北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
高中数学选修2-2测试题全套及答案
模块综合测评
(时间150分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一 项是符合题目要求的)
1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A.－1 B.1
C.－2 D.2
【解析】 z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.
【答案】 B
1
2.已知复数z＝
，则z·i在复平面内对应的点位于( )
1＋i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1－i
111
【解析】 ∵z＝＝
2
，∴z＝
2
＋
2
i，
1＋i
11
∴z·i＝－
2
＋
2
i.
【答案】 B
3.观察：6＋15<211，5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2 <211，……，对于
任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是( )
A.a＋b＝22 B.a＋b＝21
＝20 ＝21
【解析】 由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.
【答案】 B
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A.－e B.－1
C.1 D.e
【解析】 ∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
1
∴f′(x)＝2f′(1)＋
x
，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1.
【答案】 B
5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条
直线 .写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A.②①③ B.③②①
C.①②③ D.③①②
【解析】 该三段论应为：一次函数的图像是一条直线 (大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小
前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).
【答案】 D
6.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图1所示，则( )

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
图1
A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
【解析】 根据极值的定义及判断方法，检 查f′(x)的零点左右值的符号，如果左正右负，
那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正 ，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右
都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不 是极值.由此可见，x
2
是函数f(x)的极大值点，
x
3
是极小值 点，x
1
，x
4
不是极值点.
【答案】 A
7.曲线y ＝e
x
在点(2，e
2
)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
9
A.
4
e
2
B.2e
2

e
2
2
C.e
D.
2

【解析】 ∵f ′(x)＝e
x
，∴曲线在点(2，e
2
)处的切线的斜率为k＝f′(2) ＝e
2
，切线方程为y
－e
2
＝e
2
(x－2)， 即e
2
x－y－e
2
＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1，0) ，B(0，－e
2
)，
2
1
2
e
则切线与坐标轴围 成的△OAB的面积为
2
×1×e＝
2
.
【答案】 D
8.已知数列1，a＋a
2
，a
2
＋a
3
＋a
4< br>，a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
，…， 则数列的第k项是( )
＋
A.a
k
＋a
k1
＋…＋a
2k
B.a
k
－
1
＋a
k
＋…＋a
2k
－
1

C.a
k
－
1
＋a
k
＋…＋ a
2k

D.a
k
－
1
＋a
k
＋ …＋a
2k
－
2

【解析】 由归纳推理可知，第k项的第一个数为a
k
－
1
，且共有k项.故选D.
【答案】 D
9.函数f(x)＝ax
3
－x在R上为减函数，则( )
A.a≤0 B.a<1
1
C.a<2 D.a≤
3

【解析】 由题意可知f′(x)＝3ax
2
－1≤0在R上恒成立，则a≤0.
【答案】 A
11
1
0
x
3
dx，
10 .设a＝
?
1
0
x－
3
dx，b＝1－
?
1
x
2
dx，c＝
?
则a，b，c的大小关系( )
?
?
?
0
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.b>c>a
2
1
13
3
?
3
1
【解析】 由题意可得 a＝
?
x－
3
dx＝
2
x
?＝
2
；
?
0
?
0
13
22
?
1
2< br>?
2
?
1
b＝1－
?
1
xdx＝1－
3
x
?＝1－
?
3
－0
?
＝
3
；
??
?
0
?
0

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
4
?
x1< br>c＝
?
1
x
3
dx＝
4
?＝
4.综上，a>b>c.
?
?
0
0
1
【答案】 A < br>11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1
111
＋
2
＋
3
＋…＋
n
增加的项数是( )
2
－1
A.1 B.2
k
＋1
C.2
k
－1 D.2
k

111
【解析】 ∵f(k)＝1＋
2
＋
3
＋…＋
k
，
2
－1
111111
又f(k＋1)＝1＋
2
＋
3
＋…＋k
＋
2
k
＋
k
＋…＋
k
＋
1
.
2
－1
2
＋1
2
－1
从f(k)到f (k＋1)是增加了(2
k
＋
1
－1)－2
k
＋1＝2k
项.
【答案】 D
f（a）＋f（b）
12.已知函数f(x)＝ x
3
－ln(x
2
＋1－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则< br>a＋b
的值为( )
A.恒正 B.恒等于0
C.恒负 D.不确定
【解析】 可知函数f(x)＋f(－x)＝x
3
－ln(x
2
＋1 －x)＋(－x)
3
－ln(x
2
＋1＋x)＝0，
所以函数为奇函数，同时，
f（a）＋f（b）f（a）－f（－b）
1
2
f′(x)＝3x
＋
2
>0，f(x)是递增函数，
＝，所以
a＋ba－（－b）
x
＋1
f（a）＋f（b）
>0，所以选A.
a＋b
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
3＋i< br>13.复数
i
2
(i为虚数单位)的实部等于________.
3＋i
【解析】 ∵
i
2
＝－3－i，∴其实部为－3.
【答案】 －3
14.观察下列等式：1
3
＋2
3
＝3< br>2
，1
3
＋2
3
＋3
3
＝6
2，1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＝10< br>2
，……，根据上述
规律，第五个等式为________.
【解析】 第n 个等式左边为1到n＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n＋1)的平方，
所以第五个等式为1< br>3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＋5
3＋6
3
＝21
2
.
【答案】 1
3
＋23
＋3
3
＋4
3
＋5
3
＋6
3
＝21
2

1
15.曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝
2
围成的封闭图形的面积为__________.

1π5π
【解析】 由于曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝
2
的 交点的横坐标分别为x＝
6
及x＝
6
，

北师大版高中 数学选修2-2测试题全套及答案
5π
?
5π
?
1
?1
?
?
6
?
?
因此所求图形的面积为
6
?
sin x－
2
?
dx＝
?
－cos x－
2
x
?
＝
????
π
?
?
π
??
6
6
【答案】
π
3－
3

π
3－
3
.
16.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x) ＝e
－
x
－
1
－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方
程是________.
【解析】 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝e
x
－
1
＋x.
∵f(x) 为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝e
x
－
1
＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝e
x
－
1
＋1，
∴f′(1)＝e
1
－
1
＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为
y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
【答案】 2x－y＝0
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
（1 ＋i）
2
＋3（1－i）
17.(本小题满分10分)设复数z＝
，若z2
＋az＋b＝1＋i，求实数a，
2＋i
b的值.
（1＋i）
2
＋3（1－i）
2i＋3－3i3－i
【解】 z＝＝＝

2＋i2＋i2＋i
（3－i）（2－i）
5－5i
＝＝
5
＝1－i.
5
因为z
2
＋az＋b＝(1－i)
2
＋a(1－i)＋b
＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，
?
a＋b＝1，< br>?
a＝－3，
所以
?
解得
?

－（2＋a） ＝1，
b＝4.
??
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x
3< br>＋3ax
2
＋3x＋1.
(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围.
【解】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x
3
－32x
2
＋3x＋1，
f′(x)＝3x
2
－62x＋3.
令f′(x)＝0，得x
1
＝2－1，x
2
＝2＋1.
当x∈(－∞， 2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；
当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2－1, 2＋1)上是减函数；
当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数.
5
(2)由f(2)≥0，得a≥－
4
.
5
当a≥－
4
，x∈(2，＋∞)时，
5
??
f ′(x)＝3(x
2
＋2ax＋1)≥3
?
x
2
－
2
x＋1
?

??
?
1
?
＝3
?
x－
2
?
(x－2)＞0，
??

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0. < br>?
5
?
综上，a的取值范围是
?
－
4
，＋∞
?
.
??
19.(本小题满分12分)设等差数列{a
n
}的公差为d，S
n
是{a
n
}中从第2
n
－
1< br>项开始的连续2
n
－
1
项的和，即
S
1
＝a
1
，
S
2
＝a
2
＋a
3
，
S
3＝a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
，
……
S
n
＝a
2n
－
1
＋a
2 n
－
1
＋
1
＋…＋a
2n
－
1
，
……
若S
1
，S
2
，S
3
成等比数列， 问：数列{S
n
}是否成等比数列？请说明你的理由.
【解】 ∵S
1
，S
2
，S
3
成等比数列，
2
∴ S
1
＝a
1
≠0，且S
1
·S
3
＝S2
，
2
由S
1
·S
3
＝S
2
2
，得a
1
(a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
)＝(a
2
＋a
3
)
，
322
即a
1
(4a
1
＋18d)＝(2a
1
＋ 3d)
，2a
1
d＝3d.∴d＝0或a
1
＝
2
d .
当d＝0时，S
n
＝2
n
－
1
a
1< br>≠0，
S
n
＋
1
2
n
a
1
S
n
＝
2
n
－
1
a
1
＝2(常 数)，n∈N
＋
，{S
n
}成等比数列；
3
当a
1
＝
2
d时，
n
－
1n
－
1
2
（2－1）
－
n1
S
n
＝ a
2n
－
1
＋a
2n
－
1
＋
1< br>＋a
2n
－
1
＝2a
2n
－
1
＋d
2
n
－
1n
－
1
2
（2－1）
＝ 2
n
－
1
[a
1
＋(2
n
－
1< br>－1)d]＋
d
2
3
?
3
?
3
－
＝2
n
－
1
?
2
d·2
n1
＋a
1
－
2
d
?
＝
2
d·4
n
－
1
≠0，
??
3
n
2
d·4
Sn
＋
1
＝4(常数)，n∈N
＋
，{S
n
}成 等比数列.
S
n
＝
3
－
n1
d·4
2< br>综上所述，若S
1
，S
2
，S
3
成等比数列，则{S
n
}成等比数列.
20.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x－m
2
＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋
∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式；
19
(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3
＋
x
2
－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在x＝0 处有极
42
值，求a的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
所以－m
2
＋2m＋3>0，即m
2
－2m－3<0，
所以－1而m＝0，2时，f(x)＝x
3
不是偶函数，m＝1时，
f(x)＝x
4
是偶函数，
所以f(x)＝x
4
. 19
(2)由(1)知g(x)＝
4
x
4
＋ax
3＋
2
x
2
－b，
则g′(x)＝x(x
2
＋ 3ax＋9)，显然x＝0不是方程x
2
＋3ax＋9＝0的根.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
为使g(x)仅在x＝0处有极值，
必须x
2
＋3ax＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a
2
－36≤0，解不等式得a∈[－2，2].
这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2，2].
1
?
1
?
21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a
n
}中，数列的前n项和S< br>n
满足S
n
＝
2
?
a
n
＋
a
?
.
?
n
?
(1)求a
1
，a
2
，a
3
；
(2)由(1)猜想到数列{a
n
}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
1
?
1
?
【解】 (1)由S
1
＝a
1< br>＝
2
?
a
1
＋
a
?
，得a
2
1
＝1，
?
1
?
因为a
n
>0，所以a
1
＝1.
1
?
1
?
2
由S
2
＝a
1
＋a
2
＝
2
?
a
2
＋
a
?，得a
2
＋2a
2
－1＝0，所以a
2
＝2－1， < br>?
2
?
1
?
1
?
由S
3
＝ a
1
＋a
2
＋a
3
＝
2
?
a3
＋
a
?
，
?
3
?
得a
2
3
＋22a
3
－1＝0，所以a
3
＝3－2.
(2)猜想a
n
＝n－n－1(n∈N
＋
).
证明：①当n＝1时，
a
1
＝1－0＝1，命题成立；
②假设n＝k(k≥1，k∈N
＋
)时，
a
k
＝k－k－1成立，
则n＝k＋1时，
a
k
＋
1
＝S
k
＋
1
－S
k

