高中数学选修2-3第三章统计案例教案

第三章 统计案例
§3.1 独立性检验（1）
一．问题情境
5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症 、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都
与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与 吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下
问题：
1． 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与 吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，
不吸烟者295 人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（简称患病），183人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．
问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？
二．学生活动
为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：

吸烟
不吸烟
合计
患病
37
21
58
未患病
183
274
457
合计
220
295
515
（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：
在吸烟的人中，有
3721
?16.82%
的人患病，在不吸烟的人中，有
?7.12%
的人患病．
220295
问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？
三．建构数学
1．独立性检验：
（1）假设
H
0
：患病与吸烟没有关系．
若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：

吸烟
不吸烟
合计
患病 未患病 合计
a

c

a?c

b

d

b?d

a?b

c?d

a?b?c?d

（近似的判断 方法：设
n?a?b?c?d
，如果
H
0
成立，则在吸烟的人中患病 的比例与
不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得
ac
?
a?bc?d
，即
a(c?d)?c(a?b)?ad?bc?0
，因此，
）
| ad?bc|
越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．
设
n?a?b?c ?d
，
在假设
H
0
成立的条件下，可以通过求 “吸烟且患病”、 “吸烟但未患病”、“不吸烟但患病”、“不吸烟且未患病”
的概率（观测频率），将各种人群的估计人 数用
a,b,c,d,n
表示出来．
例如：“吸烟且患病”的估计人数为
n ?P(AB)?n?
a?ba?c
?
；
nn
a?bb?d
?
“吸烟但未患病” 的估计人数为
n?P(AB)?n?
；
nn

c?da?c
；
?
nn
c?db?d
“不吸烟且未患病”的估计人数为
n?P(AB)?n?
．
?
nn
“不吸烟但患病”的估计人数为
n?P(AB)?n?
如果实际观测值与假设求得的估 计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设
H
0
．否则，应认为假< br>设
H
0
不能接受，即可作出与假设
H
0
相反的结论．
（2）卡方统计量：
为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ
卡方χ
2
统计量公式：
2
??
(
观测值?预期值
)
2
预期值
）来 进行估计．
a?ba?c
??
a?bb?d
??
a?n??b?n ??
????
nn
??
nn
??
2
?
χ< br>?
a?ba?ca?bb?d
n??n??
nnnn
c?da?c??
c?db?d
??
c?n??d?n??
????
nnnn
????
??
c?da?cc?db?d
n??n??
nnnn2
22

22

n
?
ad?bc
?< br>?
（其中
n?a?b?c?d
）
?
a?b
??c?d
??
a?c
??
b?d
?
由此若
H0
成立，即患病与吸烟没有关系，则χ
2
的值应该很小．把
a?37,b ?183,c?21,d
χ
2
?11.8634
，统计学中有明确的结论，在
H
0
成立的情况下，随机事件“
?
发生的概率约为
0.01
，即
P(
?
2
2
?274
代入计算得
?6 .635
”
?6.635)?0.01
，也就是说，在
H
0
成立的情况下，对统计量χ
2
进行多次观测，
观测值超过
6.635
的频率约为
0.01
．由此，我们有99%的把握认为
H
0
不成立 ，即有99%的把握认为“患病与吸烟
有关系”．
象以上这种用
?
统计量研 究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检验．
说明：
（1）估计吸烟者与 不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ
2
进行独立性检验，可以对推断的正确性 的概
率作出估计，观测数据
a,b,c,d
取值越大，效果越好．在实际应用中，当< br>a,b,c,d
均不小于5，近似的效果才可接
受．
（2）这里所说的“呼吸 道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患呼吸道疾病的可能性（风
险）更大” ，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．
（3）在假设
H
0
下统计量χ
2
应该很小，如果由观测数据计算得到χ
2
的观测值很大，则在一定程度上说 明假设不合理
2

（即统计量χ
2
越大，“两个分类变量有关系 ”的可能性就越大）．
2．独立性检验的一般步骤：
一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类


Ⅰ


类
1

Ⅱ
类
2

A
和类
B
（如吸烟与不吸烟），Ⅱ也有两类取值：类
1
和

合计
类
2
（如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：
A

类
B

类
合计
a

c

a?c

b

d

b?d

a?b

c?d

a?b?c?d

推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：
第一步，提出假设
H
0
：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；
第二步，根据2×2列联表和公式计算χ
2
统计量；
第三步，查对课本中临界值表，作出判断．
3．独立性检验与反证法：
反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；
独立性检验 （假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成
立．
四．数学运用
1．例题：
例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作 用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录
作比较，结果如表所示．问：该种 血清能否起到预防感冒的作用？

