高中数学人教版选修2-2,2-3知识点总结

数学选修 2-2 导数及其应用知识点

y

x

f

x

f ( x
2
)

f ( x
1
) f ( x
1

x
2

x
1

x)

x


1．函数的平均变化率是什么？


答：平均变化率为



f (x
1
)


注

1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注

2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？
答：函数
y


f ( x)
在

x x
0


处的瞬时变化率是


lim

y

x 0
x

lim

x 0
f ( x
0

x) f ( x
0
)

x





















，则称函数

y f (x)
在点

x

0

处



可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做
y

f
'
(x
0
)
=

lim

x 0
f ( x)
在

x
0

处 的 导 数 ， 记 作
f
'
( x
0
)











或
y
'
|
x x
0

， 即

y

x

lim

f ( x
0

x 0
x) f ( x
0
)
.

x

3.

平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。


4

导数的背景是什么？
答：（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；（ 3）边际成本。


5、常见的函数导数和积分公式有哪些？


函数


导函数


不定积分


y

c


n




*
y '

0




n 1
————————

x


n
dx

x
n

1
n

1

y

x

y a
x


n N


y '

nx


y ' a
x
ln a







a 0, a 1




a
x
dx

a
x


ln a


y e
x


y ' e
x

y '

y '


e
x
dx e
x


y

log
a

x


1



a

0, a

y


1, x 0



x ln a

1


x


cos x

sin x


————————







ln x

1
x


dx ln x


y

sin x


y '

y '

cosxdx

sin x

sin xdx








y

cos x

cos x

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？


答：若 f

x ， g

x 均可导（可积），则有：


'
和差的导数运算


f (x) g( x)

'
f
'
( x)

g
'
(x)

f

'
(x)g( x)

f (x)g
'
( x)

积的导数运算















f (x) g (x)


特别地： Cf x

f ( x)

g (x)

'
'

Cf '

x

'




商的导数运算


f ( x) g(x)

f ( x) g (x)

(g ( x) 0)

2
g ( x)


1

g x

'

'
特别地：

y
x
y
u

u
x

g '( x)

g
2

x


复合函数的导数





1

b
a
微积分基本定理





f x dx





b

a












b

a


（其中 F ' x


b


a


f x ）



[ f
1
(x)


f
2

( x)]dx

b


f
1
( x)dx

b

f
2
(x)dx


和差的积分运算






kf (x)dx k


c

f x

f ()dx
特别地：
a

b

f x

为常数

)




a

积分的区间可加性


( )

dx



( )
d

x



b

f x dx






a c b
( )

(其中
a




a

c



)

6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？


答：①求函数 f(x)的导数
f '(x)


②令
f '(x)
>0,解不等式，得

x 的范围就是递增区间 .



③令
f '(x)
<0,解不等式，得

x 的范围，就是递减区间；

注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。


7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么？


答： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数
f '(x)


(3)求方程
f '( x)
=0 的根

(4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，


并列成表格，检查
f

( x)
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么

f(x)在这个根处取得极大值；


如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么


8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？


答：求
f ( x)
在
a,b
上的最大值与最小值的步骤如下：


⑴求
f ( x)
在

a, b

上的极值；




f(x)在这个根处无极值

⑵将
f ( x)
的各极值与
f (a), f (b)
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？


答：分割

近似代替

求和

取极限

（ “以直代曲 ”的思想）


10.定积分的性质有哪些？


根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：


性质 1





b
1dx



b
a
b
a
b

a



a






b






性质 5

若
f (x)


0,

x


a, b
，则

f
2
(x)


c
1

a

f ( x) dx 0



a


b
a


①推广：



[ f
1
(x)



f
m

( x)]dx

c
2

c
1


f
1
( x) dxf
2
(x)dx

a
b
c
k

b b
a
f
m
(x)


②推广 :

f ( x)dx


f ( x)dx

f (x)dx

f ( x) dx






11 定积分的取值情况有哪几种？

答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是


0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等
于 x 轴上方的图形面积；


（ 2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等
于 x 轴上方图形面积的相反数；


（ 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形
面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图
形的面积．