1< br>?
1
?
1
?
1
?
＝
2
?< br>a
k
＋
1
＋
a
?
－
2
?< br>a
k
＋
a
?
，
?
k
?
k
＋
1
??
1
?
1
?
a＋
?
k
＋
1
即a
k
＋
1
＝
2
a
k
＋
1
?
??
1
?
1
?< br>k－k－1＋
?

－
2
?
k－k－1
??< br>1
?
1
?
＝
2
?
a
k
＋< br>1
＋
a
?
－k，
k
＋
1
??所以a
2
k
＋
1
＋2ka
k
＋
1－1＝0.
所以a
k
＋
1
＝k＋1－k，
则n＝k＋1时，命题成立.
则①②知，n∈N
＋
，a
n
＝n－n－1.
x
－
1
be
22.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ae
x
ln x＋
x
，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程
为y＝e(x－1)＋ 2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
abb
f′(x)＝ae
x
ln x＋
x
e
x－
x
2
e
x
－
1
＋
x
ex
－
1
.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.
2
(2)证明：由(1)知，f(x)＝e
x
ln x＋
x
e
x
－
1
，

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
2
从而f(x)>1等价于xln x>xe
－
x
－
e
.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
1
??
所以当x∈
?
0，e
?
时，g′(x)<0；
??
?
1
?
当x ∈
?
e
，＋∞
?
时，g′(x)>0.
??
1< br>???
1
?
故g(x)在
?
0，
e
?
上单调递减，在
?
e
，＋∞
?
上单调递增，从而g(x)在(0， ＋∞)上的最小值
????
1
?
1
?
为g
?
e
?
＝－
e
.
??
2
－
x
设 函数h(x)＝xe－
e
，则h′(x)＝e
－
x
(1－x).
所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
1
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－
e
.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.


章末综合测评(一) 推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 )
1.下面四个推理不是合情推理的是( )
A.由圆的性质类比推出球的有关性质
B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的
内角 和都是180°
C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都
是用肺呼吸的
【解析】 逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各
个学生的 成绩不能类比，不是合情推理.
【答案】 C
2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是 异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的
过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线.
则正确的序号顺序为( )
A.①②③ B.③①②
C.①③② D.②③①
【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
【答案】 B
3.下列推理是归纳推理的是( )

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B .由a
1
＝1，a
n
＝3n－1，求出S
1
，S
2
，S
3
，猜想出数列的前n项和S
n
的表达式
x
2
y
2
2222
C.由圆x
＋y＝r的面积πr，猜出椭圆
a
2
＋
b
2
＝1的面积S＝πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】 由归纳推理的特点知，选B.
【答案】 B
4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( )
A.假设a，b，c都小于0
B.假设a，b，c都大于0
C.假设a，b，c中都不大于0
D.假设a，b，c中至多有一个大于0
【解析】 用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成
立. 而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.
【答案】 C
5.用数 学归纳法证明“5
n
－2
n
能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了 使用假设，
应将5
k
＋
1
－2
k
＋
1变形为( )
A.(5
k
－2
k
)＋4·5
k－2
k

B.5(5
k
－2
k
)＋3·2
k

C.(5－2)(5
k
－2
k
)
D.2(5
k
－2
k
)－3·5
k

【解析】 5
k
＋
1
－2
k
＋
1
＝5
k
·5－2
k
·2＝5
k
·5－2
k
·5＋2
k
·5－2
k
·2＝5(5
k
－2
k)＋3·2
k
.
【答案】 B
11
?
1111?
1
＋＋…＋
6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－
2
＋
3
－
4
＋…－
n
＝2
?
n＋2n＋4时，
2n
?
??
若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还 需要用归纳假设再证n＝________时等式
成立.( )
A.k＋1
B.k＋2
C.2k＋2
D.2(k＋2)
【解析】 根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，
故选B.
【答案】 B
7.已知{b
n
}为等比数列，b
5
＝2， 则b
1
·b
2
·b
3
·b
4
·b
5
·b
6
·b
7
·b
8
·b
9
＝ 2
9
.若{a
n
}为等差
数列，a
5
＝2，则{a
n
}的类似结论为( )
A.a
1
a
2
a3
…a
9
＝2
9

B.a
1
＋a2
＋a
3
＋…＋a
9
＝2
9

C.a
1
a
2
a
3
…a
9
＝2×9
D .a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
9
＝2×9
【解析】 根据等差、等比数列的特征知，a
1
＋a
2
＋…＋a9
＝2×9.
【答案】 D
8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意
取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就 将另一个球放入乙盒，否则就
放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】 取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； < br>④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①
和②的 情况一样多，③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.
①和②出现的次数是一 样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影
响次数一样.
综上，选B.
【答案】 B
9.在等差数列{a
n
}中，若a
10
＝0 ，则有等式a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
19
－
n
(n<19且
n∈N＋
)成立，类比上述性质，在等比数列{b
n
}中，若b
11
＝ 1，则有( )
A.b
1
·b
2
·…·b
n
＝ b
1
·b
2
·…·b
19
－
n

B.b
1
·b
2
·…·b
n
＝b
1
·b< br>2
·…·b
21
－
n

C.b
1
＋ b
2
＋…＋b
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b< br>19
－
n

D.b
1
＋b
2
＋…＋ b
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
21
－
n

【解析】 令n＝10时，验证即知选B.
【答案】 B
10.将 石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构
成，此数列的 第2 016项与5的差，即a
2 016
－5＝( )
图1
A.2 018×2 014 B.2 018×2 013
C.1 010×2 012 D.1 011×2 013
【解析】 a
n
－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2
个.
（n－1）（n＋6）
∴a
n
－5＝
，∴a
2 016
－5
2
2 015×2 022

2
＝2 013×1 011.
【答案】 D
11.在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1
，a
2
)出发沿图2中路线依次经过B(a
3
，a
4
)，
C(a
5
，a
6
)，D(a
7
，a< br>8
)，…，按此规律一直运动下去，则a
2 015
＋a
2 016
＋a
2 017
＝( )
＝

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
图2
A.1 006 B.1 007
C.1 008 D.1 009
【解析】 依题意a
1
＝1，a
2
＝1；a
3
＝－1，a
4
＝2；a5
＝2，a
6
＝3；…，归纳可得a
1
＋a
3
＝1－1＝0，a
5
＋a
7
＝2－2＝0，…，进而可归纳得a
2 015
＋a
2 017
＝0，a
2
＝1，a
4
＝2 ，a
6
＝3，…，
1
进而可归纳得a
2 016
＝
2
×2 016＝1 008，a
2 015
＋a
2 016
＋a
2 017
＝1 008.故选C.
【答案】 C
?
a
1
?
a
2
a
3
a
4
?
|
?
，
＋＋＋
a∈T，i＝1， 2，3，4
12.记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝
1010< br>2
10
3
10
4
i
??
将M中的元素按从大 到小排列，则第2 016个数是( )
7984
A.
10
＋
1 0
2
＋
10
3
＋
10
4

5572
B.
＋
2
＋
3
＋
4
< br>10101010
5573
C.
10
＋
10
2
＋
10
3
＋
10
4

7991
D.10
＋
10
2
＋
10
3
＋
10
4

a
1
a
2
a
3
a
4
【解析】 因 为
10
＋
10
2
＋
10
3
＋
10
4

1
＝
10
4
(a
1
×10< br>3
＋a
2
×10
2
＋a
3
×10
1
＋a
4
)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从
大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，
所 以a
1
＝7，a
2
＝9，a
3
＝8，a
4
＝4.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已 知圆的方程是x
2
＋y
2
＝r
2
，则经过圆上一点M(x< br>0
，y
0
)的切线方程为x
0
x＋y
0
y＝ r
2
.类
x
2
y
2
比上述性质，可以得到椭圆a
2
＋
b
2
＝1类似的性质为__________.
【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x
0
，y
0
)的切线方程 就是将圆的方程中的一个x
x
2
y
2
x
2
与y分别 用M(x
0
，y
0
)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆
a
2
＋
b
2
＝1类似的性质为：过椭圆
a
2
＋
y
2
x
0
xy
0
y
2
＝1上一点P(x
0
，y
0
)的切线方程为
2
＋
2
＝1.
bab
x
2
y
2
x
0
xy
0y
【答案】 经过椭圆
a
2
＋
b
2
＝1上一点 P(x
0
，y
0
)的切线方程为
a
2
＋
b
2
＝1
14.观察下列等式：
1
3
＝1，
1
3
＋2
3
＝9，
1
3
＋2
3
＋3
3
＝36，
1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＝100，
……
照此规律，第n个等式可为__________.
?
1
?
2< br>?
1
?
2
333
【解析】 依题意，注意到1＝
?< br>2
×1×（1＋1）
?
，1＋2＝
?
2
×2×（2＋ 1）
?
＝9，
????
1
?
2
333
?< br>1
＋2＋3＝
?
2
×3×（3＋1）
?
＝36，…… ，照此规律，第n个等式可为1
3
＋2
3
＋3
3
＋…＋n< br>3
??