使用血清
未使用血清
合计
未感冒
258
216
474
感冒
242
284
526
合计
500
500
1000 分析：在使用该种血清的人中，有
242284
?48.4%
的人患过感冒；在没 有使用该种血清的人中，有
?56.8%
的
500500
人患过感冒，使用过 血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用
过血清的 人的患感冒的可能性存在差异．
解：提出假设
H
0
：感冒与是否使用该种血 清没有关系．由列联表中的数据，求得
1000?(258?284?242?216)
2< br>?
??7.075

474?526?500?500
2
∵当
H
0
成立时，
?
2
?6.635
的概率约为
0.01
，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．
例2．为研究 不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结
果 如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？

口服
注射
合计
有效
58
64
122
无效
40
31
71
合计
98
95
193
分析：在口服的病人中，有
5864
?59%
的人有效；在 注射的病人中，有
?67%
的人有效．从直观上来看，口服
9895
与注射的 病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方

法加以说明．
解：提出假设
H
0
：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得
193?(58?31?40?64)
2
?
??1.3896?2.072< br>
122?71?98?95
2
当
H
0
成立时，?
2
?1.3896
的概率大于
15%
，这个概率比较大，所以 根据目前的调查数据，不能否定假设
H
0
，
即不能作出药的效果与给药方式有 关的结论．
说明：如果观测值
?
2
?2.706
，那么就认为没有 充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“
H
0
成立”，
即Ⅰ与 Ⅱ没有关系．
§3.1 独立性检验（2）
一．学生活动
练习：
（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数
据？ ．
（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

非统计专业 统计专业
专
性
男
别

女
业
13
7
10
20


为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
χ
2
50 ?(13?20?10?7)
2
??4.844
，∵χ
2
?3.84 1
，
23?27?20?30
所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ．（答案：5%）
附：临界值表（部分）：
P
（χ
2
?x
0
）
x
0


二．数学运用
1．例题：
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人， 男性54人。女性中有43人主要的休闲
方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有2 1人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方
式是运动。
（1）根据以上数据建立一个2× 2列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系。
解：（1）2× 2的列联表：
休闲方式
看电视 运动 总计
性别
女
男
总计
43
21
64
27
33
60
70
54
124

（2）假设“休闲方式与性别无关”
124?(43?33?27?21)
2
?6.201

χ
?
70?54?64?60
因为χ
2
?5.024
，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性
2

别有关”。
例2．气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种 中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表
所示．问它们的疗效有无差异（可靠性不低于99 %）？

复方江剪刀草
胆黄片
合计
有效
184
91
275
无效
61
9
70
合计
245
100
345
分析：由列联表中的数据可知，服用复方江剪刀草 的患者的有效率为
184
?75%
，服用胆黄片的患者的有效率为
24591
?91%
，可见，服用复方江剪刀草的患者与服用胆黄片的患者的有 效率存在较大 差异．下面用
?
2
进行独立
100
性检验，以确定能有多大把握作出 这一推断．
解：提出假设
H
0
：两种中草药的治疗效果没有差异，即病人使 用这两种药物中的何种药物对疗效没有明显差异．
由列联表中的数据，求得
345?(184?9?61?91)
2
?
??11.098
275?70?245?100
2
当
H
0
成立时，
?< br>2
?10.828
的概率约为
0.001
，而这里
?
2
?11.098?10.828

所以我们有
99.9%
的把握认为：两种药物的疗效有差异．

例 3．下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果，若要使结论的可靠性不低于95%，根据所调查的数 据，
能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结论？

男生
女生
合计
喝过酒
77
16
93
没喝过酒
404
122
526
合计
481
138
619





解：提出假设
H
0
：该周内中学生是否喝过酒与性别无关．
由列联表中的数据，求得
当
H
0
成立时，
?2
?
2
?1.6366
，
?3.841
的概率约为< br>0.05
，而这里
?
2
?1.6366?3.841
，
所以，不能推断出喝酒与性别有关的结论．
三．回顾小结：
1．独立性检验的思想方法及一般步骤．
四．课外作业：补充。