12．物理中常用的微积分知识有哪些？


答：（ 1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。


（ 2）力的积分为功。



2

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义是什么？


答：从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般 的推理。


．．．．

．．．


．．

．．





14.归纳推理的思维过程是什么？

实验、观察


答：大致如图：



15.归纳推理的特点有哪些？


答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

概括、推广

猜测一般性结论


②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还需经过逻辑证明和实验检验， 因此，
它不能作为数学证明的工具。


③归纳推理是一种具有创造性的推理 ，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助
人们发现问题和提出问题。


16.类比推理的定义是什么？


答：根据两个（或两类）对象 之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，

这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊

到特殊的推理。

．． ．．


17.类比推理的思维过程是什么？


观察、比较

联想、类推

推测新的结论

答：



18.演绎推理的定义是什么？


答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到
新结论的推理过程。演绎推理是由一般 到特殊的推理。

．． ．．


19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论


20.“三段论”可以表示为什么？


答：

①大前题： M是 P

②小前提： S 是 M

③结论： S 是 P。


其中①是大前提， 它提供了一个一般性的原理； ②是小前提， 它指出了一个特殊对象； ③是结论，
它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。


21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？


答：直接证明是从命题 的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。


直接证明包括综合法和分析法。


22.什么是综合法？


答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出 要证的
结论。


23.什么是分析法？


答： 分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可
称为“由 果索因”。


要注意叙述的形式： 要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件 . 分析法和综合法常结合使用，
不要将它们割裂开。


24

什么是间接证明？
答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻 辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而
肯定原结论是正确的证明方法。

25.

反证法的一般步骤是什么？
答： 1）假设命题结论不成立，即假 设结论的反面成立；
2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确

，即所求证命题正确。

．．．

26 常见的“结论词”与“反义词”有哪些？







原结论词

至少有一个

反义词

一个也没有

原结论词

反义词

对所有的 x 都成立

存在 x 使不成立

3

至多有一个

至少有 n 个

至少有两个

至多有 n-1 个

对任意 x 不成立

p 或 q

p 且 q

存在 x 使成立

p 且 q

p 或 q

至多有 n 个

至少有 n+1 个

27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反

．．．．


28.如何归缪矛盾？

．．．．

答：（ 1）与已知条件 矛盾；（ 2）与已有公理、定理、定义

矛盾；

29．数学归纳法（只能证明与正整数

有关的数学命题）的步骤是什么？

．．．．．．．．．．

（3）自相矛盾．

．．

．．．

答： (1)证明：当 n 取第一个值
．．．．

n
0

n
0

N

*




时命题成立；

(2)假设当 n=k (k∈ N ，且 k≥n
0
)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 .

．．．．．

由 (1)，(2)可知，命题对于从 n
0
开始的所有正整数 n 都正确
注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数系的扩充和复数的概念知识点

30. 复数的概念是什么？
答：形如 a+bi 的数叫做复数，其中

i 叫虚数单位，
a
叫实部，

b
叫虚部，数集
C

a bi | a,b R
叫

．．．．


做复数集。


规定：
a bi c di

a=c 且


，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。





．．．．．．．

b=d






实数 (


31．数集的关系有哪些？答：



b

0

)







复数 Z


虚数 ( b

0)

一般虚数 ( a 0

)




纯虚数 ( a

0)

32.

复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33. 什么是复平面？

答：根据复数相等的定义，任何一个复数 z a bi ，都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。由于有序实数
对
(a, b)
与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可