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
?1
?
2
＝
?
2
n（n＋1）
?
.
??
?
1
?
2
【答案】 1＋2＋3＋…＋n＝
?
2
n（n＋1）
?

??
15.当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a
2
－b
2
，当n＝2时，有 (a－b)(a
2
＋ab＋b
2
)＝a
3
－b
3< br>，当
n＝3时，有(a－b)(a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
)＝a
4
－b
4
，当n∈N
＋< br>时，你能得到的结论是__________.
【解析】 根据题意，由于当n＝1时，有(a －b)(a＋b)＝a
2
－b
2
，当n＝2时，有(a－b)(a
2
＋ab＋b
2
)＝a
3
－b
3
，
当n＝ 3时，有(a－b)(a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
)＝a
4
－b
4
，
当n∈N
＋
时，左 边第二个因式可知为a
n
＋a
n
－
1
b＋…＋ab
n
－
1
＋b
n
，那么对应的表达式为(a
－b)·(an
＋a
n
－
1
b＋…＋ab
n
－
1< br>＋b
n
)＝a
n
＋
1
－b
n
＋1
.
【答案】 (a－b)(a
n
＋a
n
－
1
b＋…＋ab
n
－
1
＋b
n
)＝a
n< br>＋
1
－b
n
＋
1

16.如图3，如果一个 凸多面体是n(n∈N
＋
)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的
直线共有__ ______条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝______ ____.(答
案用数字或n的解析式表示)
3333
图3

n（n－3）
＝
2
【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角 线数＝n＋n＋
n（n＋1）4×1
.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4 ×2＋
2
×2＝12，所以f(n)
2
n（n－3）n（n－1）（n－2）
＝n(n－2)＋
·(n－2)＝.
22
n（n＋1）n（n－1）（n－2）
【答案】 12
22
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
a＋blg a＋lg b
(1)如果a，b>0，则lg
2
≥；
2
(2)6＋10>23＋2.
a＋b
【证明】 (1)当a，b>0时，有≥ab，
2
a＋b
∴lg
2
≥lgab，
a＋b
1
lg a＋lg b
∴lg
2
≥
2
lg ab＝.
2
(2)要证6＋10>23＋2，
只要证(6＋10)
2
>(23＋2)
2
，
即260>248，这是显然成立的，
所以，原不等式成立.
18.(本小题满分12分)观察以下各等式：

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
3
sin
2
30°＋cos
2
60°＋sin 30°cos 60°＝
4
，
3
sin
2
20°＋cos
2
50°＋sin 20°cos 50°＝
4
，
3
sin
2
15°＋cos
2
45°＋sin 15°cos 45°＝
4
.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
3
【解】 猜想：sin
2
α
＋cos
2
(α＋30°)＋sin
α
cos(α＋30°)＝
4
.
证明如下：
sin
2
α
＋cos
2
(α＋30°)＋sin
α
cos(α＋30°)
?
3
?
2
1
2
＝sin
α
＋
?
cos
α
－sin
α
?

2
?
2
?
?
3
?
1
＋sin
α
?
cos
α
－sin
α
?

2
?
2
?
331
＝sin
2
α
＋
4
cos
2
α
－
2
sin
α
cos
α
＋
4
sin
2
α
＋
31
2
sin
α
·cos
α
－
22
sin
α

3
2
32
＝
4
sin
α
＋
4
cos
α

3
＝
4
.
19.(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC ?A
1
B
1
C
1
的侧棱BB
1
上一点，P M⊥BB
1
交AA
1
于点M，PN⊥BB
1
交CC
1
于点N.
(1)求证：CC
1
⊥MN；
(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE
2
＝DF
2
＋EF
2
－2DF·EF· cos∠DFE.扩展到空间类比三
角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成 的二面角之间的关系式，
并予以证明.
【解】 (1)证明：因为PM⊥BB
1
，PN⊥BB
1
，又PM∩PN＝P，
所以BB
1
⊥平面PMN，所以BB
1
⊥MN.
又CC
1
∥BB
1
，所以CC
1
⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
中， < br>有S
2
ABB
1
A
1
＝S
2
BCC
1
B
1
＋S
2
ACC
1
A
1－2S
BCC
1
B
1
S
ACC
1
A< br>1
cos
α
.
其中α为平面BCC
1
B
1
与平面ACC
1
A
1
所成的二面角.
证明如下：
因为CC
1
⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
因为PM
2
＝PN
2
＋MN
2
－2PN·
MNcos∠MNP，
2222
所以PM
2
·CC
21
＝PN
·CC
1
＋MN
·CC
1
－2(PN ·CC
1
)·(MN·CC
1
)cos∠MNP，
由于S
BCC
1
B
1
＝PN·CC
1
，S
ACC
1
A
1
＝MN·CC
1
，
S
A BB
1
A
1
＝PM·BB
1
＝PM·CC
1
，
所以S
2
ABB
1
A
1
＝S
2
BCC
1
B
1
＋S
2
ACC
1
A
1
－2S
BCC
1
B
1
·S
ACC
1
A
1
·cos
α
.
20.(本小题满 分12分)如图4，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的
中点.已知PA⊥ AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
图4

(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA?平面DEF，DE平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2) 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝
11
PA＝3，EF＝
22
BC＝4.
又因为DF＝5，故DF
2
＝DE
2
＋EF
2
，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
（n－1）a
n1
21.(本小题满分12分)在数列{a
n
}中，a
1
＝1， a
2
＝
4
，且a
n
＋
1
＝(n≥2).
n－a
n
(1)求a
3
，a
4
，猜想a
n
的表达式，并加以证明；
a
n
·a
n
＋
1
n
(2)设b
n
＝
， 求证：对任意的n∈N
＋
，都有b
1
＋b
2
＋…＋b
n
<
3
.
a
n
＋a
n
＋
1
11
【解】 (1)容易 求得：a
3
＝
7
，a
4
＝
10
.
1
故可以猜想a
n
＝
，n∈N
＋
.
3n－2
下面利用数学归纳法加以证明：
①显然当n＝1，2，3，4时，结论成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N
＋
)时，结论也成立，即
1
a
k
＝.
3k－2
那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：
1
（k－1）×< br>3k－2
（k－1）a
k
a
k
＋
1
＝
＝

1
k－a
k
k－
3k－2
k－1k－1＝
2
＝

3k
－2k－1（3k＋1）（k－1）
11
＝＝
.
3k ＋13（k＋1）－2
1
即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N
＋，a
n
＝
成立.
3n－2

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
a
n
·a
n
＋
1

a
n
＋a
n
＋
1
11
·
3n－23n＋1
＝

11
＋
3n－23n＋1
11
＝＝
3
(3n＋1－
3n＋1＋3n－2
所以b
1
＋b
2
＋…＋b
n< br>
1
＝
3
[(4－1)＋(7－4)＋(10－
1
＝
3
(3n＋1－1)，
1
所以只需要证明
3
(3n＋1－1)<
(显然成立)，
(2)证明：b
n
＝
3n－2)，
7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]
n
3
?3n＋1<3n＋1?3n＋ 1<3n＋23n＋1?0<23n
n
所以对任意的n∈N
＋
，都有b
1
＋b
2
＋…＋b
n
<
3
.
22.( 本小题满分12分)记U＝{1，2，…，100}，对数列{a
n
}(n∈N
＋)和U的子集T，若T
＝?，定义S
T
＝0；若T＝{t
1
，t
2
，…，t
k
}，定义S
T
＝at
1
＋a t
2
＋…＋at
k
.例如：T＝{1，3，66}
时，S
T
＝a
1
＋a
3
＋a
66
.现设{a
n}(n∈N
＋
)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，S
T
＝ 30.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)对任意正整数k (1≤k≤100)，若T?{1，2，…，k}，求证：S
T
k
＋1
；
(3)设C?U，D?U，S
C
≥S
D
，求证： S
C
＋S
C
∩
D
≥2S
D
.
－
【解】 (1)由已知得a
n
＝a
1
·3
n1< br>，n∈N
＋
.
于是当T＝{2，4}时，S
T
＝a
2
＋a
4
＝3a
1
＋27a
1
＝30a
1
.
又S
T
＝30，故30a
1
＝30，即a
1
＝1.
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝3
n
－1
，n∈N
＋
.
(2)证明：因为T?{1，2，…，k}，a
n
＝3
n
－
1
>0，n∈N
＋
，
k< br>－
1
1
k
所以S
T
≤a
1
＋a2
＋…＋a
k
＝1＋3＋…＋3
＝
2
(3
－1 )<3
k
.
因此，S
T
k
＋
1
.
(3)证明：下面分三种情况证明.
①若D是C的子集，则S
C
＋S
C
∩
D
＝S
C
＋S
D
≥S
D
＋ S
D
＝2S
D
.
②若C是D的子集，则S
C
＋S
C
∩
D
＝S
C
＋S
C
＝2S
C< br>≥2S
D
.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集.
令E＝C∩?
U
D，F＝D∩?
U
C，
则E≠?，F≠?，E∩F＝?.
于是S
C
＝S
E
＋S< br>C
∩
D
，S
D
＝S
F
＋S
C
∩
D
，进而由S
C
≥S
D
得S
E
≥S< br>F
.
设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.
由(2)知，S
E
k
＋
1
.于是3
l
－
1
＝a
l
≤S
F
≤S
E
k
＋
1
＝3
k
，
所以l－1又k≠l，故l≤k－1.从而
lk
－
1
3
－1
3
－1
a
k
－1S
E
－1
S
F
≤ a
1
＋a
2
＋…＋a
l
＝1＋3＋…＋3
l
－
1
＝
2
≤
2
＝
2
≤
2
，
故S
E
≥2S
F
＋1，所以S
C
－S
C
∩
D
≥2(S
D
－S
C
∩
D
)＋1，

