高中数学选修2-3第一章课后习题解答

新课程标准数学选修
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第一章课后习题解答
第一章 计数原理
1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
练习 （P6）
1、（1）要完成的“一件事情”是“选出 1 人完成工作”，不同的选法种数是 5＋4 =9;
（2）要完成的“一件事情”是“从 A村经B村到C村去”,不同路线条数是3
X
2
=
6.
2、 （1）要完成的“一件事情”是“选出 1 人参加活动”，不同的选法种数是 3＋5
＋ 4= 12;
（2）要完成的“一件事情”是“从 3个年级的学生中各选 1人参加活动” ，不 同
选法种数是 3
X
5
X
4= 60.
3、 因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异， 所以应当是 6＋
4－1=9（种）可能的专业选择 .
练习 （P10）
1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项” .由于每一项都是
a
i
b
j
c
k
的形 式，
所以可以分三步完成：第一步，取
a
，有3种方法；第二步，取
b
j
，有3种方
i
法;第三步，取
c
k
，有 5 种方法 . 根据分步乘法计数原理，展开式共有 3
X
3
X
5= 45
（项） .
2、 要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位” . 分四步完成，每一 步
都是从0?9这10个数字中取一个，共有 10
X
10
X
10
X
10=10000 （个）.
3、 要完成的“一件事情”是“从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名” . 第一步选 正
组长，有5种方法；第二步选副组长，有 4种方法.共有选法5
X
4 = 20 （种）.
4、 要完成的“一件事情”是“从 6个门中的一个进入并从另一个门出去” . 分两 步
完成： 先从 6个门中选一个进入， 再从其余 5个门中选一个出去 . 共有进出方法 6
X
5=
30（种） .
习题 1.1 A 组（ P12）
1、 “一件事情”是“买一台某型号的电视机” . 不同的选法有 4＋7= 11（种） .
2、 “一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去” . 所以是“先分类，后分
步”，不同的路线共有2
X
3+ 4
X
2=14 （条）.
3、 对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数” . 由于 1， 5， 9， 13是奇数，
4， 8， 12， 16是偶数，所以 1， 5， 9， 13中任意一个为分子，都可以与 4， 8，
12， 16 中的任意一个构成分数 . 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有 4 种
选 法；第二步，选分母，也有 4种选法.共有不同的分数4
X
4= 16 （个）.
对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数” . 分四类：分子为 1 时，分母可 以
从 4， 8， 12， 16中任选一个，有 4个；分子为 5时，分母可以从 8， 12， 16中选
一个，有 3 个；分子为 9 时，分母从 12， 16 中选一个，有 2 个；分子为 13 时，分 母
只能选 16，有 1个. 所以共有真分数 4+3+2+1=10（个） .
4、 “一件事情”是“接通线路” . 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线 路
有 3+ 1 + 2
X
2= 8（条） .

5、（ 1） “一件事情”是“用坐标确定一个点” ?由于横、纵坐标可以相同，因此
可以分两步完成：第一步，从 A中选横坐标，有6个选择；第二步，从 A中选纵坐 标，
也有6个选择.所以共有坐标6
X
6 = 36 （个）.
（2） “一件事情”是“确定一条直线的方程” .由于斜率不同截距不同、斜率不
同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一 步，取
斜率，有4种取法；第二步，取截距，有 4种取法.所以共有直线4
X
4= 16 （条）.
习题1.1 B组（P13）
1、 “一件事情”是“组成一个四位数字号码” ?由于数字可以重复，最后一个只 能
在0?5这六个数字中拨，所以有号码 10
X
10
X
10
X
6 = 6000 （个）.
2、 （ 1） “一件事情”是“ 4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一
个，
可以报同一个运动队” ?应该是人选运动队，所以不同报法种数是 3
4
.
（2） “一件事情”是“ 3个班分别从5个风景点中选择一处游览”.应该是人选
风景点，故不同的选法种数是 5
3
.
1. 2排列与组合
练习（P20）
1、(1) ab,ac,ad,ba,bc,bd ,ca,cb,cd, da,db,dc
(2) ab, ac, ad, ae, ba,bc,bd, be, ca, cb, cd, ce, da, db,dc, de, ea, eb, ec, ed .
2、(1)
A
5
=15 14 13 12 = 32760
;
4
(2
)
A
7
=7! =5040
;
(3
)
A4-2A2=8 7 6 5-2 8 7 =1568
;