§3.2 回归分析(1)
教学目标
（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；
（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；
（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．
教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．
教学过程
一．问题情境
1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了
8
次， 得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．
时刻
x
s
位置观测值
y
cm
根据《数学
3
（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：
先作散点图，如下图所示：

3

5

8

6

7

1

2

4

5.54

7.52

10.02

11.73

15.69

16.12

16.98

21.06

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势 ，时间
x
与
位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性
回归方程 来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公
n
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?
b?
n
式，
?
x
i
2
?n(x)
2

?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
可以得到线性回归方为y?3.5361?2.1214x
，所以当
x?9
时，由线性回归方程可以估计 其位置值为
y?22.6287

2．问题：在时刻
x
二．学生活动
思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映
x
与
全确定，它们之间是统计相关关系，
三．建构数学
1．线性回归模型的定义：
我们 将用于估计
?9
时，质点的运动位置一定是
22.6287cm
吗？
y
之间的关系，
y
的值不能由
x
完
y
的实际值与 估计值之间存在着误差．
y
值的线性函数
a?bx
作为确定性函数；
，称之为随机误差；
y
的实际值与估计值之间的误差记为
?
将y?a?bx?
?
称为线性回归模型．
①所用的确定性函数不恰当引起的误差；
②忽略了某些因素的影响；
③存在观测误差．
说明：（1）产生随机误差的主要原因有：
（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：
①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；
②在模型合理的情况下，如何估计
a
，
b
？
2．探求线性回归系数的最佳估计值：
对于问题②，设有
n
对观测数据(x
i
,y
i
)
(i?1,2,3,,n)
，根据线性 回归模型，对于每一个
x
i
，对应的随机
n
误差项
?
i
?y
i
?(a?bx
i
)
，我们希望总误差越小越好， 即要使
?
?
i
2
i?1
越小越好．所以，只要求出使

Q(
?
,
?
)?
?
(y
i
?
?
x
i
?
?
)
2
取得最小值时的?
i?1
n
，
?
值作为
a
，
b
的估计值，记为
a
，
b
．
注：这里的
?
i就是拟合直线上的点
?
x
i
,a?bx
i
?
到 点
P
i
?
x
i
,y
i
?
的距离．
用什么方法求
a
，
b
？
回忆《数学3（必修）》“2．4 线性回归方程”P71“热茶问题”中求
a
，
b
的方法：最小二乘法．
利用最小二乘法可以得到
a
，
b
的计算公式为
n
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
?
(x
i
?x)< br>2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?
xy?nxy
ii
n
?
x
i?1
i?1
n
2
i
?n(x)
2
，
1
n
其中
x?
?
x
i
n
i?1
1
n
，
y ?
?
y
i

n
i?1
b
分别为
a
，此直线方程即为线性回归方程．其中
a
，
y?a?bx
就称为这< br>n
对数据的回归直线，由此得到的直线
b
的估计值，
a
称为回 归截距，
b
称为回归系数，
y
称为回归值．
在前面质点运动的线性回归方程
3． 线性回归方程
y?3.5361?2.1214 x
中，
a?3.5361
，
b?2.1214
．
y?a? bx
中
a
，
b
的意义是：以
a
为基数，
x
每增加1个单位，
y
相应地平均增加
b
个单位；
4． 化归思想（转化思想）
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专 业知识或散点图，对某些特殊的
非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程， 从而确定未知参数．下面列举出一些常见的
曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．
（1）
（2）
（3）
y?a?
b1
，令
y'?y
，
x'?
，则有
y'?a?bx'
．
x x
y?ax
b
，令
y'?lny
，
x'?lnx
，
a'?lna
，则有
y'?a'?bx'
．
y?ae
bx
，令
y'?lny
，
x'?x
，
a'?lna
，则 有
y'?a'?bx'
．
（4）
y?ae
b
x，令
y'?lny
，
x'?
1
，
a'?lna
，则有
y'?a'?bx'
．
x
（5）
y?a?blnx< br>，令
y'?y
，
x'?lnx
，则有
y'?a?bx'
．
四．数学运用
1．例题：
例1．下表给出了我国从
1949
年至
1999
年人口数据资料，试根据表中数据估计我国
2004
年的人口 数．