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
即S
C< br>＋S
C
∩
D
≥2S
D
＋1.
综合①②③得 ，S
C
＋S
C
∩
D
≥2S
D
.

章末综合测评(二) 变化率与导数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择 题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求 的)
1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x
2
＋1，那么该质点从x ＝1到x＝2的平均速
度为( )
A.－4 B.－5
C.－6 D.－7
Δy
f（2）－f（1）
【解析】 ＝

Δx
2－1
（－2×2
2
＋1）－（－2×1
2
＋1）
＝＝－6.
1
【答案】 C
2.设曲线y＝ax
2
在点(1，a)处的切线与 直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
11
A.1 B.
2
C.－
2
D.－1
【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝f′(1)＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
【答案】 A
3.下列各式正确的是( )
A.(sin
α
)′＝cos
α
(α为常数)
B.(cos x)′＝sin x
C.(sin x)′＝cos x
1
－
6
－
5
D.(x)′＝－
5
x

【解析】 由导数公式知选项A中(sin
α
)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x
－
5
)′＝－5x
－
6
.
【答案】 C
4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( )
【解析】 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，
1
则f′(x)＝a－
.
x＋1
由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.
又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.
∴a＝3.
【答案】 D
5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是( )
图1

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
A B C D
【解析】 由图像知f(x)＝ax
2
＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.
【答案】 B
6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是( )
x－1
1
A.y′＝
2
x－1 B.y′＝

2（x－1）
2x－1
C.y′＝

x－1
x－1
D.y′＝－
2（x－1）
1
2u
＝
x－1
1
＝
.
2（x－1）
2x－1
【解析】 u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝
【答案】 B
7.若曲线y＝x
4
的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
【解析】 切线l的斜率k＝4，设y＝x
4
的切点的坐标为 (x
0
，y
0
)，则k＝4x
3
∴x
0
＝ 1，
0
＝4，
∴切点为(1，1)，
即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.
【答案】 A
??
1< br>??
m
?
8.设函数f(x)＝x
＋ax的导数为f′(x)＝2x＋ 1，则数列
f（n）
?
(n∈N
＋
)的前n项和是( )
??
??
n＋2
n
A.
B.
n＋1n＋1
n＋1
n
C.
D.
n

n－1
【解析】 ∵f′(x)＝mx
m
－
1
＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，
?
1
?
??
11111
2
?
∴f(x)＝x＋x， ∴＝
2
＝＝
n
－，∴数列
f（n）
?
(n∈N＋
)的前n
f（n）n
＋n
n（n＋1）n＋1
??
? ?
111111n
项和为1－
2
＋
2
－
3
＋…＋
n
－＝1－＝
.故选A.
n＋1n＋1n＋1
【答案】 A
1
9.如图2，下列图像中，有一个是函数f(x)＝
3
x
3
＋ax
2
＋(a
2
－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数
f′ (x)的图像，则f(－1)等于( )
图2
1
A.－
3

7
C.
3

1
B.
3

17
D.－
3
或
3


【解析】 f′( x)＝x
2
＋2ax＋(a
2
－1)＝[x＋(a－1)][x＋(a＋1) ].
显然(2)(4)不符合，若(1)是f′(x)的图像，则有a＝0，与已知矛盾，故(3)是 f′(x)的图像，∴
a＝－1.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
11
∴f(－1)＝－
3
－1＋1＝－
3
.
【答案】 A
10.过点(－1，0)作抛物线y＝x
2
＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A.2x＋y＋2＝0 B.3x－y＋3＝0
C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
【解析】 y′＝2x＋1，设所求切线的切点为(x
0
，x< br>2
0
＋x
0
＋1)，
x
2
0
＋x
0
＋1
则＝2x
0
＋1，
x
0
＋1
∴x
0
＝0或x
0
＝－2. < br>当x
0
＝0时，曲线y＝x
2
＋x＋1在点(0，1)处的切线斜率为 1，方程为y－1＝x，即x－y
＋1＝0.当x
0
＝－2时，切线方程为3x＋y＋ 3＝0.
【答案】 D
11.点P是曲线x
2
－y－2lnx＝0上任意 一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是
( )
22
A.
2
(1－ln 2) B.
2
(1＋ln 2)
2
?
1
1
?
C.
2
?
2
＋ln 2
?
D.
2
(1＋ln 2)
?
?
111
?
11
?
【解析】 y′＝2x－
x
＝－1?x＝
2
?y＝
4
＋ln 2，所以切点为
?
2
，
4
＋ln 2
?
，切点到直 线的
??
1
??
1
??
?
4×
2
＋4×
?
4
＋ln 2
?
＋1?
??
??
2
距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d＝＝
(1
22
2
4
＋4
＋ln 2)，故选B.
【答案】 B
4
12. 已知点P在曲线y＝
x
上，
α
为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范 围是
e
＋1
( )
π
???
ππ
?
A .
?
0，
4
?
B.
?
4
，
2
?

????
?
π 3π
??
3π
?
C.
?
2
，
4
?
D.
?
4
，π
?

????
4
【解析】 因为y＝
x
，
e
＋1－4e
x
－4e
x
－4
所以y′＝
x
＝＝.
（e＋1）
2
e
2x
＋2e
x
＋1
x
1
e
＋
e
x
＋2
1
因为e
x
>0，所以e
x
＋
e
≥2，所以y′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).
x
?
3π
?
又因为α∈[0，π)，所以α∈
?
4
，π
?
.
??
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.设 函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝________.
【解析】 ∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，
∴f′(x)＝a，则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.
即a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
【答案】 －4x＋3 14.若抛物线y＝x
2
－x＋c上一点P的横坐标为－2，抛物线过点P的切线恰好过坐 标原点，
则c的值为________.
【解析】 ∵y′＝2x－1，
∴当x＝－2时，y′＝－5.
又P(－2，6＋c)，
6＋c
∴＝－5，∴c＝4.
－2
【答案】 4
ab
1 5.设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则
＋＋f′（a）f′（b）
c
＝________.
f′（c）
【解析】 ∵f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)·(x－c)＋(x－a)·(x－b)，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，
同理f′(b)＝(b－a)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)，
代入原式中得值为0.
【答案】 0 16.设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝_ ___.
【解析】 f′(x)＝－sin (3x＋φ)·(3x＋φ)′＝－3sin (3x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
π
?
ππ
?
＝2 cos
?
3x＋φ＋
3
?
，当f(x)＋f′(x)为奇函数时，
φ
＋
3
＝kπ＋
2
，k∈Z，
??
ππ
∴φ＝kπ＋
6
，k∈Z ，∵0<
φ
<π，∴
φ
＝
6
.
π
【答案】
6

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求下列函数的导数.
(1)y＝3x
2
＋xcos x；
tan x
(2)y＝
x
；
x
2
－2x＋5
(3)y＝.
x
3
【解】 (1)y′＝(3x
2
)′＋(xcos x)′
＝6x＋x′cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.
（tan x）′·x－tan x
(2)法一：y′＝

x
2
x
cos
2
x
－tan x
＝

x
2
x－cos
2
x·tan xx－sin xcos x
＝＝
x
2
cos
2
x
.
x
2
cos
2
x
?
sin x
?
法二：y′＝
?
xcos x
?
′
??