(4)
5
6
7
A
；
_5A
；

5

7 _ 7 _
5
?
N

2
2
3
6
4
A
；
A
；
8
N ! 24
120
720 5040 40320
4、 （ 1）略?
3
（2）
A
8
-8A
7
7A
6
=8A
7
-8A
7
A
=
A
；
.
7
3
5、
A
s
=60
（种）.
练习（P25）
6、
A
4
= 24
（种）
1、（ 1）甲、乙， 甲、丙， 甲、丁， 乙、丙， 乙、丁， 丙、丁;
冠军

甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙
乙 甲 丙
甲
丁
乙 丁 丙 丁
亚军
甲
丙 乙 丁 乙 丁 丙
2、 ABC， :ABD， :ACD， : BCD .
3、
Cs -20
(种). 4、
C
2
-6
(个)

5、
2

6汇5
⑴

C6
=1 2
5
；
Ct
8 7 6
=56 ；
1 工2 乂 3
( 4)
3C
；
-2C
；
=3 56 - 2 10 = 148
.
(3
) C
；

-C
：

=35-15 =20
；
m 1
m 1
6、
Cn1
T7
习题
1.2 A 组

(n 1)!
(m 1)![(n 1) -(m 1)]! m! n - m !
(P27)
n!
5A
3
4A
2
=5 60 4 1^348
；
H
A
3+
A
4
=4+12+24+24 = 64
.
G
；
2、（ 1）
=
455
； （ 2）
C
；
9
4
C
8

0
二
C
o
。
=1313400
； （ 3）
Ce ■- =
；
2
(4)
C
n
nN
n 1 n
C
= C
n
n
1
C「(n 1)晋 J
(
n
「)
3、（ 1）
(n 1)!
1)!-

=(n +1
肩一仁
nA
：
=n
%；;
n! _ (n 1)! -k n! _ (n -k 1)n! k! (k -
k! k!
心
1680
（种）不
4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有
同的停法.
5、
=24
.
6、由于书架是单层的，所以问题相当于 20个元素的全排列,
有
A
0
种不同的排
7、可以分三步完成：第一步，安排 4个音乐节目，共有
A
4
种排法；第二步，安
排舞蹈节目，共有
A
3
种排法；第三步，安排曲艺节目，共有
A
2
种排法.所以不同的
排法有
A A A
f
=288
（种）.
8、 由于
n
个不同元素的全排列共有n!个，而n! 一 n，所以由
n
个不同的数值可以
以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同
为使每一行都不重复，
m
可以取的最大值是n!.
9、 （ 1）由于圆上的任意 3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画
?
G
2
。
=45
（条）不同的弦；
（2
）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有
C
3
= 120
（个）.
0

10、 （1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都 是对
角线，所以共有对角线
C
；
-
5 = 5
（条）；
（2）同（1）的理由，可得对角线为 C
：
- n二乜 （条）.说明：本题采用间
2
接法更方便.
3
）
11、 由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四
类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值
C
4

C
2

C
43

C
-15
（种）.
12、 （ 1 ）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面数是
Cg =56
；
（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定
的四面体个数是
C
；
0
=210
.
13、 （ 1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是Cs
=10
.
（2） 由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数
是
A
5
3
=60
；
（3） 由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所
以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是 3
5

= 243 ；
（4） 由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步， 从集
合A中 取，有
m
种取法；第二步，从集合B中取，有
n
种取法.所以共有取法
mn
种?
说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决 ?
14、 由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从
第1， 2， 3题中选题，不同的选法种数有 C
：

C
：

C
2 =
24
.
15、 由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题 .
（1）
C
；
C
：
=60
；
（2） 其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有
C
；
=21
（种）选法；
（
3
） 用间接法，在
9
人选
4
人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得
到符合条件的选法数为
C
；
-C
；
=91
；
如果采用直接法，则可分为 3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到 符合
条件的方法数为
C
4
3

C
3

C
2
=91
；
（4） 用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，
得到选法总数为
C
；
-c
：
-C
：

=120
.