高中数学选修2-1试题及答案

数学选修模块测试样题
选修2-1 （人教A版）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合
要求的．
1．
x?1
是
x?2
的（ ）
A．充分但不必要条件
C．充要条件
B．必要但不充分条件
D．既不充分又不必要条件
2．已知命题
p,q
，若命题“
?p< br>”与命题“
p?q
”都是真命题，则（ ）
A．
p
为真命题，
q
为假命题
C．
p
，
q
均为真命题
B．
p
为假命题，
q
为真命题
D．
p
，
q
均为假命题
x
2
y
2
??1
上的任意一点，3. 设
M
是椭圆若
F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点，则
|MF
1
|?|MF
2
|

94
等于（ ）
A．
2

B．
3

C．
4

D．
6

4．命题
p：?x?R，x?0
的否定是（ ）
A．
?p：?x?R，x?0

C．
?p：?x?R，x?0

2
B．
?p：?x?R，x?0

D．
?p：?x?R，x?0

5. 抛物线
y?4x
的焦点到其准线的距离是（ ）
A．
4

B．
3

C．
2
D．
1

6. 两个焦点坐标分别是
F
1
(?5,0)，F
2
(5, 0)
，离心率为
5
的双曲线方程是（ ）
4
x
2
y
2
??1
A．
43
x
2
y
2
??1
C．
259
7. 下列各组向量平行的是( )
A．
a?(1,1,?2),b?(?3,?3,6)

C．
a?(0,1,?1),b?(0,?2,1)

x
2
y
2
??1
B．
53
x
2
y
2
??1
D．
169
B．
a?(0,1,0),b?(1,0,1)

D．
a?(1,0,0),b?(0,0,1)

uuuruuuruuur
8. 在空间四边形
OABC
中，
OA?AB?CB
等于( )

uuur
A．
OA

uuur
C．
OC

uuur
B．
AB

uuur
D．
AC

9. 已知向量
a?(2,3,1)< br>，
b?(1,2,0)
，则
a?b
等于 ( )
A．
1

C．
3

B．
3

D．
9

A
10. 如图，在三棱锥
A?BCD
中，
DA
，
DB
，
DC
两两
uuuruuur
垂直，且
DB?DC
，
E
为
BC
中点，则
AE?BC
等于
A．
3
B．
2

C．
1
D．
0

B
2
( )
D
E
C
11. 已知抛物线
y?8x
上一点
A
的横坐标为2
，则点
A
到抛物线焦点的距离为（ ）
A．
2
B．
4

2
C．
6

22
D．
8

12．设
k?1
，则关于
x
，
y
的方程
(1?k)x?y?k?1
所表示的曲线是( )
A．长轴在
x
轴上的椭圆
C．实轴在
x
轴上的双曲线
B．长轴在
y
轴上的椭圆
D．实轴在
y
轴上的双曲线
13. 一位运动员投掷铅球的成绩是
14m
，当铅球运行的水平距离是
6m
时，达到最大高度
则铅球
4m
.若铅球运行的路线是抛物线，
出手时 距地面的高度是（ ）
A．
1.75m
B．
1.85m

C．
2.15m
D．
2.25m


14．正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，
M
为侧面
ABB< br>1
A
1
所在平面上的一个动点，且
M
到平
面
ADD
1
A
1
的距离是
M
到直线
BC
距离 的
2
倍，则动点
M
的轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
15．命题 “若
a?0
，则
a?1
”的逆命题是__________________ ___．
x
2
y
2
??1
的渐近线方程是______ _______________． 16．双曲线
94
uuuruuur
2
17．已知点
A(?2,0),B(3,0)
，动点
P(x,y)
满足AP?BP?x
，则动点
P
的轨迹方程是 ．

x
2
y
2
?
18. 已知椭圆
2< br>?
2
?1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2< br>，点
P
为椭圆上一点，且
?PF
1
F
2
?3 0
，
ab
?PF
2
F
1
?60
?
，则椭圆的离心率
e
等于 ．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（本小题满分8分）
x
2
?y
2
?1
相交 于
A,B
两个不同的点. 设直线
y?x?b
与椭圆
2
（1）求实数
b
的取值范围；
uuur
（2）当
b?1
时，求
AB
．




20．（本小题满分10分）
如图，正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
，
E
为棱
CC
1
的中点.
（1）求
AD
1
与
DB
所成角的大小；
（2）求
AE
与平面
ABCD
所成角的正弦值.