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
（sin x）′xcos x－sin x（xcos x）′
＝

x
2
cos
2
x
xcos
2
x－sin x（cos x－xsin x）
＝

x
2
cos
2
x
x－sin xcos x
＝
x
2
cos
2
x
.
125
(3)∵y＝
x
－
x
2
＋
x
3
＝x
－
1
－2x
－
2
＋5x
－
3
，
∴y′＝－x
－
2
－2×(－2)x
－
3
＋5×(－3) x
－
4

1415
＝－
x
2
＋
x
3
－
x
4
.
18.(本小题满分12分)已知曲线y＝f(x)＝x
3
－8x＋2.
(1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；
(2)过原点作曲线的切线l：y＝kx，求切线l的方程.
【解】 (1)∵f(x)＝x
3
－8x＋2，∴f′(x)＝3x
2
－8，则f′(0)＝－8，所以曲线 在点(0，2)处
的切线方程为y－2＝－8(x－0)，即8x＋y－2＝0.
(2)设切 点为P(a，a
3
－8a＋2)，切线斜率k＝3a
2
－8，则切线方程y－ (a
3
－8a＋2)＝(3a
2
－8)(x－a)，
又因为切线过 原点，所以0－(a
3
－8a＋2)＝(3a
2
－8)(0－a)，即2a< br>3
－2＝0，所以a＝1，
即切线l斜率为k＝－5，切线l方程为y＝－5x，即5x ＋y＝0.
19.(本小题满分12分)已知曲线y＝x
3
＋x－2在点P
0
处的切线l
1
平行于直线4x－y－1＝0，
且点P
0
在 第三象限.
(1)求P
0
的坐标；
(2)若直线l⊥l
1
，且l也过切点P
0
，求直线l的方程.
【解】 (1)由y＝x
3
＋x－2，得y′＝3x
2
＋1， 由已知得3x
2
＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4 .又因为点P
0
在第三象限，所以切点P
0
的坐标为(－1，－4). 1
(2)因为直线l⊥l
1
，l
1
的斜率为4，所以直线l的斜 率为－
4
，
因为l过切点P
0
，点P
0
的坐标为(－1，－4)，
1
所以直线l的方程为y＋4＝－
4
(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝xe
a－
x
＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y＝(e－ 1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求过点(2，f(2))且与切线y＝(e－1)x＋4垂直的直线方程l.
【解】 (1)因为f(x)＝xe
a
－
x
＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)e
a
－
x
＋b.
－
?
f（2）＝2e＋2，
?
2e
a2
＋2b＝2e＋2，
依 题设，
?
即
?

－
?
f′（2）＝e－1，
?
－e
a2
＋b＝e－1.
?
a＝2，
∴
?
b＝e.
?
1
(2)由(1)知k
l
＝
，且 f(2)＝2e＋2，
1－e
1
∴y－(2e＋2)＝
(x－2).
1－e

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
12
x＋
＋2e＋2.
1－e1－e
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x＋x
2
.
(1)若a＝1，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)对于任意x≥2使得f′(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围.
1
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x
2
，则f′(x)＝
x
＋2x， 故在点(1，f(1))处的切线斜率为
k＝f′(1)＝3，又f(1)＝1，即切点为(1，1)， 故切线方程为y－1＝
3(x－1)，即3x－y－2＝0.
a
(2)当x≥2时 ，f′(x)≥x，即
x
＋2x≥x(x≥2)恒成立，即a≥－x
2
在x∈ [2，＋∞)上恒成立.
令t＝－x
2
，当x∈[2，＋∞)时，易知t
m ax
＝－4，为使不等式a≥－x
2
恒成立，则a≥－4，
故实数a的取值范 围为[－4，＋∞).
22.(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x
3
＋a x，g(x)＝ax
2
＋bx＋c都经过点P(1，2)，且
在点P有公切线.
(1)求a，b，c的值；
f（x）
(2)设k(x)＝
，求k′(－2)的值.
g（x）
?
1＋a＝2，
?
a＝1，
?
【解】 (1)依题意，即
?

?
a＋b＋c＝2，
?
b＋c＝1.
故f(x)＝x
3
＋x，g(x)＝x
2
＋bx＋1－b，
所以f′(x)＝3x
2
＋1，g′(x)＝2x＋b，
由于两曲线在点P(1，2)处有公切线，故f′(1)＝g′(1)，即4＝2＋b，
所以b＝2.
故c＝1－b＝－1.
(2)由(1)可得f(x)＝x
3
＋x，g(x)＝x
2
＋2x－1，
f（x）x
3
＋x
故k(x)＝＝，
g（x）x
2
＋2x－1
故k′(x)＝
（x
3
＋x）′（x
2
＋2x－1）－（x
3
＋x）（x
2
＋2x －1）′

（x
2
＋2x－1）
2
（3x
2
＋1）（x
2
＋2x－1）－（x
3
＋x）（2x＋2）
＝

（x
2
＋2x－1）
2
x
4
＋4x
3
－4x
2
－1
＝
.
（x
2
＋2x－1）
2
16－32－16－1
故k′(－2)＝

（4－4－1）
2
＝－33.

即所求直线l的方程为y＝
章末综合测评(三) 导数应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分 .在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1
1.物体运动的方程 为s＝
4
t
4
－3，则t＝5时的瞬时速度为( )
A.5 B.25

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
C.125 D.625
【解析】 ∵v＝s′＝t
3
，∴t＝5时的瞬时速度为5
3
＝125.
【答案】 C
2.函数f(x)＝(x－3)e
x
的单调递增区间是( )
A.(－∞，2) B.(0，3)
C.(1，4) D.(2，＋∞)
【解析】 f′(x)＝(x－2)e
x
，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f (x)的单调递增区间是(2，＋∞).
【答案】 D
3.函数f(x)＝ax
3
＋x＋1有极值的充要条件是( )
A.a≥0 B.a>0
C.a≤0 D.a<0
【解析】 f′(x)＝3ax
2
＋1，
当a＝0时，f′(x)＝1>0，f(x)单调增加，无极值；
当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可.
【答案】 D
4.函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图1所示，那么f(x)的图像最有可能的是( )

图1
A B C D
【解析】 数形结合 可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数；在(－
2，－1)上 ，f′(x)>0，f(x)是增函数，从而得出结论.
【答案】 B
??
3??
3
5.若函数y＝a(x
3
－x)的递增区间是
?
－∞，－
?
，
?
，＋∞
?
，则a的取值范围是( )
3
??
3
??
A.a>0 B.－1C.a>1 D.0??
3
??
3
【解析】 依题意得y′＝a(3x
2
－1)>0的解集为
?
－∞，－
?
，
?
，＋∞
?
，∴a>0.
3
??
3
??
【答案】 A
6.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A.3f(1)f(3)
C.3f(1)＝f(3) D.f(1)＝f(3)
f（x）
?
f（x）
?
f′（x）x－f （x）
?
′＝
【解析】 由于f(x)>xf′(x)，
?
<0恒成立，因此
x
2
x
在R上
?
x
?
f（3）f（1）
是单调递减函数，∴
3<
1
，即3f(1)>f(3)，故选B.
【答案】 B
7.若函数 f(x)＝－x
3
＋3x
2
＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2 ，则它在该区间上的最
小值为( )
A.－5 B.7
C.10 D.－19
【解析】 ∵f(x)′＝－3x
2
＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2，
∴a＝0，最小值为f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】 A
1
8.函数y＝
2
x－2sin x的图像大致是( )
1
【解析】 因为y′＝
2
－2cos x，
1
所以令y′＝
2
－2cos x>0，
1
得cos x<
4
，此时原函数是增函数；

11
令y′＝
2
－2cos x<0，得cos x>
4
，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C
正确.
【答案】 C
1
9.若f(x)＝－
2
x
2
＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )

A.[－1，＋∞)
C.(－∞，－1]
【解析】 f′(x)＝－x＋
B.(－1，＋∞)
D.(－∞，－1)
b
，由题意 知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x
2
＋2x在
x＋2
( －1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)
2
－1，则b≤－1，故选C.
【答案】 C
10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x 的解集是( )
A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式?g(x)>0?g(x)>g(1)，
∴x>1，故选C.
【答案】 C
11.当x∈[－2，1]时，不等式ax
3
－x
2
＋4x＋3 ≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
9
??
A.[－5，－3] B.
?
－6，－
8
?

??
C.[－6，－2] D.[－4，－3]

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
【解析】 当x＝0时，ax
3
－x
2
＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
2
当x∈(0，1]时，ax
3
≥x
2
－4x－3，a≥< br>x
－4x－3
x
3
，
?
x
2
∴a ≥
?
－4x－3
?
?
x
3
?
?
m ax
.
设φ(x)＝
x
2
－4x－3
x
3
，
（ 2x－4）x
3
－（x
2
－4x－3）3x
2
φ
′ (x)＝
x
6

x
2
＝－
－8x－9（x－9）（ x＋1）
x
4
＝－
x
4
＞0，
∴
φ(x)在(0，1]上递增，
φ
(x)
max
＝φ(1)＝－6.
∴a≥－6.
当x∈[－2，0)时，a≤
x
2
－4x－3
x
3
，
∴a≤
?
?
x
2
－4x－3< br>?
?
x
3
?
?
min
.
仍设φ( x)＝
x
2
－4x－3（x－9）（x
x
3
，
φ< br>′(x)＝－
＋1）
x
4
.
当x∈[－2，－1)时，
φ
′(x)＜0.
当x∈(－1，0)时，
φ
′(x)＞0.
∴当x＝－1时，
φ
(x)有极小值，即为最小值.
而φ(x)
－ 1)＝
1＋4－3
min
＝φ(
－1
＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
【答案】 C
12.已知函数f(x)＝x
2
＋2x＋aln x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是(
A.a≥0 B.a<－4
C.a≥0或a≤－4 D.a>0或a<－4
【解析】 f′(x)＝2x＋2＋
a
x
，x∈(0，1)，
∵f(x)在(0，1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，
∴2x＋2＋
a
x＋2＋
a
x
≥0或2
x
≤0在(0，1)上恒成立，
即a≥－2x
2
－2x或a≤－2x
2
－2x在(0，1)上恒成立. 设g(x)＝－2x
2
－2x＝－2
?
?
1
?
?
x＋
2
1
2
?
?
＋
2
，则g( x)在(0，1)上单调递减，
∴g(x)
max
＝g(0)＝0，g(x)
min
＝g(1)＝－4.
∴a≥g(x)
max
＝0或a≤g(x)
min
＝－4.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已 知函数f(x)＝(2x＋1)e
x
，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为_ _______.
【解析】 因为f(x)＝(2x＋1)e
x
，
所以f ′(x)＝2e
x
＋(2x＋1)e
x
＝(2x＋3)e
x
，
所以f′(0)＝3e
0
＝3.
【答案】 3
)

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
π
?
1?
14.函数f(x)＝
2
e
x
(sin x＋cos x)在区间
?
0，
2
?
上的值域为________.
??
π
??
【解析】 ∵x∈
?
0，
2
?
，
??
f′(x)＝e
x
cos x≥0，
?
π
?
∴f(0)≤f(x)≤f
?
2
?
，
??
π11
即
2
≤f(x)≤
2
e
2
.
π
??
11
2
?

