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高中数学选修2-3:组合及其应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 03:59
tags:高中数学选修2

17年广西高中数学会考试题-高中数学经典题选新海教育出版社

2020年9月22日发(作者:庾肩吾)


组合
问题一:
(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加某天上、下午的活动,有多
少种不同的选法?
(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,有多少种不同的选法?
问题二: < br>(1)从5名体操运动员中选出3名分别参加双杠、吊环、鞍马三个单项比赛,
有多少种不同的选 法?
(2)从5名体操运动员中选出3名参加双杠比赛,有多少种不同的选法?
1.一般地 ,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组 合。
2.排列与组合的联系与区别:
(1)都是从n个不同的元素中取出m个元素,且m≤n
(2)有序问题是排列,无序问题是组合。
(3)同一组合只要元素完全相同。
3 .从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不
同的元素中取出m个元 素的组合数。用符号
C
n
m
表示。
例1.
哪些是排列问题?哪些是组合问题?并用排列数或组合数表示其结果。
(1)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需多少种不同的车票?
(2)从1,3,5,7中任取两个数相加,可得多少个不同的和?
(3)从1,3,5,7中任取两个数相除,可得多少个不同的商?
(4)从50件不同的产品中抽出5件来检查,有多少种不同的抽法?
(5)5个人互送照片一张,共送了多少张照片?


4.组合数公式
排列与组合是有区别的,但它们又有联系。
一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分为以下2步:
第 1步,先求出从这n个不同元素中取出m个元素
m
第2步,求每一个组合中m个元素的全排列数
A
m
C
n
m
的组合数
根据分步计数原理,得到:
mmm
A
n
?C
n
?A
m

*

m
n!
m,n?N
nn-1n-2
?
n-m+1
()()()
A
=
C
n
m
=
n
m
=
m!(n-m)!
(m?n)
A
m
m!


例2.计算

C
7
4

7
C
10


例3.证明
C

m
n
m?1
m?1
?C
n
n?m

kk?1
kC
n
?nC
n?1

m
++
1
1
n(
n-1)(-
?
2)(n
mn(
-
n
1)(n-
n
2)(n
?
-m)
-m)
?
?
m(m+1)!
证明:右边=
n-
-m(m+1)!
证明:右边
证明:右边
=
=
n(n-1)(n- 2)
?
(n-m+1)
m!
m
=C
n
=左边.
=



练:



C?2C? 3C?......?nC
1
n
2
n
3
n
n
n

C?C
5.组合数性质

说明:
(1)为简便计算, 当m>
m
n
n?m
n

n
mm
时,常将C
n
改为C
n-
来计算;
n
2
(2)为了使性质在m =n时也能成立,我们规定:C
0
n
=1.

2xx+4
1.若C=C求x
x
的值.
25

,
,求
例4 (1)

25
的值



x2x
2.若C
15
=C
15
,求x 的值.
2xx+4
1.若C
25
=C
25
,求x的值.x
2
15
2x
15
,求x的值
2.若C=C,求x的值.
(2)若








组合数性质二
mm-1
C
m
=C+C
n+1nn

例5.计算

01290
C
10
?C
11
?C
12
?.......?C
100





2222
C
2
?C
3
?C
4
? ....?C
100















组合应用
例1.
(1)6本不同的书全部送给5个人,每人至少1本,有几种方法。
(2)6本不同的书全部送给5个人,有几种方法。
(3)5本不同的书全送给6人,每人至多1本,有几种方法。
(4)5本相同的书全送给6人,每人至多1本,有几种方法。
练习:已知10件不同产品中有4件是次品,现找出所有4件次品
(1)若恰在第5次测试中,才得到第一件次品,第十次找到最后一件。
(2)恰好在第5次测试后,找出了4件次品
一、有限制条件的(至少至多)组合问题:

例 2.
按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?
(1)甲、乙、丙三人必须当选;
(2)甲、乙、丙三人不能当选;
(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;
(4)甲、乙、丙三人只有1人当选;
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;
(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
练习:在 200件产品中,有2件次品,从中任取5件;
(1)“其中恰有2件次品”的抽法有多少种?
(2)“其中恰有1件次品”的抽法有多少种?
(3)“其中没有次品”的抽法有多少种?


(4)“其中至少有1件次品”的抽法有多少种?
二、分组问题:

例 3.
六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?
(1)分为3份,1份1本,1份2本,1份3本。无序不均匀分组
(2)分给甲、乙、丙三人,甲1本,乙2本,丙3本。
(3)分给甲、乙、丙三人,1人1本,1人2本,1人3本。有序不均匀分配
(4)分为3份,1份1本,1份1本,1份4本。无序部分均匀分组
(5)分给甲、乙、丙三人,甲1本,乙1本,丙4本。
(6)分给甲、乙、丙三人,1人1本,1人1本,1人4本有序部分均匀分配
(7)分为3份,每份2本;
(8)分给甲2本,乙2本,丙2本
(9)分给甲、乙、丙三人,每人2本

分组问题:组与组之间,只要元素个数相同,就是不用区分;
分配问题:遵循先分组,后排列。



练习:
1.从6名男生和4名女生中,选出3名男生和2名女生分别承担A,B,C,D,E
五项工作,一共有多少种不同的分配方法?
2.将四个不同的小球,4个不同盒子,现在要把球全部放进盒子里
(1)恰有一盒子不放球,有多少种分法?
(2)恰有二个盒子不放球,有多少分法?

三、隔板法:
例4.
将12个相同的小球投入到9个不同的盒子里,盒子不空,有多少种投法?
解法一:一个盒子里先放一个球,剩3个;
从9个盒子中选3个盒子;从9个盒子中选2盒子;
从9个盒子中选1个盒子
解法二:将12个小球排一列,有11空格,放8个挡板

练习:1、有10个三好 生名额,分配到高三年级6个班,每班至少1个名额,
共有多少种不同的分配方案?
2、孝感 一中东大道上有9盏路灯,为了节约用电,准备熄灭3盏,但两端的
不熄,相邻的不熄,问有多少不同的 熄灯方案?
变式:x、y、z∈N,且y≥2,z≥3,若x+y+z=10,求有多少组不同的解。
变式练习:有编号为1,2,3的三个盒子,将20个完全相同的小球放在盒子
中,要求每个盒 子中球的个数不小于它的编号数,则共有多少种不同的分配方
案?



例5.
7个相同小球放进4个不同盒子,每盒可空有几种方法?
解法一:3个挡板与7个小球排一列
解法二:11个小球进入4个不同的盒子,每盒不空

练习:(1) x+y+z=10的正整数解有几组?
x+y+z=10的非负整数解有几组?
(2) 8个扶贫名额要分给3个村子,问有几种方法?
15个人在9个车站下车,只区别每个车站的下车人数 ,问有几种方法?

四、元素交叉问题
例6.
某出旅行社有10名导游,其中有5人只会英语,3人只会 日语,还有2
人既会英语又会日语,现从这9人中选出3人会英语,2人会日语,有多少种
不同 的选法?

练习:某歌舞团有7名演员,其中3名会唱歌,2名会跳舞,2名既会唱歌又会跳舞,现在要从7名演员中选出2人,一人唱歌,一人跳舞,到农村演出,
问有多少种选法?








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