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第一章 1.1 1.1.1 1.1.2
一、选择题
1．如果
某物体的运动方程为s(t)＝2(1－t
2
)(s的单位为m，t的单位为s)，那么该物体
在
1.2 s时的瞬时速度为( C )
A．－0.88 ms B．0.88 ms
C．－4.8 ms D．4.8 ms
解析 该物体在1.2
s时的瞬时速度即为s(t)在t＝1.2处的导数，利用导数的定义求解即
可．
2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝( A )
A．2 B．－2
C．3 D．不确定
解析 ∵f′(1)＝
Δ
lim
x
→
0
f?1＋Δx?－f?1?
aΔx
＝
Δ
lim ＝a，
x
→
0
ΔxΔx
且f′(1)＝2，∴a＝2，故选A．
[f?x?]
2
－[f?x
0
?]
2
3．已知f(x)在x
＝x
0
处可导，
x
lim＝( D )
→x
0
x－x
0
A．f′(x
0
)
解析
因为
x
lim
→x
0
B．f(x
0
)
f?x?－f?x
0
?
＝f′(x
0
)，
x－x
0
C．[f′(x
0
)]
2
D．2f′(x
0
)f(x
0
)
[f?x?]
2
－[f?x
0
?]
2
所以
x
lim
→x
0
x－x
0
＝
x
lim
→x
0
＝
x
lim
→x
0
[f?x?＋f?x
0
?][f?x?－f?x
0
?]
<
br>x－x
0
f?x?－f?x
0
?
·lim
[f(x)
＋f(x
0
)]
x－x
0
x→x
0
＝f′(x<
br>0
)·[f(x
0
)＋f(x
0
)]＝2f′(x
0
)·f(x
0
)．故选D．
4．函数y＝x
2
在区间[x
0
，x
0
＋Δx]内的平均变化率为k
1
，在区间[x0
－Δx，x
0
]内的平均变
化率为k
2
，则( A
)
A．k
1
＞k
2
B．k
1
＜k
2
C．k
1
＝k
2
D．不确定
2
?x
0
＋Δx?
2
－x
2
x
2
00
－?x
0
－Δx?
解析 ∵k
1
＝＝2x
0
＋Δx，k
2
＝＝2x
0
－Δx，又由题意知Δ
x＞0，
ΔxΔx
故k
1
＞k
2
.
5．质点的运
动规律为s(t)＝t
2
＋3，则从3到3＋Δt这段时间内质点的平均速度为( A )
A．6＋Δt
9
B．6＋Δt＋
Δt
C．3＋Δt
D．9＋Δt
－
s?3＋Δt?－s?3??3＋Δt?
2
＋3－3
2
－3
6Δt＋?Δt?
2
解析 平均速度v＝＝＝＝6＋Δt.
ΔtΔt
3＋Δt－3
故选A．
6．设函数f(x)在点x
0
附近有定义，且有f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)＝aΔ
x＋b(Δx)
2
(a，b为常数)，
则( B )
A．f′(x)＝a
B．f′(x
0
)＝a C．f′(x)＝b D．f′(x
0
)＝b
解析 由导数定义得
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?aΔ
x＋b?Δx?
2
f′(x
0
)＝
Δ
lim
＝
Δ
lim ＝a，故选B．
x
→
0x
→
0
ΔxΔx
二、填空题
7．设函数f(x)在x＝3处可导，且f′(3)＝－2，f(3)＝2，则lim
x
→
3
解析 因为lim
x
→
3
＝lim
x
→
3
＝lim
x
→
3
2x－3f?x?
x－3
2x－3f?x?
的值为__8__.
x－3
2x－2×3－3[f?x?－f?3?]
x－3
2x－6f?x?－f?3?
－3·lim ＝2－3f′(3)＝8. x
→
3
x－3x－3
8．过曲线y＝x
2
＋1上两点P
(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割
线的斜率k＝__2.1
__，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝__2.001__.
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)<
br>2
＋1－(1
2
＋1)＝2Δx＋(Δx)
2
，
∴
Δy
＝2＋Δx，
Δx
∴割线斜率为2＋Δx.
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1；
当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
11
9
．已知函数y＝(x
2
＋1)，则函数从x
0
到x
0
＋Δx
的平均变化率是__x
0
＋
Δx__.
22
11
[?x<
br>0
＋Δx?
2
＋1]－?x
2
＋1?
2
0<
br>Δy
2
1
解析 ＝＝x
0
＋
Δx.
ΔxΔx
2
三、解答题
10．利用导数的定义求函数y＝|x|(x≠0)的导数．
解析
∵y＝|x|，∴当x>0时，y＝x，
则
Δy
?x＋Δx?－x
Δy
＝＝1，
Δ
lim
＝1；
x
→
0
ΔxΔxΔx
Δy
－?x＋Δx?－?－x
?
当x<0时，y＝－x，＝＝－1，
ΔxΔx
lim
Δx
→
0
Δy
＝－1.
Δx
?
?
1，x>0，
∴y′＝
?
?
－1，x<0.
?
11．一作直线运动的物体，其位移s与时间
t的关系是s(t)＝3t－t
2
(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解析
(1)初速度v
0
＝
Δ
lim
t
→
0
s?Δt?－s?0?
Δt
3Δt－?Δt?
2
＝
Δ
lim
＝
Δ
lim (3－Δt)＝3(ms)，
t
→
0t
→
0
Δt
即物体的初速度为3 ms.
(2)v＝
Δ
lim
t
→
0
s?2＋Δt?－s?2?
Δt
3?2＋
Δt?－?2＋Δt?
2
－?3×2－4?
＝
Δ
lim
t
→
0
Δt
－Δt
2
－Δt
＝
Δ
lim ＝
Δ
lim (－Δt－1)＝－1(ms)，
t
→
0t
→
0
Δt
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 ms，方向与初速度相反．
－
s?2?－s?0?6－4－0
(3)v＝＝＝1(ms)，
2
2－0
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 ms.
12．设y＝f(x)＝(2x＋a)
2
，且f′(2)＝20，求a的值．
解析 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(4＋2Δx＋a)
2
－(4＋a)2
＝4(4＋a)Δx＋4(Δx)
2
，
∴
Δy
＝4(4＋a)＋4Δx.
Δx
Δy
＝4(4＋a)，又f′(2)＝20，
Δx
∴f′(2)＝
Δ
lim
x
→
0
∴4(4＋a)＝20，解得a＝1.
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