2017_2018学年高中数学学业分层测评12(含解析)北师大版选修2_1

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学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
→
1
→→
1．正方体
ABCD
?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a
，点
M
在
AC
1
上且
AM
＝
M C
1
，
N
为
B
1
B
的中点，则|
MN
|
2
为( )
A.
21
a

6
15
a

6
B．
6
a

6
15
a

3
→
C.D．
【解析】 以< br>D
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A
(
a
，0,0 )，
C
1
(0，
a
，
a
)，
a
? ?
N
?
a
，
a
，
?
.设
M
(
x
，
y
，
z
)．
?
2
?

→
1
→
∵点
M
在
AC
1
上且
AM
＝
MC
1
.
2
1
∴(
x
－
a
，
y
，
z
)＝(－
x
，
a
－
y
，
a
－
z
)，
2
2
aa
?
2
aaa
?
∴
x
＝
a
，
y
＝，
z
＝.于是
M< br>?
，，
?
.
333
?
333
?
→
∴|
MN
|
＝
→
?
a
－
2
a
?
2
＋
?
a
－
a
?
2
＋
?
a
－
a
?
2

?
3
??
3
??
23
?
??????

1

＝
21
a
.
6
【答案】 A
2 ．已知平面α的法向量为
n
＝(－2，－2,1)，点
A
(
x,3,0)在平面α内，则点
P
(－2,1,4)
10
到平面α的距离为， 则
x
＝( )
3
【导学号：32550053】
A．－1
C．－1或－11
B．－11
D．－21
→
?
→
?
10
【解析】
PA
＝(
x
＋2,2，－4)，而
d
＝
?
PA
·
n
?
＝，
?
|
n
|
?
3
??
即
|－
x
＋－4－4|10
＝，解得
x
＝－1或－11.
3
4＋4＋1
【答案】 C
3．已知正方体
ABCD
?< br>A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长是1，则 直线
DA
1
与
AC
间的距离为( )
1
A.
3
C.
3

3
2
B．
3
D．
3

4

→→
【解析】 建系如图
A
(1,0,0)，
A
1
(1，0,1)，
C
(0 ,1,0)，
AC
＝(－1,1,0)，
DA
1
＝(1,0,1)，

?
n
·
→
AC
＝0
设
n
＝(
x
，
y
，
z
)，令
?
→
?
n
·
DA
＝0
1

，
?
?－
x
＋
y
＝0
∴
?
?
x
＋< br>z
＝0
?

令
x
＝1则
n
＝(1,1，－1)
→
?
→
?
3
DA
＝(1,0,0)，
DA
1
与
AC
的距离
d
＝
?
DA
·
n
?
＝ .
?
|n|
?
3
??
→
【答案】 C

2

4．△
ABC
的顶点分别为
A
(1，－ 1,2)，
B
(5，－6,2)，
C
(1,3，－1)，则
AC边上的高
BD
等于( )
A．5
C．4
B．41
D．25
→→
【解析】 设
AD
＝λ
AC
，D
(
x
，
y
，
z
)．
则(
x
－1，
y
＋1，
z
－2)＝λ(0,4，－3)．
∴
x
＝1，
y
＝4λ－1，
z
＝2－3λ，
→
∴
BD
＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
4
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，
5
→
912
??
∴
BD
＝
?
－4，，
?
，
55
??
→
∴|
BD
|＝
【答案】 A
5．在长方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点
A
1
到截 面
AB
1
D
1
的距离为( )
8
A.
3
4
C.
3
3
B．
8
3
D．
4
81144
16＋＋＝5.
2525
【解析】 如图，建立空间 直角坐标系，则
D
(0,0,0)，
A
(2，0,0)，
A
1
(2,0,4)，
B
1
(2,2,4)，
D
1
( 0,0,4)．

→
∴
D
1
B
1
＝(2,2,0)，
→→
D
1
A
＝(2,0，－4)，
AA
1
＝(0,0, 4)，
设
n
＝(
x
，
y
，
z
) 是平面
AB
1
D
1
的一个法向量，

3

→
?
→→
n
·
DB
＝0，
则n
⊥
DB
，
n
⊥
DA
，∴
?
→
?
n
·
DA
＝0，
11
111
1

?
?
2
x
＋2
y
＝0，
即
?
?
2
x
－4
z
＝0.
?