21．（本小题满分10分）
已知直线
y?x?m
与抛物线
y?2 x
相交于
A(x
1
,y
1
)
,
B(x2
,y
2
)
两点，
O
为坐标原点．
（1）当
m?2
时，证明：
OA?OB
；
（2）若
y
1
y
2
??2m
，是否存在实数
m
，使得OA?OB??1
若存在，求出
m
的值；若不存在，请
说明理由．
2
D
1
C
1
A
1
B
1
E
D
C
A B

数学模块测试样题参考答案
数学选修2-1（人教A版）
一、选择题（每小题4分，共56分）
1． B
8． C

二、填空题（每小题4分，共16分）
15．若
a?1
，则
a?0

17．
y?x?6


三、解答题（解答题共28分）
19．（本小题满分8分）
2
2． B
9． B
3．D
10．D
4．C
11．B
5．C
12．D
6．D
13．A
7． A
14．A
16．
y??
2
x

3
18．
3?1

x
2
?y
2
? 1
，消去
y
，整理得
3x
2
?4bx?2b
2?2?0
．① 解：（1）将
y?x?b
代入
2
x
2< br>?y
2
?1
相交于
A,B
两个不同的点， 因为直线
y?x?b
与椭圆
2
222
所以
??16b?12(2b?2)?2 4?8b?0
， 解得
?3?b?3
．
所以
b
的取值范围为
(?3,3)
．
（2）设
A (x
1
，y
1
)
，
B(x
2
，y
2
)
，
当
b?1
时，方程①为
3x?4x?0
．
2
4
．
3
1
相应地
y
1
?1, y
2
??
．
3
uuur
4
22
2
． 所以
AB?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?
3
解得
x
1
?0,x
2
??

20．（本小题满分10分）
解：(1) 如图建立空间直角坐标系
D?xyz
，
z
C
1
02)
.
D
则
D(0，，

1



00)
，
A(2，，00)
，
B(2，，20)
，
D
1
(0，，
uuur
uu uur
则
DB?(2,2,0)
,
D
1
A?(2,0,?2 )
．
A
1
B
1
uuuruuuur
uuur uuuur
DB?D
1
A
41
?
.
故
c os?DB,D
1
A??
uuuruuuur
?
DB?D
1
A
22?22
2
所以
AD
1
与
DB
所成角的大小为
60
．
o
E
D
C
A
x
B
y
uuur
(2) 易得
E(0，，21)
,所以
AE?(?2,2,1)
．
uuuu r
又
DD
1
?(0,0,2)
是平面
ABCD
的一 个法向量，且
uuuruuuur
uuuruuuur
AE?DD
1
21
cos?AE,DD
1
??
uuu
?
．
r uuuur
?
AE?DD
1
3?23
所以
AE
与平 面
ABCD
所成角的正弦值为
21．（本小题满分10分）
解：（1）当
m?2
时，由
?
1
．
3
?
y?x?2，
2
?
y?2x，
得
x?6x?4?0
，
2
解得
x
1
?3?5,x
2
?3?5
，
因此
y
1
?1?5,y
2
?1?5
．
于是
x
1
x
2
?y
1
y
2
?(3?5)(3? 5)?(1?5)(1?5)
?0
，
uuuruuur
即
OA?OB?0
．
所以
OA?OB
．
（2）假设存在实数
m
满足题意，由于
A,B
两点在抛物线上，故
2
?
1
?
y
1
?2x
1
，
因此
xx?(y
1
y
2
)
2
?m
2．

?
2
12
4
?
?
y
2< br>?2x
2
，
所以
OA?OB?x
1
x
2?y
1
y
2
?m
2
?2m
．
2由
OA?OB??1
，即
m?2m??1
，
得
m?1< br>．
又当
m?1
时，经验证直线与抛物线有两个交点，

所以存在实数
m?1
，使得
OA?OB??1