人教版高中数学选修2-1知识点小结

选修2-1知识点
选修2-1
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”：
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的逆命题为“若
q
，则
p
”. < br>4、若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p< br>，则
?q
”.
5、若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的逆否命题为“若
?q
，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、
p
是
q
的充要条件：
p?q


p
是
q
的充分不必要条件：
p?q
，
q??p

p
是
q
的必要不充分条件：
p??q,q?p


p
是
q
的既不充分不必要条件：
p??q,q??p

8、逻辑联结词：
（1）用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．全真
则真，有假则假。
（2） 用联结词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．全假
则假，有真则真。
（2）对一个命题
p
全盘否定，得 到一个新命题，记作
?p
．真假性相反
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
．全称命题的否定
是特称命题．

第二章 圆锥曲线与方程
1、椭圆定义：平面内与两个定点F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1< br>F
2
）的点的
轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭 圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：

1

焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b


y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a ,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距 离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的点的轨
迹称为 双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方程


y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2< br>b
2
y??a
或
y?a
，
x?R

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
< br>a
2
b
2
x??a
或
x?a
，
y? R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2< br>?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?< br>、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
F
2
?2c
?c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
2
y??
a
x

b

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个 定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F< br>称
为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
7、过抛物线的焦 点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称 为抛物线的
“通径”，即
???2p
．
8、焦半径公式：
p
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
??2px
?
p ?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??x
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0< br>?
在抛物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物 线
x
2
??2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?
．
2
9、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y< br>2
?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则< br>?F?x
0
?
图形

顶点



?
0,0
?

x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围
解题注意点：
x?0

x?0

y?0

y?0

1、“回归定义” 是一种重要的解题策略。如：
（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角
形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的
距离 转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
2、直线与圆锥曲线的位置关系

3

（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关 系有三种情况：相交、
相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在 和双曲线和抛物线方
程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件 分别是
??0
、
??0
、
??0
.
应注意数形结 合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的
位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中 点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
x
1
?x
2
y?y2
y?y
?2x
0
,
1
?2y
0
,< br>21
?k
）
22x
2
?x
1
（2）有关弦 长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
① 直线具有斜率
k
，两个交点坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

2
AB?1?
k
2
x
1
?x
2
?(1?
k
2
)
?
?
(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
?
?1?
1
y
1
?y
2

k
2
② 直线斜率不存在,则
AB?y
1
?y
2
.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（
k
1
k
2
??1
）
注: 1.圆锥曲线， 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练
掌握方程组理论，又关注图 形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线 中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；
二是建立不等式，通 过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利
用动点 与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。
例1.已知定点
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，在满足下列条件的平 面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；
A．
PF
B．
PF
C．
PF
D．
PF
1
1
?PF
2
?10
1
?PF
2
?4
1
?P F
2
?6
2
?PF
2
2
?12

?
例2已知双曲线的离心率为2，F
1
、F
2
是左右焦点，P为双曲 线上一点，且
?F
1
PF
2
?60
，
S
? PF
1
F
2
x
2
y
2
?1
）
?123
．求该双曲线的标准方程（答：
?
412
例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆分 方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值
x
2
1
?y
2
?1; m?(,2)
） 范围。（答：
3 2
y
2
?1
相交于两点例4过点A（2，1）的直线与双曲线
x?< br> P
1
、P
2
，求线段P
1
P
2
中 点的轨迹方程。
2
2

4