人教A版高中数学选修2-2配套限时规范训练：第1章 导数及其应用 1.6

第一章 1.6

基础练习
1．(2017年宁夏月考)曲线y ＝x
2
＋1与两坐标轴及x＝1所围成的图形的面积S为( )
1
A．
3
5
C．
3
【答案】B
4
B．
3
D．2
2．
π
A．
2
π
C．－ < br>2
?
sin
x
＋cos
x
?
2
dx 的值是( )
2
??
2
π
B．＋1
2
D．0
【答案】B
3．(2018年山西实验中学高二月考)若
?
A．－1
C．2
【答案】B
【解析】
?
?
解得a＝1.
4．(2017年山东枣庄期末)?
1
(e
x
－2x)dx的值为( )
?
1
2
(x－a)dx＝
?
6
cos xdx，则实数a的值为( )
?
0
5π
B．1
D．4

2
?x－a?dx＝
1
5π
?
1
x2
－ax
?
?
2
3
??
＝
1
，所以
3
－a＝
1
，
6
1
＝－a，
?cos xdx＝sin x
?
2
?
?
222
?
0
?
2

?
0
A．e－2
C．e
【答案】A
B．e－1
D．e＋1
1
?e
x< br>－2x?dx＝?e
x
－x
2
?
?
1
1x
【解析】
?
?
?
0
＝(e－1)－(1－0)＝e－ 2，∴
?
(e－2x)dx＝e－2.故选
0

?
0
A．
5．函数f(x)是一次函数，
?
1
f (x)dx＝5，
?
1
xf(x)dx＝
?
0
?
0
17
，那么函数f(x)的解析式是
6
____________．

【答案】f(x)＝4x＋3
1
2
1
2
a x＋bx
??
1
【解析】设f(x)＝ax＋b，则
?
1
f (x)dx＝
?
0
＝a＋b＝5，
?
1
xf(x)dx＝< br>?
1
(ax＋
2
???
2
???
000
1
3
1
2
??
1
1117
bx)d x＝
?
?
3
ax＋
2
bx
??
0
＝
3
a＋
2
b＝
6
，解得a＝4，b＝3，即f(x)＝4 x＋3.

?
6．已知2≤
?
(k＋1)dx≤4，则实数k的取 值范围为______．
－
1
11
－，
?
【答案】?
?
33
?
11
?
【解析】
?
?k＋1?dx＝?k＋1?x
|
2
－
1
＝3(k＋1)，则2 ≤3(k＋1)≤4，解得－≤k≤，所以
33
－
1
11
－，
?
. k的取值范围是
?
?
33
?
7．求定积分e
2
x
dx.
2
2
1
【解析】取函数F(x)＝e
2
x
，则 < br>2
1
2
x
?
1
e
′＝e
2
x
·F′(x)＝
?
(2x)′＝e
2
x
.
?< br>2
?
2
所以
1
2
x
?
111
2
x
2
edx＝e
?
＝(e
1
－e
0< br>)＝e－.
2
?
222
?
0
1
1

?
8．求定积分
?
－2
|x
2
－2|dx的值．
?
【解析】
?
|x
2
－2|dx
－2
＝
?
－
1
?
－
2
2
(x
2
－2)dx＋
1
(－x
2
＋2)dx
?
?
－< br>2
1
3
1
3
－
2
???
1
x－2x
??
－
－
＝
?
＋
?
3
? ?
2
?
3
x＋2x
??
－
＝
82＋1.
3

2

能力提升
?
?
2x ＋1，x∈[－2，2]，
40
3
f(x)dx＝9．(2019年黑龙江大庆期末) 已知f(x)＝
?
若，则k的值
?
2
，x∈[2，4].
3
?
1＋x
?
?
k

为( )
A．0 B．0或－1 C．0或1 D．－1
【答案】B < br>224040
【解析】∵
?
3
f(x)dx＝
?
3< br>(1＋x
2
)dx＝＜，∴当k≥2时，
?
3
f(x)dx＜ ，∴k＜2，∴
?
3
f(x)dx
333
????
22kk

40
＝
?
2
(2x＋1)dx＋
?
3
(x
2
＋1)dx＝，化简得k
2
＋k＝0，解得k＝0或k＝－ 1.
3
??
k2
?
10．若函数f(x)，g(x)在给定区间上 满足
?
f(x)g(x)dx＝0，则f(x)，g(x)为区间上的一组
－1
正交函数，给出三组函数：
xx
①f(x)＝sin，g(x)＝cos；
22
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x
2
.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A．0
C．2
【答案】B
B．1
D．3
1
??
11
?
1
?
【解析】对于①，∵sin x 是奇函数，所以
??
－1
f(x)g(x)dx＝
?
－1
2
sin xdx＝
2
?
－1
sin xdx，
2
－1
??
sin xdx＝0，即①是正交函数；对于②，
?
－1
f(x)g(x)dx＝
?
－1
(x
2
－ 1)dx＝
11
11
1111

4
?
1
x
3
－x
??
1
－
1
＝－≠0，
?
3
??
3
1
1
??
故②不是正交函数；对于③，
?
f(x)g(x)dx＝
?
x
3
dx＝
4
x
4
?
?
－
1
＝0，故③是正交函数．故选
－1－1

C．
11．如果
?
1
f(x)dx＝1，
?
2
f(x)dx＝－1，则
?
2
f(x)dx＝________.
?
0
?
0
?
1
【答案】－2
12．若函 数f(x)＝ax＋b(a≠0)且
?
1
f(x)dx＝1.求证：
?
1
[f(x)]
2
dx＞1.
?
0
?
0
1
2
1
ax＋bx
?
?
证明：由于
?
1
f(x)dx＝
?
1
(ax＋b)dx＝
?
＝
?< br>?
2
?
?
0
2
a＋b，
??
00
1

1
所以a＋b＝1.
2
1
23
1
2
ax＋abx
2
＋b
2
x
?
?
所以
?
1
[f(x)]
2
dx＝
?
1
(ax＋b)
2
dx＝
?
1
(a
2x
2
＋2abx＋b
2
)dx＝
?
＝a＋
?< br>?
3
?
?
0
3
???
000
1
1
11
a＋b
?
2
＋a
2
＝1＋a
2
＞1. ab＋b
2
＝
?
?
2
?
1212

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