令
z
＝1，则平面
AB
1
D
1
的一个法向量为
n
＝(2，－2,1)．
?
→
?
4
∴由
AA
1
在
n
上射影可得
A
1
到平面
AB< br>1
D
1
的距离为
d
＝
?
AA
1·
n
?
＝.
?
|
n
|
?
3
??
→
【答案】 C
二、填空题
6．如图2?6?5所示，在直二面角
D
?
AB< br>?
E
中，四边形
ABCD
是边长为2的正方形，△
AEB是等腰直角三角形，其中∠
AEB
＝90°，则点
D
到平面
AC E
的距离为________．

图2?6?5
【解析】 建立如图所示 的空间直角坐标系，则
A
(0，－1,0)，
E
(1,0,0)，
D
(0，－1,2)，
→→→
C
(0,1,2).
AD
＝(0 ,0,2)，
AE
＝(1,1,0)，
AC
＝(0,2,2)，

?
n
·
→
AE
＝0，
设平面
ACE
的法向量
n
＝(
x
，
y
，
z
)，则?
→
?
n
·
AC
＝0.
?
?
x
＋
y
＝0；
即
?
?
2
y
＋2< br>z
＝0.
?




令
y
＝1，∴
n
＝(－1,1，－1)．
故点
D
到平面
ACE
的距离
?
→
??
－2
?
23
d
＝
?
AD
·
n
?
＝
??
＝
?
|
n
|
?
?
3
?
3
.
??

4

【答案】
23

3
7．设
A
(2 ,3,1)，
B
(4,1,2)，
C
(6,3,7)，
D
( －5，－4,8)，则点
D
到平面
ABC
的距离为
________ ．
【导学号：32550054】
→→
【解析】 设平面
ABC
的法向量
n
＝(
x
，
y
，
z
)，∵
n
·
AB
＝0，
n
·
AC
＝0，
?< br>?
∴
?
?
?
x
，
y
，
z< br>x
，
y
，
z
，－2，
，0，
＝0，
＝0，

?
?
2
x
－2
y
＋
z< br>＝0，
即
?
?
4
x
＋6
z
＝0，< br>?


3
?
?
x
＝－
z
2
?
?
?
?
y
＝－
z
→

令
z
＝－2，则
n
＝(3,2，－2)．
?
→< br>n
?
又
AD
＝(－7，－7,7)，∴点
D
到平面< br>ABC
的距离为
d
＝
?
AD
·
?
＝
|
n
|
??
?
?
?
－
2
＋
2
－－2×7
?
2
3＋2＋－
【答案】
4917

17
＝.
?
＝
17
?
17
494917
8．如图2?6?7所示，正方体的棱长为1，
E
，F
，
M
，
N
分别是棱的中点，则平面
A
1EF
与
平面
B
1
NMD
1
的距离为_____ ___．

图2?6?7
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，

?
1
?
F
?
1，
1
，1
?
，
?
1
?
N
?
1
，1，1
?
. 则
A
1
(1,0,0)，
B
1
(1,1,0)，
E
?
，0，1
?
，
D
1
(0,0,0)，
M
?
0，，1
?
，
????
?
2
??
2
??
2
??
2
?
∵
E
，
F< br>，
M
，
N
分别是棱的中点，
∴
MN
∥EF
，
A
1
E
∥
B
1
N
.
∴平面
A
1
EF
∥平面
B
1
NMD
1
.

5

∴平面
A
1
EF< br>与平面
B
1
NMD
1
的距离即为
A
1
到平面
B
1
NMD
1
的距离．
设平面
B
1
NMD
1
的法向量为
n
＝(
x
，
y< br>，
z
)，
→→
∴
n
·
D
1
B
1
＝0，且
n
·
B
1
N
＝0.
即(
x
，
y
，
z
)·(1,1,0)＝0， ?
1
?
且(
x
，
y
，
z
)·
?
－，0，1
?
＝0.
?
2
?
1
∴
x
＋
y
＝0，且－
x
＋
z
＝0，
2
令
x
＝2，则
y
＝－2，
z
＝1. < br>21
??
2
∴
n
＝(2，－2,1)，
n
0
＝
?
，－，
?
.
33
??
3
→
∴
A
1
到平面
B
1
NMD
1
的距 离为
d
＝|
A
1
B
1
·
n
0|
＝
?
?
?
，1，
?
2
，－
2
，
1
??
＝
2
.
?
3
?< br>33
?
???
3
2
【答案】
3
三、解答题
9．如图2?6?8，在长方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB＝4，
BC
＝3，
CC
1
＝2.

图2?6?8
(1)求证：直线
CD
1
∥平面
A
1
BC
1
；
(2)求直线
CD
1
与平面
A
1
BC
1
间的距离．
【证明】 (1)建系如图，

→
则
C
(0,4,0)，
D
1
(0,0,2)，< br>B
(3,4,0)，
A
1
(3,0,2)，
C
1(0,4,2)，所以
CD
1
＝(0，－4,2)，
BA
1→
＝(0，－4,2)，
BC
1
＝(－3,0,2)，
BC＝(－3,0,0)．
→→
平面
A
1
BC
1
，
BA
1
平面
A
1
BC
1
，所以
CD
1
∥平面
A
1
BC
1
.
6
→
→
∵
CD
1
＝
BA
1
，∴
C D
1
∥
BA
1
，又因为
CD
1