高中数学选修2-1、2-2、2-3知识点小结

选修2-1、2-2知识点
选修2-1
第一章 常用逻辑用语
1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系：
② 逆否命题同真同假
2. 充分条件与必要条件
p
是
q
的充要条件：
p?q

p
是
q
的充分不必要条件：
p?q,q?p

p
是
q
的必要不充分条件：
q?p,p?q

p
是
q
的既充分不必要条件：
p靠q,q
原命题
若p则q
互 否
互 逆
逆命题
若q则p
互
否
为 逆
为 逆
互 否
互
否
逆否命题
若
?q
则
?p



互 逆
逆否命题
若
?q
则
?p

p

3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的
变化.
a
例：“a=1”是“
?x?0,2x??1
”的（ ）
x
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
条件
第二章 圆锥曲线与方程
1. 三种圆锥曲线的性质（以焦点在
x
轴为例）
椭圆
与两个定点的距离和等
定义
于常数
2a (2a?|F
1
F
2
|)

双曲线
与两个定点的距离差的
绝对值等于常数
抛物线
与一个定点和一
条定直线的距离
相等
2a (2a?|F
1
F
2
|)

x
2
y
2
?
2
?1(a,b?0)

2
ab
标准方程
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)

2
ab
y
2
?2px(p?0)

图形

顶点坐标
对称轴


(±a,0)
x轴，实轴长2a
y轴，虚轴长2b
1

(0,0)
x轴
(±a,0),(0,±b)
x轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b

焦点坐标
c
离心率
a
(±
a?b
,0)
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
22
(±
a?b
,0)
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
22
(
p
,0)
2
e＝1
准线
a
2
x??

c
a
2
x??

c
y??
b
x

a
x??
p

2
渐近线
p

2
焦半径
a,b,c,e，p
|PF
1
|?a?ex
0
|PF2
|?a?ex
0


|PF|?x
0
?
知二 求二
2. “回归定义” 是一种重要 的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符
合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程， 写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭
圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结 合解三角形（一
般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到< br>焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

3. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关 系有三种情
况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、
相离的充分 必要条件分别是
??0
、
??0
、
??0
.
应注 意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直
线与双曲线的位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中 点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
x
1
?x
2
y?yy? y
?2x
0
,
12
?2y
0
,
21
?k
）
22x
2
?x
1
（2）有关弦长问题，应注意运 用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
① 直线具有斜率
k
，两个交 点坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)

2
AB?1?
k
2
x
1?x
2
?(1?
k
2
)
?
(x?x)
?
12
?4x
1
x
2
?
?
?1?
1
y
1
?y
2

2
k
② 直线斜率不存在,则
AB?y
1
?y
2
.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（
k
1
k
2
??1
）
2

注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的 思想方法，二要数形结合，
既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线 中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的
方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代
入法（利用动点 与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、
交轨法等。
例1. 已知定点
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，在满足下列 条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：
C）；
2
A．
PF
1
?PF
2
?4
B．
PF
1
?PF
2
?6
C．
PF
D．
PF?PF
2
?PF?10
1
12
2
?12< br>

例2已知双曲线的离心率为2，F
1
、F
2
是左 右焦点，P为双曲线上一点，且
?F
1
PF
2
?60
?，
S
?PF
1
F
2
x
2
y
2
?123
．求该双曲线的标准方程（答：
??1
）
412
例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆分 方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m
x
21
的取值范围。（答：
?y
2
?1; m?(,2)
）
32
例4过点A（2，1）的直线与双曲线
轨迹方程。

相交于两 点P
1
、P
2
，求线段P
1
P
2
中点的< br>第三章 空间向量与立体几何
1. 空间向量及其运算
①
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
d
??
????
,
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z2
?z
1
?
222

② 共线向量定理：
ab?a?
?
b
(b?0)

③ 共面向量定理：
p,a,b共面?p?xa?yb(x,y?R)
；
四点共面
MP?xMA?yMB(x,y?R)

④ 空间向量基本定理
p?xa?yb?zc(x,y,z?R)
（不共面的三个向量
a,b,c
构 成一
组基底，任意两个向量都共面）
3

2. 平行： （直线的方向向量，平面的法向量）（
a,b
是a,b的方向向量，
n
是平面
?
的法
向量）
线线平行：
ab
?
ab

线面平行：
a
?
?a?n
或
ab
，
b?
?
或
a?xb?yc(b，
c
是
?
内不共线向量）
面面平行：
?

