高中数学各部分难度-2018高中数学竞赛广西成绩查询
推理与证明
一、核心知识
1.合情推理
（1）归纳推理的定义： 从个别事实 中推演出一般性
的结论，像这样的推理通常称为归纳
推理。 归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般 的推理。
（2）类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它
们
在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
2.演绎推理
(1)定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定
理等）按照严格
的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
(2)演绎推理的主要形式：三段论
“三段论”可以表示为：①大前题：M 是
P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。
其中①是
大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个
特殊对象；③是结论，它
是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
3.直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接
推证结论的真实
性。直接证明包括综合法和分析法。
（1）综合法就是 “由因导果” ，
从已知条件出发， 不断用必要条件代替前面的条件，直
至推出要证的结论。
（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立
的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A
成立的
充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
4反证法
（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否
定是错误的，
从而肯定原结论是正确的证明方法。
（2）一般步骤：（1）假设命题结论不
成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过
推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确
，即所求证命题正确。
（3）反证法的思维方法:正难则反
5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
(1)证明：当 n
取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；
1
(2)假设当 n=k (k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立
由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。
二、典型例题
例1. 已知
f(x?1)?
A.
f(x)?
2f(x)
,
f(1)?1
，猜想
f(x）
的表达式为（ ）
（x?N*）
f(x)?2
4212
； B.； C.；
D..
f(x)?f(x)?f(x)?
2
x
?2x?1x?12x?1<
br>111
35
例2. 已知
f(n)?1???L?(n?N
*
)
，计算得
f(2)?
，
f(4)?2
，
f(8)?
，
f(16)?3
，
22
23n
f(32)?
7
，由此推测：当
n?2
时，有
2
33
例3. 已知：
sin
2
30
?
?
sin
2
90
?
?sin
2
150
?
?<
br>；
sin
2
5
?
?sin
2
65
?
?sin
2
125
?
?
22
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
___________
_____________________________=
2
3
（ *
）并给出（ * ）式的证明.
2
36
例4．若
a,b,c
均为实
数，且
a?x
2
?2y?
?
,b?y
2
?2z?<
br>?
,c?z
2
?2x?
?
。
求证：
a,b,c
中至少有一个大于0。
例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=
三、课后练习
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )
?
a
1<
br>＝1，
A.
?
*
?
a
n
＋1
＝a
n
＋
n
(
n
∈N)
（n∈N*）
?
a
1
＝1，
B.
?
*
?
a
n
＝
a
n
－1
＋
n
(
n
∈N，
n
≥2)
?
a
1
＝1，
C.
?
*
?
a
n
＋1
＝<
br>a
n
＋(
n
－1)(
n
∈N)
?
a
1
＝1，
D.
?
*
?
a
n
＝
a
n
－1
＋(
n
－1)(
n
∈N，
n
≥2)
2
2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(
n
＋3)＝
边应取的项是(
)
(
n
＋3)(
n
＋4)
(
n
∈N*
)时，验证
n
＝1，左
2
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
111
3．已知
f
(
n
)＝＋＋＋…＋
2
，则( )
nn
＋1
n
＋2
n
11
A．
f
(
n
)中共有
n
项，当
n
＝2时，
f
(2)＝＋
23
111
B
．
f
(
n
)中共有
n
＋1项，当
n
＝2时
，
f
(2)＝＋＋
234
11
C．
f
(
n
)中共有
n
2
－
n
项，当
n
＝2时，<
br>f
(2)＝＋
23
111
D．
f
(
n)中共有
n
2
－
n
＋1项，当
n
＝2时，f
(2)＝＋＋
234
4．已知
a
＋
b
＋<
br>c
＝0，则
ab
＋
bc
＋
ca
的值( )
A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0
5．已
知
c
＞1，
a
＝
c
＋1－
c
，
b
＝
c
－
c
－1，则正确的结论是( )
A．
a
＞
b
B．
a
＜
b
C．
a
＝
b
D．
a
、
b
大小不定
6．若
sin
A
1
a
＝
cos
B
b
＝
cos
C
c<
br>，则△
ABC
是( )
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
7.观察式子：
1?
A、
1?
C、
1?
1
2
2
1
2
2
1
2<
br>2
?
?
?
31151117
,1?
2
?2
?,1?
2
?
2
?
2
?
23423234
，…，则可归纳出式子为（ ）
?
?
1
32
1
3
2
??
??
1
n
2
1
n
2
11111
B、
1?
2
?
2
??
2
?
2n?12n?1
23n
2n?11112n
D、
1?
2
?
2
??
2
?
n2
n?1
23n
'
8.设
f
0
(x)?cosx,f
1
(x)?f
0
(x)
，
f
2
(x)?f
1
'
(x),L,f
n?1
(x)?f
n
'
(x)
，n∈N，则
f
2008
(x)?
9.函数
f(x)
由下表定义：
3
x
f(x)
2
5
3
3
1
4
1
2
4
5
若
a
0
?5
，
a
n?1
?f(a
n
)
，
n?0,1,2,L
，则
a
2007
?
．
10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____． 11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第
n
个图案中需用黑
色
瓷砖___________块．（用含
n
的代数式表示）
4n?8
12.
△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：
113
??
a?bb?ca?b?c
。
13.用分析法证明：若
a
>0，则
14.
?ABC
中，已知
3b?23asinB
，且cosA?cosC
，求证：
?ABC
为等边三角形。
1
15．已知：
a
、
b
、
c
∈R，且
a
＋
b
＋
c
＝1.
求证：
a
2
＋
b
2
＋
c
2
≥.
3
4
a
2
?
1
a
2
?2?a?
1
?2
。
a