高中数学全等三角形-高中数学计算知识
第三章 3.1
【基础练习】
1．对两个变量y与x进行回归分
析，得到一组样本数据：(x
1
，y
1
)，(x
2
，y2
)，…，(x
n
，
y
n
)，则下列说法不正确的是(
)
A．若求得相关系数r＝－0.89，则y与x具备很强的线性相关关系且为负相关
B．
同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E
1
＝1.8，同学乙根据这组数
据得到的回归模型2的残差平方和E
2
＝2.4，则模型1的拟合效果更好
C．用相
关指数R
2
来刻画回归效果，模型1的相关指数R
2
1
＝0.48，
模型2的相关指数
2
＝0.91，则模型1的拟合效果更好
R
2
D．该回归分析只对被调查样本的总体适用
【答案】C
2．设有一个线性回归方程y＝2－3.5x，则变量x增加1个单位时( )
A．y平均增加3.5个单位
C．y平均减少3.5个单位
【答案】C
3．在对两个变量y与x进行回归分析时，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数
R
2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1，相关指数R
2
为0.98
C．模型3，相关指数R
2
为0.50
【答案】A
4．设某大学
的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
^
样本数据
(x
i
，y
i
)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y
＝0.85x－85.71，则下列
结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(x，y)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
【答案】D
^
5．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程为y＝bx＋a必过点
________.
x 0 1 3 4
B．模型2，相关指数R
2
为0.80
D．模型4，相关指数R
2
为0.25
B．y平均增加2个单位
D．y平均减少2个单位
^
y
【答案】(2,4)
1 3 5 7
^
6．某次测量发现一组数据(x
i
，y
i
)具有较强的相关性，并计算得y＝x＋1，其中数据(1，
y
0
)因书写
不清，只记得y
0
是[0,3]上任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的
概率为________．(残差＝真实值－预测值)
2
【答案】
3
【解析】由题意，其预测值为1＋1＝2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，
3－1
1≤
y
0
≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率p＝
3
2
＝.
3
7．(2017年烟台期中)下表提供了某厂节能降耗技术改
造后生产甲产品过程中记录的产
量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
x
y
3
2.5
4
3
5
4
6
4.5
(1)请根据上表提供的数据求出y关于x的线性回归方程；
(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性
回归方
程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤．
?
x
i
y
i
－nx y
^
参考公式：b＝
i
＝
1
n
n
^^
，a＝y－bx.
2<
br>?
x
2
i
－nx
i
＝
1
1
【解析】(1)x＝×(3＋4＋5＋6)＝4.5，
4
－
1
y＝×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，
4
?
x
i
y
i
＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5
，
i
＝
1
4
4
2222
?
x
2
i
＝3＋4＋5＋6＝86，
i
＝
1
^
66.5
－4×4.5×3.566.5－63
b＝＝＝0.7，
86－4×4.5
2
86－81
^－^
a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
所以所求的回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(2)x＝100时，y＝100×0.7＋0.35＝70.35，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
8．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
成绩y
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图；
(4)计算相关指数R
2
.
【解析】(1)作出该运动员训练次数(x)与
成绩(y)之间的散点图如图所示，由散点图可知，
它们之间具有线性相关关系．
30
30
33
34
35
37
37
39
39
42
44
46
46
48
50
51
(2)x＝39.25，y＝40.875，
?
x
2
i
＝12 656，
i
＝
1
8
2
y
i
＝13
731，x
i
y
i
＝13 180，
i
＝
1i
＝
1
8
8
??
?
x
i
y<
br>i
－8x
y
∴b＝
^
i
＝
1
8
8
≈1.041
5.
2
?
x
2
i
－8x
i
＝
1
^^
∴a＝y－bx≈－0.003 02.
∴回归方程为y＝1.041
5x－0.003 02.
(3)作残差图如图所示，
^
由图，可知残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算得相关指数R
2
＝0.985
5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数
引起的．
【能力提升】
9.(2019年天津期末)某研究机构在对具有线性相关的两个变量x,y进
行统计分析时，得到如
下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为
^
y=0.7x
+a，则在这些样本点中任取一点，该
点落在回归直线下方的概率为( )
x
y
1
A.
4
【答案】B
__
【解
析】由题意得x=6,y=3，所以3=0.7×6+a，解得a=-1.2,则
^
y=0.7
x-1.2.四个样本点中，(3,1)，
21
(7,4)落在直线的下方，故所求概率为4
=
2
.故选B.
10．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
y
1
0
2
2
3
1
4
3
5
3
6
4
3
1
1
B.
2
5
2
7
4
3
C.
4
9
5
D.0
^^^假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a，若某同学根据上表中的前两组数
据(1,
0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
^^
A.b>b′，a>a′
^^
C.b
【答案】C
－
13
【解析】计算得x＝3.5，y＝，画出散点图，并根
据各个点和回归中心画出回归直
6
^^
线的大致图形如图所示，由图易知b
^^
B.b>b′，a
D.b
11．(2018年珠海阶段性测试)从某
居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收
入x
i
(单位：千元)与月储蓄y
i
(单位：千元)的数据资料，计算得
?
x
i
＝80，?
y
i
＝20，
?
x
i
y
i
i
＝
1
10
i
＝
1i
＝
1
101
010
^^^
＝184，
?
x
2
i
＝720.已知
家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为y＝bx＋a，则变量y
i
＝
1
与x________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为8千元，预
测该家
庭的月储蓄是________千元．
【答案】正相关 2
1
1
0
－
1
10
^
184－10×8×2
^
【解析】由
题意知x＝
?
x
i
＝8，y＝
?
y
i
＝2
，∴b＝＝0.3，a＝2－
10
i
＝
1
10
i
＝
1
720－10×8
2
^^
0.3×8＝－0.4，∴y＝0.3x
－0.4.∵0.3>0，∴变量y与x正相关．当x＝8时，y＝0.3×8－0.4
＝2(千元)．
12．(2016年唐山二模)二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数
x
(0＜x≤10)与销售价格y(单位：万元辆)进行整理，得到如表的对应数据：
使用年数
售 价
2
16
4
13
6
9.5
8
7
10
4.5
(1)试求y关于x的回归直线方程； <
br>(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x
2
－1.75x＋17.2万元
，根据(1)中所求的回
归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大． <
br>11
【解析】(1)由表中数据得，x＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝×(16＋13
＋9.5＋7
55
＋4.5)＝10，
^
2×16＋4×13＋6×9.5
＋8×7＋10×4.5－5×6×10
所以b＝＝－1.45，
2
2
＋4
2
＋6
2
＋8
2
＋10
2
－5×6
2
^
a＝10－(－1.45)×6＝18.7.
所以y关于x的回归直线方程为y＝－1.45x＋18.7.
(2)z＝y－w＝(－1.
45x＋18.7)－(0.05x
2
－1.75x＋17.2)＝－0.05x
2<
br>＋0.3x＋1.5，
0.3
当x＝－＝3时，二次函数z取得最大值，
2×?－0.05?
即预测x＝3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．
由Ruize收集整理。
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