高中数学选修2-3测试题

高中数学选修2-3测试题
模块学习评价
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共6 0分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{a，b， c，d，e}，B?A，已知a∈B，且B中含
有3个元素，则集合B有( )
233
A．A
2
6
个 B．C
4
个 C．A
3
个 D．C
5
个
【解析】 ∵A＝{a，b，c，d， e}，B?A，a∈B，且B中含有3
个元素，则B中另外两个元素是从b，c，d，e四个元素中选出 的，
故满足题意的集合B有C
2
4
个．
【答案】 B
2 ．(2014·四川高考)在x(1＋x)
6
的展开式中，含x
3
项的系数为
( )
A．30
C．15
B．20
D．10
【解析】 根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求
出相应的系数．
r< br>因为(1＋x)
6
的展开式的第(r＋1)项为T
r
＋
1＝C
r
x(1＋x)
6
的展开
6
x
，
23
式中含x
3
的项为C
6
x
＝15x
3
，所以系数为15.
【答案】 C
3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、 外语竞
赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48
1 13

高中数学选修2-3测试题
C．72 D．120
14
【解析】 A参加时有C
3
A
2
·A3
4
·
3
＝48种，A不参加时有A
4
＝24
种，共72种．
【答案】 C
4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析 数
据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01
的前提下认为这个结 论是成立的，下列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
【答案】 D
5．李老师乘车 到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇
到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上 班途中遇见红
灯次数的数学期望是( )
A．0.4
C．0.4
3

B．1.5
D．0.6
【解析】 遇到红灯的次数服从二项分布X～B(3,0.5)．
∴E(X)＝3×0.5＝1.5.
【答案】 B
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙所选的课程
中至少 有1门不相同的选法共有( )
A．6种
C．30种
B．12种
D．36种
2 13

高中数学选修2-3测试题
【解析】 分两类：仅有一门相同时，可先选出相同的课程有
1
A
4
种，再让甲选，有3种，最后乙选有2种，即共有A
1
4
×3×2＝24
2< br>种；当两门都不相同时，共有C
2
4
种选法，故共有24＋C
4
＝30种．
【答案】 C
7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率
分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A．0.9
C．0.7
B．0.2
D．0.5
【解析】 设事件A，B分别表 示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)
＝0.4，P(B)＝0.5，事件“恰有一人击中敌机”的概率 为P(AB＋AB)
＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
【答案】 D
8．已知随机变量Z服从正态分布N(0，σ
2
)，若P(Z >2)＝0.023，
则P(－2≤Z≤2)＝( )
A．0.477
C．0.954
B．0.625
D．0.977
【解析】 ∵Z服从正 态分布N(0，σ
2
)，且P(Z>2)＝0.023，∴P(－
2≤Z≤2)＝1－ 0.023×2＝0.954.
【答案】 C
9．(2013·课标全国卷Ⅰ)设m为正整 数，(x＋y)
2m
展开式的二项
式系数的最大值为a，(x＋y)
2m＋
1
展开式的二项式系数的最大值为b.
若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
3 13

高中数学选修2-3测试题
C．7 D．8
【解析】 (x＋y)
2m
展开式中二项式系数的最大值为 C
m
2m
，∴a＝
m
＋
1
C
m
2 m
.同理，b＝C
2m
＋
1
.
＋
1
∵1 3a＝7b，∴13·C
m
C
m
2m
＝7·
2m
＋
1
.
?2m?！?2m＋1?！
∴13·＝7·
.
m！m！?m＋1?！m！
∴m＝6.
【答案】 B
10．对标有不同编 号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不
放回地依次摸出2件，在第一次摸出正品的条件下，第二次 也摸到正
品的概率是( )
3251
A.
5
B.
5
C.
9
D.
10

