2019_2020版高中数学习题课——双曲线的综合问题及应用练习(含解析)新人教A版选修2_1

习题课——双曲线的综合问题及应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1
.
设
P
是双曲线


=
1(< br>a>
0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3
x-
2
y=
0 ,
F
1
,
F
2
分别是双曲线的左、






右焦点,若
|PF
1
|=
3,则
|PF
2
|
等于(

)
A.1或5


B.7


C.8 D.9

解析因为双曲线


=
1的渐近线方程为
y=±x
,而已知一条渐近线方程为3
x-
2
y=
0,所以
a=
2< br>.
根据



双曲线的定义得
||PF
1< br>|-|PF
2
||=
4
.
又
|PF
1
|=
3,从而解得
|PF
2
|=
7或
|PF
2< br>|=-
1(舍去)
.

答案B
2
.
过双曲 线
x-y=
1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于
(

)
A.


22
B.



C.1 D.


解析因为双曲线的两个顶点到两条 渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条
渐近线为
y=x
,所以点(1,0)到直线
y=x
的距离为,所以围成矩形的面积是
答案A
3
.
设
F
1
,
F
2
是双曲线
C< br>:



=
1(
b>
0)的两个焦点,< br>P
是双曲线
C
上一点,若∠
F
1
PF
2=
0°,且△
PF
1
F
2
的

面积为9,则
C
的离心率等于(

)
A.

















.



B.



C.2 D.




-


,







2

解得解析由已知得


b=
9,于是离心率
e=

.







,








,




答案B
4
.
已知双曲线



=
1(
a>
0,
b>
0),过原点作一条倾斜角为

的直线分别交双曲线左、右两支于
P
,
Q
两

点,以线段
PQ
为直径的圆过右焦点
F
,则双曲线离心率为
A.


+
1 B.


+
1 C.2 D.


解析设
P
(
x
1
,< br>y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),依题意,直线
PQ
的方程为
y=


x
,代入双曲线方程并化简,得
(

)





x
2
=






-

,
y=
3
x=

22






-

,故
x
1
+x
2
=
0,
x
1

x
2
=

-





-

,
y
1

y
2
=
3
x
1

x
2
=

-





-


,设焦点坐标为
F
(
c
,0),由于以线段
PQ
242244
为直径的圆经过点
F
,故


=
0,即(
x
1
-c
,
y
1
) (
x
2
-c
,
y
2
)
=
0,即4
x
1
x
2
+c=
0,即
b-
6
ab-3
a=
0,两边除以
a
,
得


-
6


-
3
=
0,解得


=
3
+
2


.
故
c=











+
1,故选B.

答案B
5
.
双曲线


=
1的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
P
为双曲线右支上一点,
I
是△
PF
1
F
2的内心,且



-
△

△


λ

,则λ
=
(

)
△




A.
-







B.
-



C.


D.


解析如图,设△
P F
1
F
2
内切圆的半径为
r.


由



-
λ

,得
|PF
2
|

r=

|PF
1
|

r-
λ
|F
1
F
2
|

r
,
△

△

△







整理得
|PF
1
|-|PF
2
|=
λ
|F
1
F
2
|.

因为
P
为双曲线右支上一点,
所以
|PF
1
|- |PF
2
|=
2
a=
8,
|F
1
F
2
|=
10,
所以λ
=
0


.
故选D.
答案D
6
.
已知双曲线的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,过
F
1
的直线与左 支交于
A
,
B
两点,若
|AB|=
5且实轴长为8,
则△
ABF
2
的周长为
.

解析依题意|AF
2
|-|AF
1
|=
2
a=
8,
|BF
2
|-|BF
1
|=
2
a=
8,所以|AF
2
|-|AF
1
|+|BF
2
|-|BF
1
|=
16,即
|AF
2
|+|BF
2
|-
|AB|=
16,于是
|AF
2
|+|BF
2|=
21,故△
ABF
2
的周长为21
+
5
=
26
.

答案26
7
.
设双曲线
E
:



=1(
a>
0,
b>
0)的离心率为2,则
E
的渐近线方 程为
.



解析
∵e=










=
2,


∴b
2
=
3
a
2
,
∴
双曲线的方程为



=
1
.




由



=
1,得
y=±


x
,即


x±y=
0,











∴
双曲线的渐近线方程为


x±y=
0
.