?
?n
1
n
2

3. 垂直
线线垂直：
a?b
?
a?b?a?b?0

线面垂直：
a?
?
?an
或
a?b,

a?c (b，c
是
?
内不共线向量）
面面垂直：
?
?
?
?n
1
?n
2

4. 夹角问题
线线角
cos
?
?|cos?a,b?|?
?
|a?b|
（注意异面直线夹角范围
0?
?
?
）
2
|a||b|
|a?n|

|a||n|
|n
1
?n
2
|
（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向
|n
1
||n
2
|
线面角
sin
?
?|cos?a,n?|?
二面角
|cos
?
|?|cos?n
1
,n
2
?|?
量夹角；③回答二面角（ 空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只
需说明二面角大小，无需说明理由））

5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P到平面
?
的距离
d?
|PA?n|
（其中
A
是平面
?
内任一点，
n
为平面
?
的法向量）
|n|
6. 立体几何解题一般步骤
坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于 已有的垂直关系构造）；②写点坐
标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结 果。
基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③
向量运 算；④将向量形式的结果转化为最终结果。
几何法：作、证、求
异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；
线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；
二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.

4

选修2-2
第一章 导数及其应用
?y
f(
x< br>0
??x)?f(
x
0
)
1. 平均变化率
?
?x?x
2. 导数（或瞬时变化率）
f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
导函数(导数)：
f
?
(x)?lim

?x?0
?x
3. 导数的 几何意义：函数
y
＝
f
(
x
)在点
x
0< br>处的导数
f
?
(
x
0
)就是曲线
y
＝
f
(
x
)在点(
x
0
，
f
(< br>x
0
))处的切线的斜率，即
k
＝
f
?
(< br>x
0
)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(
C
)′＝0(
C
为常数)； ②(
x
?< br>)′＝
?
x
?
?1
(
x
＞0，
?< br>?Q
)；
③(sin
x
)′＝cos
x
； ④(cos
x
)′＝－sin
x
；
⑤(e
x
)′＝e
x
； ⑥(
a< br>x
)′＝
a
x
ln
a
(
a
＞0，且
a
≠1)；
1
1
⑦
(lnx)?
； ⑧
(log
a
x)?
(
a
＞0，且
a
≠1 )．
xlna
x
(2)导数的运算法则：
①[
u
(x
)±
v
(
x
)]′＝
u
′(
x)±
v
′(
x
)；

②[u
(
x
)
v
(
x
)]′＝
u
′(
x
)
v
(
x
)＋
u
(
x)
v
′(
x
)；
③
[

5. 设函 数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u?
x< br>?
?
?(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
的 对应点
u
处有导数
在点
x
处也有导数，且
y'
x< br>?y'
u
?u'
x
或
y?
u
?f?
?
u
?
，则复合函数
y?f(
?
(x))
u(x )u
?
(x)v(x)?u(x)
?
v
?
(x)
]
?
?(v(x)?
?
0)
.
v(x)v
2
(x)
f?
x
(
?
(x))?f?(u)?
?
? (x)
。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导
数，乘以中间变量对自变量的 导数。

6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函 数，
下方函数的选取，以及区间的分割.微积分基本定理
?


b
a
f(x)dx?F(x)|
b
?F(b)?F(a)
.
a
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
5