【解析】 记“ 第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸到正
1
C
1
3C
1
1P?AB?
66
C
5
品”为事件B，则P(A)＝
C
1< br>＝
5
，P(AB)＝
C
1
C
1
＝
3
.故P(B|A)＝
P?A?
10109
5
＝
9
.
【答案】 C
11．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各
选2 个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课
题B至少有一个被选中的不同选法种数是 k，那么二项式(1＋kx
2
)
6
的
展开式中x
4
的系数为( )
A．50 000
C．54 000
B．52 000
D．56 000
4 13

高中数学选修2-3测试题
222
【解析】 A、B均未被选中的种数有C
2
3
C
5< br>＝30，∴k＝C
4
C
6
－30
＝60.
2r24
在(1＋60x
2
)
6
展开式中，T
r
＋
1
＝C
r
令r＝2，得T
3
＝C
2
6
(6 0x)
，
6
60x
＝54 000x
4
.故选C.
【答案】 C

图2
12．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶 上跳来跳去(每
次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时
针方向跳的 概率的两倍，如图2所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳
三次之后停在A叶上的概率是( )
1248
A.
3
B.
9
C.
9
D.
27

【解析】 青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，
2228
P
1
＝
3
×
3
×
3
＝
27
；
第二条，按A→C→B→A，
1111
P
2
＝
3
×
3
×
3＝
27
.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
811
P＝P
1
＋P
2
＝
27
＋
27
＝
3.
5 13

高中数学选修2-3测试题
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填
在题中的横线上)
13．若x～B(n，p)且Ex＝6，Dx＝3，则P(x＝1)的值为________．
【解析】 Ex＝np＝6，
Dx＝np(1－p)＝3
1
∴n＝12，P＝
2

1
∴P(x＝1)＝C
1 2
··(
11
11
－
10
)
＝3×2
22
【答案】 3×2
－
10

14． (2013·课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出
1
两个不同的数，若取出 的两数之和等于5的概率为
14
，则n＝________.
【解析】 由题意知n ＞4，取出的两数之和等于5的有两种情
21
况：1,4和2,3，所以P＝
C
2
＝
14
，即n
2
－n－56＝0，解得n＝－7(舍
n
去)或n＝8.
【答案】 8
15．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其
密度函数曲线如图，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是
____ ____．

6 13

高中数学选修2-3测试题
图3
【解析】 由题图知X～N(μ，σ
2
)，
其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝0.682 6.
∴人数为0.682 6×1 000≈682.
【答案】 682
16． (2012·陕西高考)(a＋x)
5
展开式中x
2
的系数为10，则实数a
的值为________．
5
－
rr
【解析】 (a＋x)
5
的展开式的通项公式为T
r
＋
1
＝C
r
x.
5
a
33
当r＝2时，由题意知C
2
5
a
＝10，∴a＝1，∴a＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女
生2人)，任选3人参加学校 的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选 中”为事件B，
求P(B)和P(B|A)．
【解】 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得
C
3
1
4
P( ξ＝0)＝
C
3
＝
5
，
6
1
C
2
3
4
C
2
P(ξ＝1)＝
C
3
＝
5
，
6
7 13

高中数学选修2-3测试题
2
C
1
1
4
C
2
P(ξ＝2)＝
C3
＝
5
.
6
∴ξ的分布列为
ξ
P
0
1
5

1
3
5

2
1
5

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
3
C< br>4
41
则P(C)＝
C
3
＝
20
＝
5
，
6
14
∴所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－
5
＝
5
.
2
C
5
101
(3)P(B)＝
C
3
＝
20
＝
2
，
6
C
1< br>42
4
P(B|A)＝
C
2
＝
10
＝
5
.
5
18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)
某车间共 有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数
的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位 数．

图4
(1)根据茎叶图计算样本均值．
(2)日加工零件个数大 于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶
图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概
率．
【解】 (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x
8 13

