
)
?
x
1
x
2
x
k
x
k?1
(x
1
?x
2
???x
k
)(
111111
????)?(x
1
?x
2
???x<
br>k
)??x
k?1
(???
x
1
x
2
x
k
x
k?1
x
1
x
2
?<
br>1111
)?1?k
2
?2(x
1
?x
2
?
??x
k
)(????)?1?k
2
?2k?1?(k?1)
2
x
k
x
1
x
2
x
k
显然,
当
n?k?1
时,结论成立。
00
由
1
、
2知对于大于
2
的整数
n
,
(x
1
?x
2
???x
n
)(
111
????)?n
2
成立。
x
1
x
2
x
n