人教A版高中数学选修2-2作业：第1章导数及其应用1.1.3 课后

第一章 1.1 1.1.3

一、选择题
7
1
－1，－
?
处的切线的倾斜角为( B ) 1．曲线y＝x
3
－2在点
?
3
??
3
A．30° B．45° C．135° D．60°
17
?－1＋Δx?
3
－2＋
33
Δy
解析 ∵
Δ
lim ＝lim ＝1，
x
→
0
Δx
Δx
→
0
Δx
∴切线的斜率为1，∴倾斜角为45°.
2．曲线y＝x在点P(4,2)处的切线方程为( B )
A．x＋4y＋4＝0
C．x＋4y＋12＝0
解析 ∵
Δ
lim
x
→
0
Δy
＝lim
Δx
Δx
→
0
B．x－4y＋4＝0
D．x－4y＋12＝0
4＋Δx－2
Δx
1
＝
Δ
lim ＝，
x
→
0
?4＋Δx＋2?Δx
4
Δx
1
∴曲线在点P(4, 2)处的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.
4
3．已知函数y＝f(x )的图象如图，则f′(x
A
)与f′(x
B
)的大小关系是( B )

A．f′(x
A
)>f′(x
B
)
C．f′(x
A
)＝f′(x
B
)
B．f′(x
A
)B
)
D．不能确定
解析 由图象知函数在A点处的切线的倾斜角小于在B点的切线的倾斜角，故
f′(x
A
)B
)．
4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( A )

A．2 B．3 C．4 D．5
解析 易得切点P(5,3)，f′(5)＝－1，f(5)＝3，
所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
5．设f(x)为可导函数，且满足
Δ
lim
x
→
0
的切线的斜率是( B )
f?1?－f?1－Δx?＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处
Δx

A．2 B．－1
1
C．
2
D．－2
解析 由题意得
Δ
lim
x
→
0
f[1＋?－Δx?]－f?1 ?
＝f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
－Δx
切线 的斜率为f′(1)＝－1.故选B．
6．抛物线y＝ax
2
在点Q(2,1)处的 切线方程为x－y－1＝0，则a的值为( A )
1
A．
4
1
B．
3
1
C．
2
D．1
a?Δx＋2?
2
－a·2
2
1
解析 k＝
Δ
lim ＝4a＝1，所以a＝，故选A．
x
→
0
Δx
4
二、填空题
7．若曲线y＝2x
2
－4x＋p与y＝1相切，则p＝_3__.
解析 由题意得k＝
Δ
lim
x
→
0
Δy

Δ x
2?x＋Δx?
2
－4?x＋Δx?＋p－?2x
2
－4x＋p?
＝
Δ
lim
x
→
0
Δx
＝4x－4＝0，
解得x＝1，所以切点为(1,1)，所以2－4＋p＝1，则p＝3.
132
8． 若点P是抛物线y＝x
2
上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为____.
24
1
解析 由题意知，点P为平行于直线y＝x－2且与y＝x
2
相切的一条切线的切点．
2< br>11
?x＋Δx?
2
－x
2
22
Δy
∵y′ ＝
Δ
lim ＝lim
x
→
0
Δx
Δx
→
0
Δx
?
x＋
1
Δx
?
＝x，
＝
Δ
lim
x
→
0
?
2
?∴k＝y′|x＝x
0
＝x
0
＝1，
1
1，
?
. ∴切点P为
?
?
2
?
故点P到直线y＝x－2的最小距离为
d＝
?
1－
1
－2
?
?
2
?
3 2
2
＝
4
.
9．已知函数f(x)＝e
x
，且其 导函数f′(x)＝e
x
，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线
方程 为__x－y＋1＝0__.
解析 ∵f(0)＝e
0
＝1，f′(0)＝e
0
＝1，∴由点斜式得切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x
－y＋1＝0.
三、解答题

10．已知曲线y＝2x＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x＋3垂直？并写出
该点的切线方程．
解析 y′＝
Δ
lim
x
→
0
＝
Δ
lim
x
→
0
＝
Δ
lim
x
→
0
Δy

Δx
2x＋Δx＋1－2x－1

Δx
21
＝＝.
x
Δx?x＋Δx＋x?
2x
11
＝，
x
02
2?x＋Δx－x?
设切点坐标为(x
0
，y
0
)， 依题意y′|x＝x
0
＝
1
∴x
0
＝4，y
0＝5，切线方程为y－5＝(x－4)，
2
即x－2y＋6＝0.
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y＝－2x＋3垂直，所求切线方程为x－2y＋6＝0.
11．求曲线y＝x
3
在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
?3＋Δx?
3
－3
3
解析 ∵f′(3)＝
Δ
lim ＝27，
x
→
0
Δx
∴在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)，
1
故所求三角形的面积S＝×2×54＝54.
2
12．已知抛物线y＝x
2
＋bx＋c在点(1,2)处的切线与直线y＝x－2平行，求b，c的值．
解析 ∵点(1,2)在抛物线y＝x
2
＋bx＋c上，
∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1.①
∵抛物线在点(1,2)处的切线与直线y＝x－2平行，
∴y′|
x
＝< br>1
＝1，而y′|
x
＝
1
＝
Δ
lim
x
→
0
Δy

Δx
?1＋Δx?
2
＋b?1＋Δx?＋c－?1＋b＋c?
＝
Δ
lim
x
→
0
Δx
＝
Δ
lim (Δx＋2＋b)＝2＋b，
x
→
0
∴2＋b＝1.②
由①②可得b＝－1，c＝2.

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