7. 函数的单调性
（1）设函数
y?f(x)
在某个区间 （a，b）可导，如果
f
'
(x)
?0
，则
f(x)
在此区间上为
增函数；如果
f
'
(x)?0
，则
f(x)
在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间内恒有
f
'
(x)?0
，则
f(x)
为常数。
★★★反之，若已知可导函数
y?f(x)
在某个区间上单调递增，则
恒为零；可导函数
y?f(x)
在某个区间上单调 递减，则
求单调性的步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)?0或f'(x)?0
；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间 形式，不要写范围形式），区间之间用“，”
★隔开，不能用“”连结。
8. 极值与最值
对于可导函数
f(x)
，在
x?a
处取得极值，则
f'(a )?0
.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若
f(x)
在开区间
(a,b)
有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数
y?f(x)
的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式
f'(x)=0
；
③ 检验
f'(x)=0
的根的两侧的
f'(x)
符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，
还是非极值点.
求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切
忌直接说某某就是最大 或者最小。
9. 恒成立问题 “
f(x)?a?f(x)
max
?a”和“
f(x)?a?f(x)
min
?a
”，注意参数的
取值 中“=”能否取到。
例1
y?
f'(x)
?
0
，且不
f'(x)
?
0
，且不恒为零.
1
3
8
x
，过
P(2 , )
的切线方程为
3
3
例2 设函数
f(x)?2x
3
?3ax
2< br>?3bx?8c
在
x?1,x?2
处取得极值。
（1）求
a,b
的值；
（2）若对于任意的
x?[0,3]
，都有
f(x)?c
2
成立，求c的取值范围。
6

< br>（答：(1)a=-3,b=4;(2)
c?(??,?1)(9,??)
）
1
例3 设函数
f(x)??x
3
?2ax
2
?3 a
2
x?b,0?a?1.

3
（1）求函数
f(x)
的单调区间、极值.
（2）若当
x?[a?1,a?2]
时，恒有
|f
?
(x)|?a
，试确定a的 取值范围.
（答：（1）
f(x)
在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（ 3a，+∞）上单调递减；
x?a
44
时，
f
极小
(x)? b?a
3
，
x?3a
时，
f
极小
(x)?b
（2）a的取值范围是
[,1)
）
3
5

第二章 推理与证明
1. 分清概念：合情推理与演绎推理
2. 综合法 分析法的步骤规范
3. 反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论
4. 数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤
（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1） （2），结论对于
n?N*
(或者其他)
成立，必不可少）
sin
?
例1 用综合法和分析证明
2sin2
?
?

1?cos
?
例2 已知
a?b?c?0，求证：ab?bc?ca?0

3a
n
1
例3
数列
?
a
n
?< br>中，a
1
?,a
n?1
?
，求
a
2
,a
3
,a
4
的值，由此猜想
?
a
n
?< br>的通项公式，并
2a
n
?3
证明。
3
（答：
a
n
?
）
n?5

第三章 数系的扩充与复数的引入
1. 复数的概念 三种表示形式：代数形式：
z ?a?bi
，复平面内点Z(a,b)，向量
OZ
.
2. 区分实数，虚数，纯虚数，复数
3. 复数的四则运算及其几何意义
4. 复数的模
例1
a?bi?c?di
（
a,b,c,d?R
）的充要条件是_ ________________________
例2 设复数
z
满足条件
z?1,
那么
z?22?i
的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）
1?22
（D）
23


例3 实数
m
为何值时，复数
z?m
2
?
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限.
z
2
?az?b
例4．已知
z?1?i，a，b
为实数．（1）若
?
?z?3z?4
，求
?
；（2）若
2
?1?i
，< br>z?z?1
求
a
，
b
的值．
2
m?6?
1
?
?i
?
?(8m?15)i?
．
m?5m?5
??
7

选修2-3
第一章．计数原理
一、计数原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
m
列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
n
.

m
1.公式：1.
A
n
?n
?
n?1
??
n?2?
……
?
n?m?1
?
?
n!

?
n?m
?
!

2.
规定：0!?1

(1)
n!?n?(n?1)!,(n?1)?n!?(n?1)!

(2)
n?n!?[(n?1)?1]?n!?(n?1)?n!?n!?(n?1)!?n!
；
(3)
nn?1?1n?1111

?????
(n?1)!(n? 1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!
三．组合：
从n个不同元素中任取m（m≤ n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.

n
?
n?1
?
……
?< br>n?m?1
?
A
m
n!
1. 公式：
C?n
??
m!m!
?
n?m
?
!
A
m< br>m
m
n

0

规定：C
n
?1

mn?mmm?1m01n

2.组合数性质：

C
n
?C
n
，C
n
?C
n
?C
n
…?C
n
?2
n

?1
，C
n
?C
n
?…
①；②；③
rrr ?1rr
C
n?1
?C
n
?C
r?1
?C
r?1
?C
r?2
?
；④
rrr?1r
C
n?1< br>?C
n
?C
r?2
?C
r?2
?