【答案】
?
?
，
e
?
?
22
?
15.已知函数f(x)＝x< br>3
＋ax
2
＋bx＋a
2
，在x＝1时有极值10，则a＋b ＝________.
【解析】 f′(x)＝3x
2
＋2ax＋b，f′(1)＝ 2a＋b＋3＝0，f(1)＝a
2
＋a＋b＋1＝10，
?
2a＋b＝－3 ，
?
a＝－3，
?
a＝4，
?
2
解得
?< br>或
?
当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别
?
a
＋a＋b＝9，
?
b＝3
?
b＝－11，
为4，－11，∴a＋b＝ －7.
【答案】 －7
16.周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm
3
.
【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(02
(10
－x)＝10πx
2
－πx
3
，
∴V′(x)＝20πx－3πx
2
.
20
由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝
3
，
20
??
且当x∈
?
0，
3
?
时，V′(x)>0，
??
?
20
?
当x∈
?
3
，10
?时，V′(x)<0，
??
204 000
∴当x＝
3
时，V(x)取得最大值为
27
π cm
3
.
4 000
【答案】
27
π
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17 .(本小题满分10分)若函数f(x)＝x
3
＋3ax
2
＋3(a＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实
数a的取值范围.
【解】 ∵f′(x)＝3x
2
＋6ax＋3(a＋2)，
令3x
2
＋6ax＋3(a＋2)＝0，
即x
2
＋2ax ＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x
2
＋2ax＋a＋2＝0有两个< br>不相等的实数根，即Δ＝4a
2
－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
18.(本小题满分12分)设函数 f(x)＝x
3
－3ax
2
＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于 点(1，
－11).
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【解】 (1)求导得f′(x)＝3x
2
－6ax＋3b.
由于f(x) 的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
?
1－3a＋3b＝－11，
即
?
解得a＝1，b＝－3.
?
3－6a＋3b＝－12，
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x
2
－6x－9＝3(x
2
－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3).
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)和x∈(3，＋∞)时， f(x)是增函数，当x∈(－1，3)时，f(x)是减函数.
15
19.(本小题满分1 2分)已知函数f(x)＝x
3
＋
2
mx
2
－2m
2
x－4(m为常数，且m>0)有极大值－
2
，
求m的值.
【解】 ∵f′(x)＝3x
2
＋mx－2m
2

＝(x＋m)(3x－2m)，
2
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝
3
m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
2
2
???
2
?
x (－∞，－m) －m
m
m，＋∞
?
－m，
3
m
?

??

3
???
3
?
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
极大
f(x)
单调递增
单调递减 极小值 单调递增
值 15
∴f(x)
极大值
＝f(－m)＝－m
3
＋
2m
3
＋2m
3
－4＝－
2
，
∴m＝1. < br>1
20.(本小题满分12分)证明：当x>0时，ln(x＋1)>x－x
2
.
2
1
?
1
?
【证明】 设f(x)＝ln(x＋1)－
?
x－
2
x
2
?
＝ln(x＋1)－x＋
2
x
2
，函数的定义域是(－1，＋∞)，
??
1x
2
则f′(x)＝－1＋x＝
.
x＋1x＋1
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数.
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
1
即当x>0时，ln(x＋1)>x－
2
x
2
.
21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底
面 半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本
为100元平 方米，底面的建造成本为160元平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π
为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160π r
2
元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr
2
)元.
又根据题意200πrh＋160πr
2
＝12 000π，
1
所以h＝
5r
(300－4r
2
)，从而

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
π
V(r)＝πr< br>2
h＝
5
(300r－4r
3
).
因为r>0，又由h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0，53). < br>π
(2)因为V(r)＝
5
(300r－4r
3
)(0π
所以V′(r)＝
5
(300－12r
2
).
令V′(r)＝0，解得r
1
＝5，r
2
＝－5(因为r
2
＝－5不在定义域内，舍去).
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数.
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x )＝(x－2)e
x
＋a(x－1)
2
有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x
1
，x
2
是f(x) 的两个零点，证明：x
1
＋x
2
＜2.
【解】 (1)f′(x) ＝(x－1)e
x
＋2a(x－1)＝(x－1)(e
x
＋2a).
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e
x
，f(x)只有一个零点.
②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增.
a
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln
2
， < br>3
?
a
?
则f(b)＞
2
(b－2)＋a(b－1)
2
＝a
?
b
2
－
2
b
?
＞0，
??
故f(x)存在两个零点.
③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).
e
若a≥－
2
，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞ )内单
调递增.
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.
e
若a＜－
2
，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(1，ln(－2a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.
因此f(x)在(1，ln(－2a)内单调递减，
在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.
综上，a的取值范围为(0，＋∞).
(2)证明：不妨设x
1
＜x
2
，由(1)知，x
1
∈(－∞，1)，x
2
∈(1，＋∞)，2 －x
2
∈(－∞，1)，f(x)
在(－∞，1)内单调递减，
所以x1
＋x
2
＜2等价于f(x
1
)＞f(2－x
2
)，即f(2－x
2
)＜0.
由于f(2－x
2
)＝－x
2
e2－x
2
＋a(x
2
－1)
2
，
而f(x
2
)＝(x
2
－2)ex
2
＋a(x
2< br>－1)
2
＝0，
所以f(2－x
2
)＝－x
2e2－x
2
－(x
2
－2)ex
2
.
设g(x)＝－xe
2
－
x
－(x－2)e
x
，
则g′(x)＝(x－1)(e
2
－
x
－e
x
).

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，
故当x＞1时，g(x)＜0.
从而g(x
2
)＝f(2－x
2
)＜0，
故x
1
＋x
2
＜2.

章末综合测评(四) 定积分
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分， 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.
?
4
xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )
?
1
A B C D
【解析】 由定积分的几何意义易知选项B正确.
【答案】 B
2.
?
2π
sin xdx＝( )
?
0
A.1 B.2
C.－2 D.0
π
0
＝0.
【解析】
?
2π
sin xdx＝－cos x
|
2
?
0
【答案】 D
3.
?
2
(3x
2
－2x
3
)dx＝( )
?
1
1
A.
2
B.2
1
C.－
2
D.－2
【解析】
?
2
(3x
2
－2x
3
)dx
?
1
＝
?
2
(3x
2
)dx－
?
2
(2x
3
)dx
?
1
?
1
715
＝3
?
2
x
2
dx－2
?
2
x
3dx＝3×
3
－2×
4

?
1
?
1
151
＝7－＝－
.
22
【答案】 C
4.若
?
a
(2－3x)dx＝－2(a>0)，则a的值为( )
?
0
2
A.2 B.
3

22
C.2或
3
D.2或－
3

3
2< br>?
a
3
2
3
2
?
a
|
2x －x
??
0
【解析】 ∵a>0，∴
?
(2－3x)dx＝
2
?
＝2a－
2
a
，由题知2a－
2
a
＝ －2，解得a
?
?
0
＝2.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
【答案】 A
5.曲线y
2
＝6ax，x＝2a(a>0)绕x轴旋转所得旋转体的体积为( )
A.2πa
2
B.4πa
2

C.12πa
3
D.14πa
3

a
3
0
＝12πa.
【解析】 V＝
?
2aπy
2
dx＝
?
2a
π6axdx＝3πax
2
|
2
?
0
?
0
【答案】 C
x
2，x∈[0，1]，
?
?
6.设f(x)＝
?
1
则?
e
f(x)dx等于( )
，x∈[1，e]，
?
0< br>?
?
x
45
A.
3
B.
4

67
C.
5
D.
6

1
2
e1e
【解析】
?
f(x)dx＝
?
xdx＋
?
x
dx
?
0
?
0
?
1
1
?
4
1
＝.
＝
3
x
3
?
＋ln x
|
e
3
?
0
【答案】 A
7.由y＝e
x
，x＝2，y＝e围成的曲边梯形的面积是( )
A.e
2
－2e B.e
2
－e
C.e
2
D.e
x
【解析】 所求面积为S＝
?
2
(e
－e)dx
?
1
?＝(e
x
－ex)
?
＝e
2
－2e.
?
1
2
1
【答案】 A
1
??
a
2x－
??
dx＝3－ln 2，且a>1，则a的值为( ) 8.若
?
x
??
?
1
A.6 B.4
C.3 D.2
1
??
22
【解析】
?
a
?
2 x－
x
?
dx＝(x
2
－ln x)|
a
1
＝a
－ln a－1，故有a－ln a－1＝3－ln 2，解得a＝
?
?
1
?
2.
【答案】 D
1< br>9.若S
1
＝
?
2
x
2
dx，S
2
＝
?
2
x
dx，S
3
＝
?
2e
x
dx，则S
1
，S
2
，S
3
的大 小关系为( )
?
1
?
1
?
1
A.S
1
2
3
B.S
2
1
3