高中数学选修2-3测试题
1
＝
6
(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，
故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的
211
频率为
6
＝
3
，该车间12名工人中优秀工人大约有12×
3
＝4(名)，故
该车间约有4名优秀工人．
(3)记“恰有1名优秀工人 ”为事件A，其包含的基本事件总数为
12
C
1
4
C
8＝32，所有基本事件的总数为C
12
＝66，由古典概型概率公式，
3216< br>得P(A)＝
66
＝
33
.
16
所以恰有1名优秀工人的概率为
33
.
19．(本小题满分12分)对于表中的数据
x 1 2 3 4
y 1.9 4.1 6.1 7.9
(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？
(2)求线性回归方程．
【解】 (1)如图，x，y具有很好的线性相关性．

4
(2)因为x＝2.5，y＝5，∑
i
＝

1
x
i
y
i
＝60，
9 13

高中数学选修2-3测试题
44
∑
i
＝

1
x
i
2
＝30，∑
i
＝

1
y
i
2
＝120.04.
60－4×2.5×5
故b＝＝2，
2
30－4×2.5
a
＝y－b
x＝5－2×2.5＝0，
故所求的回归直线方程为
∧
∧∧
∧
y
＝2x.
2
20．(本小题满分12分)已知(x－
x
)
n
的展开式中，第4 项和第9
项的二项式系数相等，
(1)求n；
(2)求展开式中x的一次项的系数．
38
【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C
n
＝C
n
，
解得n＝11.
(2)由(1)知，展开式的第k＋1项为
k
T
k
＋
1
＝C
11
(x)
11
－
k
11－3k
2
kkk
(－
x
)
＝(－2)
C
11
x
2
.
11－3k
令
2
＝1得k＝3.
3
此时T
3
＋
1
＝(－2)
3
C
11
x＝－1 320x，
所以展开式中x的一次项的系数为－1 320.
21．(本小题满分12分)(2014·天津高考)某大学志愿者协会有6
10 13

高中数学选修2-3测试题
名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名 同学来自数学学院，
其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这
10名同 学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学
被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分
布列和数学期望．
【解】 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事
10
C
3< br>·C
2
C
3
7
＋C
3
·
7
49
件A，则P(A)＝＝
60
.
C
3
10
49
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为
60
.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
k
－
k
C4
·C
3
6
P(X＝k)＝
C
3
(k＝0,1 ,2,3)．
10
所以，随机变量X的分布列是
X
P
0
1
6

1
1
2

2
3
10

3
1
30

11316
随机变量X的数学期望E(X)＝0×
6
＋1×
2
＋2×
10＋3×
30
＝
5
.
22．(本小题满分12分)我校随机抽取 100名学生的学习积极性
和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

积极参加班
级工作
不太主动参
加班级工作
总计
11 13

高中数学选修2-3测试题
学习积极性高
学习积极性一般
总计
40



30



100
已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到积极参加班级工
作的学生的概率是0.6.
(1)请将上表补充完整(不用写计算过程)
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生 的学习积极性与对
待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
(3)从学习积极性高的同学中 抽取2人继续调查，设积极参加班
级工作的人数为X，求X的分布列和期望．
【解】 (1)
积极参加班级工作
不太主动参加班级
工作
10
30
40
总计

学习积极性高
学习积极性一般
总计
40
20
60
50
50
100
(2)假设学生的学习积极性与对待班级工作的态度无关，由上表
100×?40×30－10×20?
2
K
2
＝

50×50×60×40
100×1 000
2
＝

50×50×60×40
≈16.667>10.828.
故假设不成立，在犯错误概率不超过0.001条件下认为学生的学
12 13

高中数学选修2-3测试题
习积极性与对待班级工作的态度有关．
(3)X的所有可能取值为0,1,2，
2
C
10
P(X＝0)＝
C
2
，
50< br>1
C
10
·C
1
40
P(X＝1)＝
C2
，
50
2
C
40
P(X＝2)＝
C
2
.
50
X的分布列为
X
P
0
C
2
10

C
2
50
1
1
C
1
C
4010
·

C
2
50
2
C
2
40

C2
50
21
C
10
C
1
C
40
C
2
10
·
40
E(X)＝0×
C
2
＋ 1×
C
2
＋2×
C
2
＝1.6.
505050
13 13