rrr?1

C
n?1
?C
n
? C
n?1
注：C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
?
m
1
m
2
若< br>C
n
?C
n
则m
1
=m
2
或m1
+m
2
?n

四．处理排列组合应用题
1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略


8

（1）两种思路：①直接法；
②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑 ，再把不符合条件的所有情况去掉。这
是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2） 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗 漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题 总体不好解决时，常常分成若干步，再由
分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又 要分步。其
原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；
(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
例1.电视台连续播放6个广告，其中含4 个不同的商业广告和2个不同的公益广告，
要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表
示）.
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A
2
2
种；中间4个为不同的商业广告有A
4
4
种，
从而应当 填 A
2
2
·A
4
4
＝48. 从而应填48．
例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
6554
解一：间接法：即
A
6
?A
5
?A
5
?A
4
?720?2?120?24?504

解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.
5
(1) 甲排在最右端时,有
A
5
种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时， 则
114114
甲有
A
4
种排法，乙有
A
4
种排法，其他人有
A
4
种排法，共有
A
4
种排法，分类相 加
A
4
A
4
5114
得共有
A
5
+
A
4
=504种排法
A
4
A
4
（3）．相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求 相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元
素与其余元素排列，然后再对相邻元 素内部进行排列。
（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时 可采用
插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素
之间及 两端的空隙之间插入。
（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某 几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进
行全排列，然后用总的排列数除于 这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素
的全排列。
解法二：在总位置中选出定序 元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的
几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到 右或从右到左排列，则只有1种排法；
若不要求，则有2种排法；
例.有4个男生，3个女生 ，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生
从矮到高排列，有多少种排法？
4
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A
7
种排法.剩余的3个位置排女生 ，
4
因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A
7
·1=840种.

9

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 < br>对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元
素与其余元 素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。
⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。
⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和 5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则
不同的取法共有
解析1 ：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视
333
机，故不 同的取法共有
C
9
?C
4
?C
5
?70
种 ,选.
C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2 台；甲型2
2112
台乙型1台；故不同的取法有
C
5
C
4
?C
5
C
4
?70
台,选
C
.
（2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法:
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各
选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中
必须既有男生又有女生，有 种选法
分析：本题考查 利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，
所以是组合问题.
2< br>解：（1）先从男生中选2人，有
C
5
2
种选法，再从女生中选2人， 有
C
4
种选法，所以共
2
有
C
5
2
C
4
=60（种）；
22
（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的 7人中任意选择，所以共有
C
2
C
7
=21
（种）； （3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：
44
= 91（种）；
C
9
?C
7
直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙 ；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数
131322332
=91（种）.
C1
C
7
?C
1
C
7
?C
2
C
7
?C
7
?C
7
?C
7
（4）在9人选4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数
444
=120（种）. < br>C
9
?C
5
?C
4
直接法：分别按照含男生1、2、 3人分类，得到符合条件的选法为
132231
=120（种）.
C
5C
4
?C
5
C
4
?C
5
C
4

10

3．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
4．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（ 不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分
堆后排，注意平均分堆除以均匀 分组组数的阶乘。
5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
五． 二项式定理
n1n?1n?22n
1.
(a?b)
n
?C
0
b?C
2
b?…?C
r
n
a
n?r
b
r< br>?…?C
n
n
a?C
n
a
n
a
n< br>b

2.
二项展开式的通项公式：T
r?1
?C
r< br>n
a
n?r
b
r
(r?0，1……n)

它是(a+b)
n
的二项展开式的第r+1项，而不是第r项； （r=0的情形不要忽视 ）
r

C
n
为二项式系数（区别于该项的系数）
3二项式定理的应用
① 求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为
整数；
② 证明整除或求余数；
③ 利用赋值法证明某些组合恒等式；
④ 近似计算。
?r
4.二项式系数的性质：
（1）对称性：C
r
n
?C
n?
r?0，1，2，……，n
?

n
01n

（2）二项式系数和：C
n
?C
n
?…?C
n
?2
n

35024n?1
（3）
C
1

n
?C
n
?C
n
? …?C
n
?C
n
?C
n
?…?2
（4）最值： < br>①n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2