年份
人口数百万
1949

1954

1959

1964

1969

1974

1979

1984

1989

1994

1999

542

603

672

705

807

909

975

1035

1107

1177

1246

解：为了简化数据，先将年份减去
1949
，并将所得值 用
x
表示，对应人口数用
y
表示，得到下面的数据表：
x

y

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

542

603

672

705

807

909

975

1035

1107

1177

1246

作出
11
个点
?
x,y
?
构成的散点图，
y?a?bx?
?
来表示它们之间的关系． 由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型
根据公式（1）可得
?
?
b?14.453,

?
?
?
a?5 27.591.
这里的
a,b
分别为
a,b
的估
计值，因此线性回归方程
为
y?527.591?14.453x

（百万），即
2004
年
y?527.591?14.453x
可得
y?1322.506
由于
2004
年对应的
x?55
,代入线性 回归方程
的人口总数估计为13.23亿.
例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查 ，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本
x
（万元）与人均产
出
y（万元）的数据：
3

人均
资本
4

5.5

6.5

7

8

9

10.5

11.5

14

x
万元
人均
产出
4.12

4.67

8.68

11.01

13.04

14.43

17.50

25.46

26.66

45.20

，试根据表中数据估计
a
和
b
的值；
y
与
x
之间具有近似关系
y?ax
b
（
a,b
为常数）
y
万元
（1）设
（2）估计企业人均资本为
16
万元时的人均产出（精确到
0.01
）． < br>分析：根据
x
，
y
所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能 直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性
质可知，只要对
解（1）在
y?axb
的两边取对数，就能将其转化为线性关系．
，则
y?ax
b
的两边取常用对数，可得
lgy?lga?blgx
，设
lgy?z
，
lga?A
，
lgx?X
z?A?bX
．相关数据计算如图
3?2 ?7
所示．

1
2
A

人均资本
B

3
4.12
C

4
4.67
D

5.5
8.68
E

6.5
11.01
F

7
13.04
G

8
14.43
H

9
17.5
I

J

11.5
26.66
K

14
45.2
x
万元
人均产出
10.5
25.46
y
万元

3
4

X?lgx

0.47712
0.6149
0.60206
0.66932
0.74036
0.93852
0.81291
1.04179
0.8451
1.11528
0.90309
1.15927
0.95424
1.24304
1.02119
1.40586
1.0607
1.42586
1.14613
1.65514
z?lgy

?
?
A??0.2155,
仿照问题情境可得
A
，
b
的估计值
A
，
b
分别为
?
由
lga??0.2155
可得
a?0.6088
，即
a
，
b
?
?
b?1.5677,
的估 计值分别为
0.6088
和
1.5677
．
（2）由（1） 知
y?0.6088x
1.5677
．样本数据及回归曲线的图形如图
3?2 ?8
（见书本
P
102
页）
，故当企业人均资本为
16
万元时，人均产值约为
47.01
万
y?0.6088?16
1.5 677
?47.01
（万元）当
x?16
时，
元．
§3.2 回归分析(2)
一．问题情境
1．情境：下面是一组数据的散点图， 若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？









2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．
二．学生活动
对任 意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散 点基本
上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何 ，如何较为精确地
刻画线性相关关系呢？
这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题． 为了回答这个问题，我们需要对变量
x
与
行检验（简称相关性检验）．
三．建构数学
1．相关系数的计算公式：
对于
x
，
n
10
8
6
4
2
0
051015
系
10
8
6
4
2
0
051015
y
的线性相 关性进
y
随机取到的
n
对数据
(x
i
,y
i
)
(i?1,2,3,
n
iiii
,n)
，样本相关系数
r
的计算公式为
r?
?
(x?x)(y?y)
i?1?
(x?x)?
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1nn
?
2
?
xy?nxy
i?1
?(
?
x
i
2
?n(x)
2
)(
?
y
i
2
?n(y)
2
)
i?1i?1
nn
．
?
2
?