C.S
2
3
1
D.S
3
2
1

22
11171
??
【解析】 S
1
＝
?
2
x
2
dx＝
3
x
3
?
＝
3×2
3
－
3
＝
3
，S
2
＝
?
2
x
dx＝ln x
?
＝ln 2，
?
1
?
1
?
1
?
1

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
77
?
S< br>3
＝
?
2
e
x
dx＝e
x
?
＝e
2
－e＝e(e－1)，ln 23
<2.53
?
1
?
1
即S
2
1
3
.
【答案】 B
?
?
lg x，x>0，
10. 设f(x)＝
?
x＋
?
a
3t
2
dt，x≤0，< br>若f[f(1)]＝1，则实数a的值是( )
?
?
?
0
A.4 B.3
C.2 D.1
3
0
＝x＋a
，【解析】 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0. 又x≤0时，f(x)＝x＋
?
a
3t
2
dt＝x＋t
3< br>|
a
?
0
所以f(0)＝a
3
.
因为f[f(1)]＝1，所以a
3
＝1，解得a＝1.
【答案】 D
11.定积分
?
1
(1－（x－1）
2
－x)dx等于( )
?
0
π－2
π
A.
4
B.
2
－1
π－1π－1
C.
4
D.
2

【解析】
?
1
(1－（x－1）
2
－x)dx
?
0
＝
?
1
1－（x－1）
2
dx－
?
1
x dx.
?
0
?
0
222
1
x＝0，y＝0围成的 图形面积.
?
1－（x－1）dx表示圆(x－1)
＋y＝1的上半圆与x＝1，< br>?
0
画出图形(略)可知
π
S
1
＝
?1
1－（x－1）
2
dx＝
4
，
?
0
π－2
1
S
2
＝
?
1
xdx＝
2
，∴S＝S
1
－S
2
＝
4
.
?
0
2
【答案】 A
25
(t
1＋t
的 单位：s，v的单位：ms)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
11
A.1＋25ln 5 B.8＋25ln
3

C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2
8
25
??
【解析】 由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4
?
t＝－
3
舍去
?
，因此汽车从刹车到停止一
??
1 ＋t
4
25
??
3
?
??
4
7－3t＋< br>?
dt＝
?
7t－t
2
＋25ln（t＋1）
??< br>＝共行驶了4 s，此期间行驶的距离为
?
4
v(t)dt＝
?
?
1＋t
??
2
??
?
0
?
0
?
0
12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋
4＋25ln 5.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.若
?
1
(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
?
0

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
?
【解析】 ∵
?
1
(2x＋k)dx＝(x
2
＋ kx)
?
＝1＋k＝2，∴k＝1.
?
0
?
0
【答案】 1
14.曲线y
2
＝4ax，x＝a(a>0)绕x轴旋转所得的旋转体体积是________.
【解析】 由旋转体体积公式可得：
?
1
?
3
0
＝2πa. V＝π
?
a
y
2
dx＝π
?
a
4axdx＝4π a
?
2
x
2
?
|
a
??
?
0
?
0
【答案】 2πa
3

15.设函数f(x)＝a x
2
＋c(a≠0)，若
?
1
f(x)dx＝f(x
0)，0≤x
0
≤1，则x
0
的值为________.
?
0
a
2
【解析】 ∵
?
1
(ax
2
＋c)dx＝ax
0
＋c，∴
3
＝ax
2
0< br>.
?
0
3
2
1
∵a≠0，∴x
0
＝
3
，又0≤x
0
≤1，∴x
0
＝
3
.
3
【答案】
3

16.曲线y＝x
2
和曲线y< br>2
＝x围成的图形的面积是________.
1
【解析】 作出两曲线y＝ x
2
与y＝x
2
围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积S＝
?
1
?
0
1
?
2
3
?
?
1
211
?
2
?
1
2
?
x
－x2
?
dx＝
?
x
－
x
3
?
?
＝－＝
.
??
3
?
?
0
333
?
3
1
1
【答案】
3

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17 .(本小题满分10分)由直线y＝kx(k>0)，直线y＝0，x＝1所围成的图形的面积为S
1< br>，由
曲线y＝3－3x
2
，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积为 S
2
，当S
1
＝S
2
时，求k的值
及直线的方程.
1
2
1
k
1
【解】 依题意得S
1
＝?
kxdx＝kx
|
0
＝
，
22
?
0
0
＝2. S
2
＝
?
1
(3－3x
2
)dx＝(3x－x
3
)
|
1
?
0
k
∵S
1
＝S
2
，∴
2
＝ 2，
解得k＝4，
则直线的方程为y＝4x.
11
18.(本小题满分 12分)如图1所示，求由曲线y＝
4
x
2
，x∈[0，3]，x＝0及y＝ 2
4
所围成的
平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
图1

9
?
1
2
4
81
9
y)
2
dy＝4 π
?

ydy＝4π×
y
＝2π×
?
?
4
216
?
?
0
9
【解】 根据题意和图形，所求体积V＝
?
(2
?
4

π·
?
00
81π
＝
8
.
19.(本小 题满分12分)计算曲线y＝x
2
－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积.
?
y＝x＋3，
【解】 由
?

2
?
y＝ x
－2x＋3，
解得x
1
＝0，x
2
＝3.
因此所求图形的面积为
S＝
?
3
(x＋3)dx－
?3
(x
2
－2x＋3)dx
?
0
?
0
＝
?
3
[(x＋3)－(x
2
－2x＋3)]dx
?
0
0

3
?
?
9
?
1
＝
?
3
(－x
2
＋3x)dx＝
?
－3
x
3
＋
2
x
2
??
＝
2< br>.
??
?
0
?
20.(本小题满分12分)求由曲线y＝x ，直线y＝x－2以及x轴所围成的平面图形的面积.
3

【解】 作出直线y＝x－2，曲线y＝x的草图，
所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.
可 求得直线y＝x－2与曲线y＝x的交点为(4，2).直线y＝x－2与x轴的交点为(2，0).
阴 影部分的面积(记为S)，由两部分组成：一部分是直线x＝2左边的图形的面积(记为S
1
) ；另
一部分是直线x＝2右边的图形的面积(记为S
2
).
则S＝S
1
＋S
2

?
?
4
xd x－
?
4
（x－2）dx
?
2
?

＝?
xdx＋
?
??
2
?
2
?
?
0
33
2
2
2
2
4
?
1
2?
4
10
0
＋x
|
2
－
?
x
－2x
?
|
2
＝.
＝
x
|
2< br>333
?
2
?
21.(本小题满分12分)设F(x)＝
?< br>x
(t
2
＋2t－8)dt.
?
0
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求F(x)在[1，3]上的最值.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
【解】 依题意，F(x)＝
?
x
(t
2
＋2t－8)dt
?0
1
32
?
1
?
＝
?
3
t< br>3
＋t
2
－8t
?
|
x
＝x
＋x－ 8x，
??
0
3
定义域是(0，＋∞).
(1)F′(x)＝x
2
＋2x－8，
令F′(x)>0，得x>2或x<－4，
令F′(x)<0，得－4由于定义域是(0，＋∞)，
∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0，2).
(2)令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，
2028
由于F(1)＝－
3
，F(2)＝－
3
，F(3)＝－6，
28
∴F(x) 在[1，3]上的最大值是F(3)＝－6，最小值是F(2)＝－
3
.
22.(本 小题满分12分)求由曲线y＝x
2
，直线y＝2x＋3所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解】

曲线y＝x与直线y＝2x＋3的交点为A( －1，1)，B(3，9)，则它们所围成的平面图形如
图中阴影部分所示.
所以所得旋转体 的体积V等于直线y＝2x＋3，x＝－1，x＝3与x轴所围成的平面图形绕
x轴旋转一周所得旋转体 的体积(记为V
1
)减去曲线y＝x
2
，直线x＝－1，x＝3与x轴所围成 的
平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V
2
).
3
?
4
364
??
又V
1
＝
?
3
π( 2x＋3)
2
dx＝π
?
3
(4x
2
＋12x＋9 )dx＝π·
?
3
x
3
＋6x
2
＋9x
? ?
＝
3
π.
??
?
－
1
?
－< br>1
?
－
1
2
π
5
?
22
3 3
4
V
2
＝
?
π(x)dx＝π
?
xdx ＝
5
x
?

?
－
1
?
－
1
?
－
1
244
＝
5
π.所以所求旋转体的体积V ＝V
1
－V
2

1 088
＝
15
π.