?
?1
?
项，二项式系数为C
n
；
?
2
?
n
②
n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式系数 最大即第
n?1n?1

项及第?1项，
22
其二项式系数为Cn?1
2
n
?C
n?1
2
n

5．区分（1）某一项的二项式系数与系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二 项式的两个项的系数都为1时，系数
就是二项式系数。如在
１项的系数为；而
的展开式 中，第ｒ＋１项的二项式系数为
的展开式中的系数就是二项式系数；
，第ｒ＋
（2）二项式系数最大项与系数最大项
①二项式系数最大项是中间项
11

T
k?1
的系数?T
k
的系数求k。再②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组
?
?
?
T
k?1
的系数?T
k?2
的系数
求第k+1项值。
③ 系数的绝对值最大的项.
（a?bx)
n
,(a?0,b?0)
二项展开式的 系数绝对值最大项的求
法，设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻 两项系
?
T
k?1
的系数?T
k
的系数
求r 数的 绝对值，即由
?
?
?
?
T
k?1
的系数?T
k?2
的系数
注意：
（a?bx)
n
,(a?0,b?0)
二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先求系
数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第 r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则
它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负， 则它为展开式中系数最小的项
（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和
01n二项式系数和：C
n
?C
n
?…?C
n
?2
n

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。
注意：< br>f(x)?(a?bx)
n
?a
0
?a
1
x?a2
x
2
?a
3
x
3
?
令x?1得：a
0
?a
1
?a
2
?a
3
?
令x? ?1得：a
0
?a
1
?a
2
?a
3
?①+②
得：a
0
?a
2
?a
4
?
2< br>①-②
得：a
1
?a
3
?a
5
?
2
?
?a
k
x
k
?
①
?a
n
x
n


?a
k
?
?a
k
?< br>?a
n
?f(1)
n
?(?1）a
n
?f(?1)②
f(1)+f(?1)
2

f(1)-f(?1)
?
2
a
0
?f(0)
注意：（1）
（a?bx)
n
,(a?0,b?0)
二项展开式的各项系 数绝对值的和相当于
n
x=-1即可。
（a?bx),(a?0b,?
的各 项系数的和。即令原式中的
0
（2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是 二项
式系数？


A B

图1
第二章 随机变量及其分布
六．事件分类
（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。

（3）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·B??

。
（4）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一 个发生”叫做A与B
的和（并）
（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫 做A与B的积。

12

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A
A?A??，A?A??

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事
件叫做相
互独立事件。
A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。


七 对某一事件概率的求法：
（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)
即分类相加

（3）若A、B相互独立，则P
?
A·B
?
?P
?
A?
·P
?
B
?
即分步相乘

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发
生k次的概率。 kk
即当X～B(n,p)时，
P
n
(k)?C
n
p< br>?
1?p
?
n?k

八.离散型随机变量
1.在 的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序
一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量．
2.离散型随机变量的分布列
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
, ,x
i
, ,x
n

X取每一个值xi(i=1,2,）的概率 P(X=x
i
）＝P
i
，
则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
性质：① 0≤pi≤1, i =1，2， … ② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．
③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概
率之和。
3.公式：期望或平均数、均值 E(X)＝x
1
p
1
＋x
2
p
2
＋…＋x
n
p
n

方差:DX=（x
1
-E(X))
2
·P
1
+ （x
2
-E(X))
2
·P
2
+ … + （x
n
-E(X))
2
·Pn
说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
(2) D X的算术平方根
D(X)
为随机变量X的标准差，
(3)、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程
度。
(4)性质：
E
?
aX?b
?
?aE(X)?b

13

2
D
?
aX?b
?
?a< br>2
D(X)

D(X)?EX?
?
E(X)
?

2
4．二项分布：在n次独立重复试验中，一次试验中某事件A发生的概率是p, 某事件
A发生的次数为X，
kkn?k
则在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k次的概率为p(X=k)=
C
n
pq
,
X
p
X的分布列为
0
00n
C
n
pq

1 … xi … N
nn
C
n
p

11n?1
C
n
pq

…
kkn?k
C
n
pq

…
此时称ξ服从二项分布，记作X～B(n,p).
若X～B(n,p)，则EX=np ,DX=np（1-P）


14