吉林省高中数学联赛2017-高中数学直线截距式
精心整理 提升自我
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课时过关
·
能力提升
基础巩固
1(6-2i)-(3i+1)等于(
)
A.3-3i B.5-5i
C.7+i D.5+5i
解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.
故选B.
答案B
2若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(
)
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
解析
∵
z+i-3=3-i,
∴
z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,
故选D.
答案D
3在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量
对应的复数为-1+2i,则向量
对应的复数为(
A.1+5i B.3+i
C.-3-i D.1+i
解析因为
,所以
对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B.
答案B
4若z
1
=2+i,z
2
=3+ai(a∈R),且z
1<
br>+z
2
所对应的点在实轴上,则a的值为(
)
A.3
B.2 C.1 D.-1
解析z
1
+z
2
=2+i+3+ai=
(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.
∵
z
1
+z
2所对应的点在实轴上,
∴
1+a=0.
∴
a=-1.
答案D
5若在复平面内的?ABCD中,
对应复数6+8i,
对应复数-4+6i,则
对应的复数是(
)
A.2+14i B.1+7i
1
)
精心整理 提升自我
C.2-14i D.-1-7i
解析设
对应的复数分别为z
1
与z
2
,
则有
得2z
2
=2+14i,z
2
=1+7i,
-
-
对应的复数是-1-7i. 故
答案D
6已知复数z
1
=3+2i,z
2
=1-3i,则
复数z=z
1
-z
2
在复平面内对应的点Z位于复平面内的第
象限.
答案一
7已知z
1
=m
2<
br>-3m+m
2
i,z
2
=4+(5m+6)i(m∈R).若z
1
-z
2
=0,则m=
.
解析
∵
z
1
-z
2
=(m
2
-3m+m
2
i)-[4+(5m+6)i]
=(m
2
-3m-4)+(m
2
-5m-6)i=0,
∴
答案-1
- -
∴
m=-1.
- -
8已知z
1
=
a+(a+1)i,z
2
=-3
b+(b+2)i(a,b∈R).若z
1
-z
2
=4
,则a+b=
.
解析z
1
-z
2
=
a+(a+1)i-[-3
b+(b+2)i]
=
+(a-b-1)i=4
,
由复数相等的条件,知
- -
解得
答案3
9若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.
分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.
解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1,
所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.
故a+b=3.
能力提升
1已知复数z
1
=
i,复数z
2
=cos 60°+isin
60°,则z
1
+z
2
等于(
)
A.1 B.-1
2
精心整理 提升自我
C.
i D.
i
答案A
2已知z
1
=3-4i,z
2
=-5
+2i,z
1
,z
2
对应的点分别为P
1
,P
2<
br>,则
对应的复数为(
)
A.-8+6i
C.8+6i
B.8-6i
D.-2-2i
解析由复数减法的几何意义知:
对应的复数为z
1
-z
2
=3-4i-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选B.
答案B
3已知A,B分别是复数z
1
,z
2
在复平面内对应的点,O是坐标原点.
若|z
1
+z
2
|=|z
1
-z
2
|,则
△AOB一定是(
)
A.等腰三角形
C.等边三角形
B.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析因为|z
1
+z
2
|=|z
1
-z
2
|,所以由复数加减运算的几何意义知,以O
A,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三
角形.
答案B
★4已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是(
)
B.3和1
D.
和3
A.
+1和
-1
C.5
和
解析由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|
z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.
而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为
,故最大值为
+1,最小值为
-1.
答案A
★5已知|z
1
|=1,|z
2
|=1,|z
1
+z
2
|=
,则|z
1
-z
2
|=
.
解析在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z
1
,
z
2
对应的向量
,则向量
对应z
1
+z
2
,
对应z
1
-z
2
.
由题意知|
|=1,|
|=1,|
|=
,可得∠OZ
1
Z=120°,
所以∠Z
2
OZ
1
=60°,即△Z
2
OZ
1
是等边三角形.
所以在△Z
2
OZ
1
中,|
|=1,即|z
1
-z
2
|=1.
答案1
6已知集合A={z
1
||z
1
+1|≤1,z<
br>1
∈C},B={z
2
|z
2
=z
1
+i+
m,z
1
∈A,m∈R}.
(1)当A∩B=?时,求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数m,使得A∩B=A?
解因为|z
1
+1|≤1,所以
z
1
所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心,以1为半径的圆面(圆周及其内部).
又z
2
=z
1
+i+m,
所以z
1
=z
2
-i-m.
所以|z
2
-i-m+1|≤1,即|z
2
-
[(m-1)+i]|≤1.
所以z
2
所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为
圆心,1为半径的圆面(圆周及其内部).
3
精心整理 提升自我
(1)若A∩B=?,说明上述两圆外离,其圆心距d=
-
>2,解得m的取值范围是{m|m∈R,且m>
或
m<-
}.
(2)若A∩B=A,因为两圆半径相等,所以两圆重合
,但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合,所以不存在
实数m,使A∩B=
A.
★7在复平面内,复数z
1
对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移
动,设复数z
2
对应的点在以原点为圆心,半
径为1的圆周上移动,求复数z
1
+z
2
对应的点在复平面上移动的范围的面积.
解设ω=z
1<
br>+z
2
,则z
2
=ω-z
1
,所以|z
2<
br>|=|ω-z
1
|.
因为|z
2
|=1,所以|ω-z1
|=1.此式说明对于给定的z
1
,ω对应的点在以z
1
对应
的点为圆心,1为半径的圆上运动.
又z
1
对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,
所以ω对应
点的移动范围的面积为S=2×2+π×1
2
=4+π,即复数z
1
+z2
对应的点在复平面上移动的范围的面积是
4+π.
★8已知复数z
1
=1-2i和z
2
=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:
(1)A,B两点间的距离;
(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.
解(1)|AB
|=|z
2
-z
1
|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=<
br>
.
(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对
应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-
(1-2i)|=|z-(4+3i)|.
设z=x+yi(x,y∈R),代入上式,知
|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,
即(x-1)
2
+(y+2)
2
=(x-4)
2
+(y-3)
2
.
整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.
所以线段AB的垂直平
分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10
=0.
4