3
章末综合测评(五) 数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分 .在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A.3i<5i B.a＝0?|a|＝0
C.若|a|＝|b|，则a＝±b D.a
2
≥0
【解析】 A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
1313
?
13
?
论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝
?
－＋
i
?
，但i≠－
2
＋
2
i或
2
－
2
i；D选项 中，
?
22
?
当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i
2
＝－1<0.
【答案】 B
i
2.i是虚数单位，则
的虚部是( )
1＋i
11
A.
2
i B.－
2
i
11
C.
2
D.－
2

i（1－i）1＋i
11i
【解析】 ＝＝
2
＝
2
＋
2
i.
1＋i
（1＋i）（1－i）
【答案】 C
?
2
?
3.
?
1＋i
?
＝( )
??
A.22 B.2
C.2 D.1
2（1－i）2－2i
2
【解析】 由＝＝
2
＝1－i，
1＋i
（1＋i）（1－i）
?
2
?
∴
?
1＋i< br>?
＝|1－i|＝2.故选C.
??
【答案】 C
---
4. z
是z的共轭复数.若z＋z＝2，(z－z
)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A.1＋i B.－1－i
C.－1＋i D.1－i
－－
【解析】 法 一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则z＝a－bi，∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.
－
又 (z－z
)i＝2bi
2
＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
－－
2
－－－
法二：∵(z－z
)i＝2，∴z－z
＝
i
＝－2i.又z＋z＝2，∴(z－z
)＋(z＋z)＝－2i＋2，∴
2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】 D
i
5.复数
的共轭复数为( )
1－i
1111
A.－
2
＋
2
i B.
2
＋
2
i
1111
C.
2
－
2
i D.－
2
－
2
i
i（1＋i）
－1＋i
i11
【解析】 ∵＝＝
2
＝－
2
＋
2
i，
1－i
（1－ i）（1＋i）
11
∴其共轭复数为－
2
－
2
i.故选D.
【答案】 D
2
6.下面是关于复数z＝
的四个命题：
－1＋i

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
p
1
：|z|＝2；
p
2
：z
2
＝2i；
p
3
：z的共轭复数为1＋i；
p
4
：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A.p
2
，p
3
B.p
1
，p
2

C.p
2
，p
4
D.p
3
，p
4

2
【解析】 ∵z＝＝－1－i，
－1＋i
∴|z|＝（－1）
2
＋（－1）
2
＝2，
∴p
1
是假命题；
∵z
2
＝(－1－i)
2＝2i，∴p
2
是真命题；
∵z＝－1＋i，∴p
3
是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p
4
是真命题.
其中的真命题为p
2
，p
4
.
【答案】 C
7 .复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i，3＋
2i，－ 2－3i，则D点对应的复数是( )
A.－2＋3i B.－3－2i
C.2－3i D.3－2i
2＋（－2）3＋x
?
＝
2
，
?
2
?
x＝－3，
【解析】 设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得
?
∴
?

3＋（－ 3）2＋yy＝－2，
?
＝，
?
?
22
∴D(－3，－2) ，∴对应复数为－3－2i.
【答案】 B
8.若复数(a
2
－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1 D.a≠2
【解析】 要使复数不是纯虚数，则有
?
a
2
－a－2≠0，
?

?
|a－1|－1≠0，
解得a≠－1.
【答案】 C
9.若a ，b∈R，则复数(a
2
－6a＋10)＋(－b
2
＋4b－5)i对应的点 在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】 复数对应点的坐标为(a
2
－6a＋10，－b
2
＋4b－5)，
又∵a
2
－6a＋10＝(a－3)
2
＋1>0，
－b
2
＋4b－5＝－(b－2)
2
－1<0.
∴复数对应的点在第四象限.故选D.
【答案】 D
10.如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是( )
A.(－22，22) B.(－2，2)
C.(－1，1) D.(－3， 3)
【解析】 因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝1＋a
2
<2，所以 a
2
＋1<4，所以a
2
<3，即－3

北师大版高中 数学选修2-2测试题全套及答案
【答案】 D
11.若1＋2i是关于x的实系数方程x
2
＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A.b＝2，c＝3 B.b＝－2，c＝3
C.b＝－2，c＝－1 D.b＝2，c＝－1
【解析】 因为1＋2i是实系数方程的一个复数根，所以1－2i也是方程的 根，则1
＋2i＋1－2i＝2＝－b，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】 B
12.设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若z
2
≥0，则z是实数
B.若z
2
<0，则z是虚数
C.若z是虚数，则z
2
≥0
D.若z是纯虚数，则z
2
<0
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
?
ab＝0，
2222
选项A，z＝(a ＋bi)＝a－b＋2abi≥0，则
?
2
故b＝0或a，b都为0，即z为实
?
a
≥b
2
，
数，正确.
?
ab＝0，
?
a＝0，
2222
选项B，z＝(a＋bi)＝a－b＋2abi<0，则
?
22
则
?
故z一定为虚数，正确.
?
a ，
?
b≠0，
选项C，若z为虚数，则b≠0，z
2
＝(a＋bi)
2
＝a
2
－b
2
＋2abi，
由于a的值不确定，故z
2
无法与0比较大小，错误.
?
a＝0，
选项D，若z为纯虚数，则
?
则z
2
＝－b
2
<0 ，正确.
?
b≠0，
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
【解析】 ∵|a＋bi|＝a
2
＋b
2
＝3，∴(a＋bi)(a －bi)＝a
2
＋b
2
＝3.
【答案】 3
?
a＋i
?
?
＝2，则a＝__________.
14 .a为正实数，i为虚数单位，
?
?
i
?
a＋i
（a＋i） ·（－i）
【解析】
i
＝＝1－ai，
i·（－i）
?
a＋i
?
?
＝|1－ai|＝a
2
＋1＝2，所以a
2＝3. 则
?
?
i
?
又a为正实数，所以a＝3.
【答案】 3
11－7i
15.设a，b∈R，a＋bi＝
(i为虚数单位 )，则a＋b的值为__________.
1－2i
11－7i
（11－7i） （1＋2i）
25＋15i
16.【解析】 a＋bi＝
＝＝
5
＝5 ＋3i，依据复数相等的
1－2i
（1－2i）（1＋2i）
充要条件可得a＝5，b ＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】 8
16.若复数z满足|z－i|≤2(i 为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为
________.

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
【解析】 设z＝x＋yi( x，y∈R)，则由|z－i|≤2可得x
2
＋（y－1）
2
≤2，即x2
＋(y－
1)
2
≤2，它表示以点(0，1)为圆心，2为半径的圆及 其内部，所以z在复平面内所对应的图形
的面积为2π.
【答案】 2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)计算：
(1)(2＋2i)
2
(4＋5i)；
2＋2i
?
2
?
2 016
?
(2)
＋
?
.
（1－i）
2
?
1＋i
?
【解】 (1)(2＋2i)
2
(4＋5i)＝2(1＋i)
2
(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
2＋2i
?
2
?
2016
?
(2)
＋
?

（1－i）
2
?
1＋i
?
2＋2i
?
2
?
1 008
＝＋
??

－2i
?
2i
?
?
1
?
1 008
＝i(1＋i)＋
?
i
?

??
＝－1＋i＋(－i)
1 008

＝－1＋i＋1
＝i.
?
（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，①
18.(本小题满分1 2分)已知关于x，y的方程组
?
有
?
（2x＋ay）－（4x－y＋b）i ＝9－8i，②
实数解，求实数a，b的值.
5
?
?
x＝
，
?
2x－1＝y，
【解】 由①得
?
解得
?
2

?
y－3＝1，
?< br>?
y＝4，
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
?
5＋4a＝9，
所以
?

?
－（6＋b）＝－8，
所以a＝1，b＝2.
19.(本小题满分12分 )实数k为何值时，复数z＝(k
2
－3k－4)＋(k
2
－5k－6)i是 ：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】 (1)当k
2
－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数.
(2)当k
2
－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数.
?k
2
－3k－4＝0，
(3)当
?
2
即k＝4时，z是 纯虚数.
?
k
－5k－6≠0，
?
k
2
－3k－ 4＝0，
(4)当
?
2
即k＝－1时，z是0.
?
k－5k－6＝0，
20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z
2
的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z
2
，z－z
2< br>在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
【解】 (1)设z＝a＋bi( a，b∈R)，则z
2
＝a
2
－b
2
＋2abi，由题意得 a
2
＋b
2
＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所 以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z
2
＝2i，z－z
2
＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S
△
ABC

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
＝1.
当z＝－1 －i时，z
2
＝2i，z－z
2
＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B( 0，2)，C(－1，－3)，
所以S
△
ABC
＝1.
21.(本 小题满分12分)已知复数z
1
＝5i，z
2
＝2－3i，z
3＝2－i，z
4
＝－5在复平面上
对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
→→
(2)已知AB
＝2 AP，求点P对应的复数.
【解】 (1)证明：∵|z
1
|＝|z
2|＝|z
3
|＝|z
4
|＝5，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x
2
＋y
2
＝5上，
即A，B，C，D四点共圆.
(2)∵A(0，5)，B(2，－3)，
→
∴AB＝(2，－3－5).
→
设P(x，y)，则AP＝(x，y－5)，
→→
若AB＝2 AP，那么(2，－3－5)＝(2x，2y－25)，
?
2＝2x，
∴
?

?
－3－5＝2y－25，< br>2
?
x＝
?
2
，
解得
?

5－3
?
?
y＝
2
，
5－3
2
∴点P对应 的复数为
2
＋
2
i.
→→
22.(本小题满分12分)设 O为坐标原点，已知向量OZ
1
，OZ
2
分别对应复数z
1
，z
2
，且z
1
→→
32
－
2
＝＋(10 －a
)i，z
2
＝
＋(2a－5)i，a∈R.若
z
1＋z
2
可以与任意实数比较大小，求OZ
1
·OZ
a＋51－a
2
的值.
3
【解】 由题意，得
－
z
1
＝－(10－a
2
)i，
a＋ 5
32
则
－
z
1
＋z
2
＝
－(1 0－a
2
)i＋
＋(2a－5)i
a＋51－a
2
??< br>3
＝
?
a＋5
＋
1－a
?
＋(a
2
＋2a－15)i.
??
因为
－
z
＋z
可以与任意实数比较大小，
1
2
所以
－
z
1
＋z
2
是实数，
所以a
2
＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
3
又因为a ＋5≠0，所以a＝3，所以z
1
＝
8
＋i，z
2
＝－1＋ i.
→
?
3
?
→
所以OZ
1
＝
?
8
，1
?
，OZ
2
＝(－1，1).
??

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
→→
3 5
所以OZ
1
·OZ
2
＝
8
×(－1)＋1×1＝
8
.