2．相关系数
r
的性质：
（1）
|r|?1
；

（2）
|r|
越接近与1，
x
，
（3）
|r|
越接近与0，
x
，
y
的线性相关程度越强；
y
的线性相关程度越弱．
可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．
3．对相关系数
r
进行显著性检验的步骤：
相关系数
r
的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数
r< br>进行显著性检
验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：
（1）提出统计假 设
H
0
：变量
x
，
y
不具有线性相关关系； （2）如果以
95%
的把握作出推断，那么可以根据
1?0.95?0.05与
n?2
（
n
是样本容量）在附录
2
（教材P111）
中查出一个
r
的临界值
r
0.05
（其中
1?0. 95?0.05
称为检验水平）；
（3）计算样本相关系数
r
；
（4）作出统计推断：若
|r|?r
0.05
，则否定
H
0
，表明有
95%
的把握认为变量
y
与
x
之间具有线性相关关 系；若
|r|?r
0.05
，则没有理由拒绝
H
0
，即就目 前数据而言，没有充分理由认为变量
y
与
x
之间具有线性相关关系．
说明：1．对相关系数
r
进行显著性检验，一般取检验水平
?
某种关系．
3．这里的
r
是对抽样数据而言的．有时即使
|r|?1
，两者也不 一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数
据，要结合实际情况进行合理解释．
4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验：
（1）作统计假设
H
0
：
x
与
?0.05
，即可靠程度为
95%
． 2．这里的
r
指的是线性相关系数，
r
的绝对值很小，只是说明线性相关 程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的
y
不具有线性相关关系；
?0.602
； （2）由检验水平
0.05
与
n?2?9
在附录
2
中查得
r
0.05
（3）根据公式
（4）因为?
2
?
得相关系数
r?0.998
；
r?0.998 ?0.602
，即
r?r
0.05
，所以有
95
﹪的把握认 为
x
与
y
之间具有线性相关关系,线性回归方
程为
y?52 7.591?14.453x
是有意义的．
四．数学运用
1．例题：
例 1．下表是随机抽取的
8
对母女的身高数据,试根据这些数据探讨
母亲身高
x cm

女儿身高
y
与
x
之间的关系．
161

162

163

154

157

158

159

160

ycm

155

156

159

162

161

164

165

166

解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，

因为
x?
8
?
154? 157??163
?
?8?159.25
，
y?
?
155? 156?
?163
2
?
?8?159.25
2
?59.5< br>，
?166
2
?
?8?161
2
?116
，
?166
?
?8?161
，
?
x
i?1
8
2
i
?8(x)
2
?
?
154
2
?
?8(y)
2
?
?
155
2
?
?y
i?1
8
2
i
?
xy?8xy
?
1 54?155?
ii
i?1
?163?166
?
?8?159.25 ?161?80
，
所以
r?
80
59.5?116
?0.963
，
?0.707
，因为
0.963?0.707
,所以可以认为
x
与< br>y
之间具由检验水平
0.05
及
n?2?6
，在附录
2
中查得
r
0.05
有较强的线性相关关系．线性回归模型
8
y?a?bx?
?
中
a,b
的估计值
a,b
分别为 b?
?
xy?8xy
ii
?
x
i?1
i?1< br>8
2
i
?8x
??
2
?1.345,

a?y?bx?5
，
?3.191

故
?
y
对
x
的线性回归方程为
y??53.191?1.345x
．
例 2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取
10
名学生，分析他们
入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

入学成绩
x

63

67

45

88

81

71

52

99

58

76

高一期末成绩
y

65

78

52

82

92

89

73

98

56

75

（1）计算入学成绩
x
与高一期末成绩
y
的相关系数；
（2）如果
x
与
y
之间具有线性相关关系，求线性回归方程；
（3）若某学生入学数学成绩为
80
分，试估计他高一期末数学考试成绩．
学生编号

解：(1)因为
x
10
?
1?
?
63?67?
10
?76
?
?70
，y?
10
1
?
?
65?78?
10
2
?75
?
?76
，
L
xy
?
?
(xi
?x)(y
i
?y)?1894
，
L
xx
?
?
(x
i
?x)?2474
，
i?1
10
i?1
L
yy
?
?
(y
i
?y)
2?2056
．
i?1
因此求得相关系数为
r?
?
(x ?x)(y?y)
ii
i?1
10
?
(x
i
?x)
2
i?1
10
?
(y
i
?y)
2
i?1
10
?
L
xy
L
xx
L
yy
?0.840
．
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；
小结解决这类问题的解题步骤：
（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近；
（2）求相关系数
r
；
（3）由检验水平和
n?2
的值在附录中查出临界值，判断
（4）计算
a
，
b
，写出线性回归方程．
y
与
x
是否具有较强的线性相关关系；