以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

x 轴叫做实轴，

y 轴叫做虚


轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。


34. 如何求复数的模 ( 绝对值 ) ？



答：与复数
z
对应的向量
OZ
的模

r

叫做复数

z

可知： z


a bi 的模 ( 也叫绝对值 ) 记作 z 或 a bi 。由模的定义

a bi

a
2

b
2

35. 复数的加、减法运算及几何意义是什么？

答：①复数的加、减法法则：


z
1

a bi与z
2

c

di
，则
z
1

z
2

a

c

(b

d )i
。

注：复数的加、减法运算也可以按向量

的加、减法来进行。







②复数的乘法法则：
( a

bi )(c

di)


bi

③复数的除法法则：

a

cdi

．．

ac bd

di)
c
2


ad bc i
。



d
2

( a


( c

bi)(c


di)


ac


bd


di )(c
d
2

bc

ad

i

其中


c di

叫做实数化因子

c
2

36.什么是共轭复数？


答：两复数
a

bi与a

bi
互为共轭复数，当
b



2


2




0

时，它们叫做共轭虚数。


(3) z z

z


2
常见的运算规律

(1) z


z


(2) z

z


2a, z


z


2bi;


z



a
2

b

2
(4) z

z;(5) z

zz R



2

(7)

1

i


1;





2

i;(8)

1


(6) i
4 n 1

i , i
4n

(9)
设




1,i
4n 3

i , i
4n 4

i

1

i

,


i,
i

1


i



1


2
i ,

1

i

2


,


3 n 3
i




1


3i

是 1 的立方虚根，则
1

2


0
，


3n 1 3n 2
1


4

数学选修 2-3 导数及其应用知识点 ----

第一章计数原理知识点

什么是分类加法计数原理？


答：做一件事情，完成它有

n 类办法，在第一类办法中有

m
1

种不同的方法，在第二类办法中有

m
2

种


不同的方法?在第 n 类办法中有 m
n
种不同的方法。 那么完成这件事情共有

N m
1
m
2

m
n

种不同


的方法。


1. 什么是分步乘法计数原理？
答：做一件事情，完成它需要

n 个步骤，做第一个步骤有

m
1

种不同的方法，做第二个步骤有

m
2

种不


同的方法??做第 n 个步骤有 m
n
种不同的方法。那么完成这件事情共有
N m
1

m
2

m
n
种不同的方法。



2.

排列的定义是什么？


答：一般地，从 n 个不同的元素中任取
m m

n
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

n 个不同

的元素中任取 m 个元素的一个排列。


3.

组合的定义是什么？


答：一般地，从 n 个不同的元素中任取
m m

n
个元素并成一组，叫做从

n

个不同的元素中任取

m

个

元素的一个组合。


4.

什么是排列数？


答：从 n 个不同的元素中任取
m m n
个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的
m
排列数，记作 A
。

n

5. 什么是组合数？

答：从 n 个不同的元素中任取
m m

元素的组合数，记作 C
n
m
。

7.排列数公式有哪些？

答：（ 1）
A
n


m
n
个元素的所有组合的个数，叫做从







m
n 个不同的元素中任取 m 个










n n

1 n


2

n

m

1

或
A
n








n！

n



；






m !







（ 2） A
n
n

n! ，规定 0!

1。


8.组合数公式有哪些？

答：（ 1）
C
n



m

n n

1 n


2

n

m

m!



1


或
C
n
m

n！

；

m! n m !



