高中数学选修2-2作业——第1章 1.4

§1.4 生活中的优化问题举例
课时目标 通过用料最省、利润最大、效 率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际
问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化 问题．

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为< br>____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工 具，运用
________，可以解决一些生活中的____________．
2．解决实 际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、
联想、抽象和转化完成． 函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而
且其上有惟一的极值，则它就是函数的 最值．
3．解决优化问题的基本思路是：
优化问题→用函数表示的数学问题

优化问题的答案←用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程．

一、选择题
60－x
?
1．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x
2
?
则当箱子的容积最大时，
?
2
?
(0箱子底面边长为( )
A．30 B．40 C．50 D．其他
1
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产 量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x
3
3
＋81x－234，则使该生产厂家 获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
3．某 工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三
边需要砌新的墙壁 ，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )

3333
A.V B.2V C.4V D．2V
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A.
C.
3103
cm B. cm
33
163203
cm D. cm
33
6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加10 0元，已
?
?
400x－
1
x
2
?0≤x≤4 00?
2
知总收益r与年产量x的关系是r＝
?
，则总利润最大时，年产量< br>?
80 000 ?x>400?
?
是( )
A．100 B．150 C．200 D．300
题 号
答 案

二、填空题
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y
1
与仓库 到车站的距离成反比，而每月库存货物的
运费y
2
与到车站的距离成正比，如果在距离 车站10千米处建仓库，这两项费用y
1
和y
2
分
别为2万元和8万 元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
8.
1

2

3

4

5

6



如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户 面积一定，窗户周长最小时，x与
h的比为________．
9．做一个无盖的圆柱形水桶 ，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
________．
三、解答题
10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间
的桥 面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥
面工程费用为( 2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因
素．记余下工程的费用为y 万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果 降低价格，销售量可以增
加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤3 0)的平方成正比，
已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？














能力提升
12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000
平方米的楼房．经测算 ，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋
48x(单位：元)．为了 使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平

均综合费用＝平均 建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝

















购地总费用
)
建筑总面积
13．已知某商品生产成本C与产量q 的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数
1
关系式为p＝25－q，求产量q 为何值时，利润L最大．
8

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立 实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之
间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)写出答案．
答案

知识梳理
1．优化问题 导数 导数 优化问题
作业设计
3
1． B [V′(x)＝60x－x
2
＝0，x＝0或x＝40.
2


2．

x
V′(x)
V(x)
(0,40)
＋
?
40
0
极大值
(40,60)
－

?
?
可见当x＝40时，V(x)达到最大值．]
2．C [y ′＝－x
2
＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当00； 当x>9
时，
y′<0，故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．]
3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，

512512
如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋ (x>0)，
xx
512
则L′＝2－
2
.
x
令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.
512
当x＝16 时，L
极小值
＝L
min
＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．]
16
4．C [设底面边长为a，直三棱柱高为h.
体积V＝
3
2
4V
ah，所以h＝，
2
4
3a
3
2
4V3
2
43V
表面积S＝2·a＋3a·2
＝a＋，
42a
3a
S′＝3a－
3
43V
，由S′＝0，得a＝4V.
a
2
3
经验证，当a＝4V时，表面积最小．]
5．D [设高为x cm，则底面半径为20
2
－x
2
cm，
π
体积V＝x·(20
2
－x
2
) (03
π
V′＝(400－3x
2
)，由V′＝0，
3
得x＝
203203
或x＝－(舍去)．
33
当x∈
?
0，
203
?
时，V′>0， ?
3
?
当x∈
?
203
，20
?
时， V′<0，
?
3
?
所以当x＝
203
时，V取最大值．]
3
6．D [由题意，总成本为c＝20 000＋100x，
所以总利润为p＝r－c
x
?
?
300x－－20 000 ?0≤x≤400?
2
＝
?
，
?
?
60 000－100x ?x>400?
p′＝
?
?
300－x ?0≤x≤400?
?
?
?
－100 ?x>400?
2


，
p′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；
当x>400时，p′<0恒成立，
易知当x＝300时，总利润最大．]

7．5
k
解析 依题意可设每月土地占用费y
1
＝
1
，每月库存货物的运费y
2
＝k
2
x，其中x是仓库x
到车站的距离．
于是由2＝
k
1
4
，得k
1
＝20；由8＝10k
2
，得k
2
＝.
105
204x204
＋，y′＝－
2
＋，
x5x5因此两项费用之和为y＝
204
令y′＝－
2
＋＝0得x＝5(x＝－5 舍去)，经验证，此点即为最小值点．
x5
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
8．1∶1
π
2
S
π
解析 设窗户面积为S，周长为L，则S＝x＋2hx，h＝－x，所以窗户周长L＝πx
22x4
＋
π
S
π
S
2x＋2h＝x＋2x＋，L′＝＋2－
2
.
2x2x
由L′＝0，得x＝
x∈
?
0，
x∈
?

2S
，
π＋4
?
?
?
?
2S
?
?
时，L′<0，
π＋4
?
2S
?
，＋∞
?
时，L′>0，
?
π＋4
2S
时，L取最小值，
π＋4
2
所以当x＝
h
2S－πx
2S
π
π＋4
π
此时＝＝
2
－＝－＝1.
x4x
2
4x444
9．3
解析 设半径为r，则高h＝
27π
27
＝.
πr
2
r
2
27
54π
∴水桶的全面积S
(r)
＝πr
2
＋ 2πr·
2
＝πr
2
＋.
rr
S′
(r)
＝2πr－
54π
，
r
2
令S′
(r)
＝0，得r＝3.
∴当r＝3时，S
(r)
最小．
10．解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
m
即n＝－1 (0x
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x

mm
＝256
?
－1
?
＋(2＋x)x
?
x
?
x
＝
256m
＋mx＋2m－256 (0x
1
_
256m1
(2)由 (1)知，f′(x)＝－
2
＋m
x
2

x2
m
＝
2
(
x
2
－512)．
2x
3
3
令f′(x)＝0，得
x
2
＝512，所以x＝ 64.
当0当 640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64 处取得最
小
m640
值，此时n＝－1＝－1＝9.
x64
故需新建9个桥墩才能使y最小．
11．解 (1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx
2
，若记商品在一个星期的销售
利
润为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx
2
)
＝(21－x)·(432＋kx
2
)，
又由已知条件24＝k·2，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x
3
＋126x
2
－432x＋9 072，
x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x
2
＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
[0,2)
－
?
?

2
0
极小值
(2,12)
＋
??
12
0
极大值
(12,30]
－
?
?
2
故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝
18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
2 160×10 000
12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋
2 000x
＝560＋48x＋
10 800
(x≥10，x∈N
*
)，
x

10 800
f′(x)＝48－
2
，
x
令f′(x)＝0得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当0因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
1
?
1
2
13．解 收入R＝q·p＝q
?
25－q＝25q－q.
?
8
?
8
1
利润L＝R－C＝
?
25q－q
2
?
－(100 ＋4q)
?
8
?
1
＝－q
2
＋21q－100 (08
1
L′＝－q＋21，
4
1
令L′＝0，即－q＋21＝0，解得q＝84.
4
因为当00；
当84所以当q＝84时，L取得最大值．
所以产量q为84时，利润L最大．