高中数学选修2-2金版教程1-2-1

1.2.1

一、选择题
1.
?
A.
1
?
′等于( )
?
2
?
1

2



B．1
D.2 C．0
解析：常数的导数是0.
答案：C
2．若y＝x，则y′等于( )
A.
1

x








B.
2

x
1
C.
2x
D．不存在
1
解析：y′＝(x)′＝.
2x
答案：C
3．给出下列命题：
①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝
＝3，则y＝3x.
其中正确的有( )
A．1个
C．3个








B．2个
D．4个
11
，则y′＝－x；④若y′
2
x
解析：①②正确．
答案：B
4．已知函数f(x)＝x
3
的切线的斜率等于1，则这样的切线有( )
A．1条
C．3条








B．2条
D．不确定
3
解析：本题切线 的条数是由切点的个数来决定的，设切点为(x
0
，x
0
)，∵y′＝3x< br>2
，∴3x
2
0
3
＝1，∴x
0
＝±，即切 点有两个，故斜率为1的切线有两条．
3

答案：B
5．在下列四个命题中，真命题的个数为( )
①曲线y＝x
3
在原点处没有切线；
②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；
③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；
④函数y＝x
5
的导函数的值恒非负．
A．1
C．3








B．2
D．4
解析：y＝x
3
在(0,0)处的切线为y＝0；f(x)＝x在x ＝0处不可导；加速度是动点速度函
数v(t)对时间t的导数；y′＝(x
5
)′＝ 5x
4
≥0.
答案：A
6．曲线y＝x
3
在点P处切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标为( )
A．(－2，－8)
C．(2,8)




B．(－1，－1)或(1,1)
11
D．(－，－)
28< br>23
解析：设P(x
0
，y
0
)，则f′(x
0)＝3x
2
0
，即3x
0
＝3，所以x
0
＝1 或x
0
＝－1，代入y＝x有
P(1,1)或(－1，－1)．故选B.
答案：B
二、填空题
11
7．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________. < br>x
f′(2)
111
解析：∵f′(x)＝－
2
，∴f′(2 )＝－，又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝
x4
f′(2)
得 m＝－4.
答案：－4
1
8．曲线y＝和y＝x
2
在它们交点处 的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是
x
________．
1
??
y＝
x
，
解析：由
?
得交点A的坐标为(1,1)．
?
?
y＝x
2
由y＝x
2
得y′＝2x，
∴y＝x
2
在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
－1
1
由y＝得y′＝
2
，
xx
1
∴y＝在点A(1,1)处的切线方程为
x

y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，如右图所示，
133
S
Δ
＝××1＝.
224
3
答案： 4
11
9．曲线y＝x
3
在点(1，)处的切线与直线x＋y－3＝0的 夹角为________．
33
解析：∵y′＝x
2
，y′|
x< br>＝
1
＝1，
∴切线的斜率为1，又已知直线的斜率为－1，
∴两直线垂直，故两直线的夹角为90°.∴应填90°.
答案：90°
三、解答题
10．求双曲线xy＝1上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
111
解：设(x
0
，y
0
)是y＝上任意一点，则曲线在 点(x
0
，y
0
)的切线方程为y－＝－
2
(x－x
0
)，
xx
0
x
0
212
令x＝0，得y＝；令 y＝0，得x＝2x
0
，∴切线与两坐标轴构成的三角形的面积为S＝··2|x|
x
0
2|x
0
|
0
＝2.
11．已知曲线y＝5x，求曲线上与直线y＝2x－4平行的切线的方程．
5
解： 设切点为(x
0
，y
0
)由y＝5x得，y′|x＝x
0
＝ .
2x
0
∵切线与y＝2x－4平行，
∴
525
＝2，解得x
0
＝.
16
2x
0
25
∴y
0
＝，∴所求切线方程为
4
2525
y－＝2(x－)，
416
25
即2x－y＋＝0，即16x－8y＋25＝0.
8
12．试求过点P(2，－1)且与曲线y＝x
2
相切的直线的方程．
解：点P(2，－1)不是曲线y＝x
2
上的点，
设切点为M(x
0
，y
0
)，则y
0
＝x
2
0
①
y′＝2x，∴y′|x＝x
0
＝2x
0
.
又k
PM
＝
y
0
＋1
，
x
0
－2
y
0
＋1
∴2x
0
＝②
x
0
－2
由①②解得：x
0
＝2＋5或x
0
＝2－5.

当x
0
＝2＋5时，切线斜率k＝2x
0＝4＋25.
此时切线方程为y＋1＝(4＋25)(x－2)，
即(4＋25)x－y－9－45＝0.
当x
0
＝2－5时，切线斜率k＝2x
0
＝4－25，
此时切线方程为y＋1＝(4－25)(x－2)，
即(4－25)x－y－9＋45＝0.
∴满足条件的切线方程为：
(4＋25)x－y－9－45＝0
或(4－25)x－y－9＋45＝0.