（2） C
n
m

C
n
n

m
，规定 C
n
0

1。


9.排列与组合的区别是什么？答：排列有顺序，组合无顺序。


10.排列与组合的联系是什么？答：

A
n
m
C
n
m

A
m
m

，即排列就是先组合再全排列。


11.排列与组合的性质有哪些？


答：两个性质公式：（ 1）排列的性质公式： A
n
m

1
A
n
m

mA
n
m 1

（ 2）组合的性质公式：
C

n
m

C
n
n m

；

C
n
m

12.二项式定理是什么？

n
答： a b



1
C
n
m

C
n
m 1




C
n
0
a
n

C
n
1
a
n 1
b C
n
2
a
n 2
b
2


C
n
r
a
n r
b
r

13 二项展开式的通项是什么？
答：
T
r 1
C
n
r
a
n r
b
r
0 r n, r N , n N

。


C
n
n
b
n
n N 。

14. 1 x
n
的展开式是什么？
答： 1 x
n
C
n
0
x
n
C
1
n
x
n 1
C
n
2
x
n 2












C
n
n
x
0

，若令

x

C
n
n
。

1
，
则有

1 1
n

2
n

C
n
0

C
n
1

C
n
2

5

应用 “赋值法 ”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为

1。
























第二章随机变量及其分布知识点

15.什么是随机变量？


X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变

答：在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量

化的，我们把这样的变量 X 叫做一个随机变量。


X 为离散型随机变量。

离散型随机变量：如果随机变量

X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称

16.什么是概率分布列？


答：要掌握一个离散型随机变量

X 的取值规律，必须知道：


（ 1） X 所有可能取的值
x
1
, x
2

,

, x
n

；



（ 2） X 取每一个值 x
i
的概率
p
1
, p
2

,


, p
n

；

我们可以把这些信息列成表格（如此）：




X
P


x
1

p
1


x
2

p
2

?

?

x
i

p
i

?

?

x
n

p
n








上表为离散型随机变量

X 的概率分布，或称为离散型随机变量 X 的分布列。

17.什么是二点分布？


答：


1

0




X
P


p

q

其中
0 p 1, q 1 p
，则称离散型随机变量

X 服从参数为 p 的二点分布。

18.什么是超几何分布？

答：一般地，设有总数为

N
件的两类物品，其中一类有

M 件，从所有物品中任取
n n

中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为


N
件，这

n

件

C
M
m
C
N
n m
M

n
C

N


（

0 m l ，
l

为 n 和 M 中较小的一个）。我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何服
N , M ,n
的超几何分布。

分布，也称 X
从参数为


m 时的概率为 P X m

19.什么是条件概率？

答：对于任何两个事件

A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件

B 发生的概率叫做条件概率，用符


号PBA来表示。


20．什么是事件的交（积）？

答：事件 A 和 B 同时发生所构成的事件

D ，称为事件 A 和 B 的交（积）。


21.什么是相互独立事件？


答：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即 P B A P B ，这时我们称两个事件


A 和 B 相

互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。一般地，当事件

A和B相互独时， A和
B
，
A
和B，
A


和
B
也相互独立。


22．什么是独立重复试验？答：在相同的条件下，重复地做

n 次试验，各次试验的结果相互独立，那

么一般就称它为

n 次独立重复试验。


6

23 独立重复试验的概率公式是什么？

答：一般地，事件 A 在 n 次试验中发生
k
次，共有 C
n
k
种情形，由试验的独立性知

A 在
k
次试验中发生，


而在其余 n k 次试验中不发生的概率都是

p
k
1 p
n k
，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件

A发生的概率是 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生
k
次的概率为


P
n
k C
n
k
p
k
1 p
n k
k 0,1,2, n 。

24.什么是二项分布？


答：在独立重复试验概率公式中，若将事件

A 发生的次数设为 X ，事件 A 不发生的概率为


，则


q 1

p

在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生
k
次的概率为
P X k C
n
k

p
k
q
n k
，其中
k 0,1,2, n
。于是得到 X 的
分布列


X


0


1


?

k


?

n





0 0 n

1 1

n 1

?

k k n k

?

n n

0



P


C
n
p q

C
n
p q


C
n
p q


C
n
p

q


由于表中的第二行恰好是二项式展开式



n



p q

C
n
0
p
0
q
n

C
n
1
p
1
q
n 1

C
n
2
p
2
q
n 2

C
n
k

p
k
q
n k


C
n
n
p
n
q
0


各对应项的值，称这样的离散型随机变量

X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作
X ~ B n, p
。


25.什么是离散型随机变量的数学期望？


答：一般地，设一个离散型随机变量

X 所有可能的取值是
x
1

, x
2

,

x
n

，这些值对应的概率是
p
1
, p
2
,

则
E X

x
1
p
1
x
2
p
2


x
n
p
n

叫做这个离散型随机变量

X 的均值或数学期望（简称期望）。


26.二点分布的数学期望是多少？答：

E X

p
。


27.二项分布的数学期望是多少？答：

E X

np
。


28.超几何分布数学期望是多少？答：

E X

nM
。



N


29.什么是离散型随机变量的方差？


答：一般地，设一个离散型随机变量

X 所有可能的取值是
x
1

, x
2

,

x
n

，这些值对应的概率是
p
1
, p
2
,

则

D X

x
1
E X
2
p
1

x
2

E X
2
p
2

x
n

E X
2
p
n
叫做这个离散型随机变量

X 的方差。



离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（离散程度）。

30.

二点分布的方差是多少？答：

D X

pq
。

31.二项分布的方差是多少？答：
D X

npq q

1 p
。


32 什么是标准差？答：
D X
的算术平方根

D X 叫做离散型随机变量 X 的标准差。

33.什么是正态分布？




x
2



答：正态变量概率密度曲线函数表达式：

f x


1


e

2


2
, x R ，其中

, 是参数，且


2



0,

。如下图：





















数学选修 2-3 第三章统计案例知识点

34.

什么是回归分析，它的步骤是什么？
答：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

7

p
n

，

p
n

，

其步骤：收集数据

作散点图

求回归直线方程

利用方程进行预报 .

35. 线性回归模型与一次函数有什么不同？

答：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式

.


36.

什么是残差？
答：样本值与回归值的差叫残差，即
e?
i
y
i
y?
i

.

37.

什么是残差分析？
答：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据 ，这方面的分析工作称为残
差分析 .

38. 如何建立残差图？

答：以残差为横坐标， 以样本编号， 或身高数据， 或体重估计值等为横坐标， 作出的图形称为残差图 .
观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模 型比较合适，这样的带状


区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高

.


39. 建立回归模型的基本步骤是什么？

答：（ 1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；


（

2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；
（

3）由经验确定回归方程的类型 （如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程 y＝ bx＋a）；
（

4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（ 5）得出结果后分析残差图是否有异常 （个别数据对应残差过大， 或残差呈现不随机的规律性等等） ，

若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。















n
40.

什么是总偏差平方和？答：所有单个样本值与样本均值差的平方和，


SST


n

i 1
2
( y
i

y)
2





41.

什么是残差平方和？答：回归值与样本值差的平方和，即.




SSE

i 1
( y
i


n
?

)


y
i




44.

什么是回归平方和？答：相应回归值与样本均值差的平方和，即





SSR

i 1



?


( y
i

y)


2


.








2




n

i 1


n

(y
i

y
?
)

i
2
















45.

什么是相关指数？答：
R



1




(y


y)
2

i

46. 非线性回归模型的方程是什么？
y



e
bx a
















i 1


47. 如何根据观测数据判断两变量的相关性？
2


n（ad－ bc）
2

答：①根据观测数据计算由

K ＝

（ a＋ b）（ c＋ d）（ a＋c）（ b＋d）

给出的检验随机变量


其值越大，说明“ X 与 Y 有关系”成立的可能性越大

.


②当得到的观测数据 a，b，c，d 都不小于 5 时，可以通过查阅下表来确定断言“ X 与的
可信程度 .


K
2
的值 k，





Y 有关系”

P（ K
2
≥k） 0.50

0.40

0.02

0.01

0.00

0.001

5

0

5


0.45

0.70

1.32

2.07

2.70

3.84

5.02

6.63

7.87

10.82

k

5

8

3

2

6

1

4

5

9

8


说明：当观测数据

a， b， c， d 中有小于 5 时，需采用很复杂的精确的检验方法 .


48. 常用临界值有哪些？

得到 K
2
的观察值 k 常与以下几个临界值加以比较：


如果

k

2.706，就有
90

0

0
的把握因为两分类变量

X 和 Y 是有关系；

如果

k

3.841

就有
95
0

0
的把握因为两分类变量

X 和 Y 是有关系；

如果

k

6.635

就有
99
0

0
的把握因为两分类变量

X 和 Y 是有关系；

如果低于 k

2.706，就认为没有充分的证据说明变量

X 和 Y 是有关系．



0.25

0.15

0.10

0.05

8