答案


x±y=
0
8
.
直线
y=x+
1与双曲线



=
1相交于
A
,
B
两点,则
|AB|=




.

解析设
A
(< br>x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),联立方程得



2



,




-
,
得
x-
4
x-
8
=
0, 则
x
1
+x
2
=
4,
x
1

x
2
=-
8,

所以
|AB|=










-





=
4


.

答案4


9
.
已知动圆
M
与圆
C
1
:(
x+
4)
+y=
2外切, 与圆
C
2
:(
x-
4)
+y=
2内切,求动圆圆心
M
的轨迹方程
.

2222

解设动圆
M
的半径为
r
,则由已知
|MC
1
|=r+

,
|MC
2
|=r-

(如图所示)
.

所以
|MC
1
|-|MC
2
|=
2


.

又
C
1
(
-
4,0),< br>C
2
(4,0),所以
|C
1
C
2
|=8
.

因为2


<|C
1
C
2
|
,所以根据双曲线的定义,知点
M
的轨迹是以
C
1< br>(
-
4,0),
C
2
(4,0)为焦点的双曲线
的右 支
.

因为
a=

,
c=
4,所以
b=c-a=
14
.

故点
M
的轨迹方程为



=
1(
x
≥

)
.

10.
已知中心在原点的双曲线
C
的右焦点为
F
(2,0),直线3
x-
2
y=
0与双曲线
C
的一个交点的横坐标
为2
.

(1)求双曲线
C
的标准方程;
(2)过点(0,1),倾斜角为 °的直线
l
与双曲线
C
相交 于
A
、
B
两点,
O
为坐标原点,求△
OAB
的面
积
.

解(1)设双曲线
C
的标准方程是



=
1(
a>
0,
b>
0),

由题可知,点(2,3)在双曲线
C
上,
解得

,
从而有


-

,





所以双曲线
C
的标准方程为
x-=
1
.


2
222












,




(2)由已知得直线
l
的方程为
y=-x+
1,即
x+y-
1
=
0,
所以原点
O
到直线
l
的距离
d=

0 0-








.


联立

-

,


消去
y
,可得
x+x-
2
=
0
.


-

,
2

设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),则
x
1
+x
2
=-
1,
x
1

x
2
=-
2
.



所以
|AB|=












-








- - -
=
3

,




所以△
OAB
的面积
S=×|AB|×d=×
3





.



能力提升
1
.
已知双曲线


=
1(
b>
0)的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,其一条渐近线方程为
y=x
,点
P
(

,
y
0
)在该双






曲线上,则





等于(

)
A.
-
12
C.0
2
B.
-
2
D.4

解析由题意得
b =
2,所以
F
1
(
-
2,0),
F
2(2,0)
.


又点
P
(

,
y
0
)在双曲线上,则






=
(
-
2
-

,
-y
0
) (2
-

,
-y
0
)
=-
1
+
0
=
1,所以

0
=
0
.

答案C
2
.
如图,双曲线
x-

=
1的 左、右焦点分别是
F
1
,
F
2
,
P
是双曲 线右支上一点,
PF
1
与圆
x+y=
1相切于点
2


22
T
,
M
是
PF
1
的中点, 则
|MO|-|MT|=
(

)

A.1
C.



B.2
D.




解析因为
M
是
PF
1
的中点,
O
是
F
1
F
2
的中点,所以
|MO|=











;又
|OF
1
|=c
,
|OT|=a
,所以有





|F
1
T|=




-
=b=
2,所以
|MT|=

-|F
1
T|=

-
2,所以
|MO|-|MT|=






+
2
=-



-




+
2,由双曲线的
定义,知
|P F
1
|-|PF
2
|=
2,所以
|MO|-|MT|=-< br>答案A



-




+
2
=
1
.
故选A.
3
.
已知双曲线
C
:



=< br>1(
a>
0,
b>
0)的离心率为2,
A
,
B
为左右顶点,点
P
为双曲线
C
在第一象限的任

意一点,点
O
为坐标原点,若
PA
,
PB
,
PO
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,
k
3
,设
m=k
1
k
2
k
3
,则
m< br>的取值范围为(

)
A.(0,3

) B.(0,

) C.

0,


D.(0,8)

解 析因为
e==
2,
a+b=c
,所以
b=


a.

设
P
(
x
,
y
),则



=
1,



k
1
k
2
=


=
3
.





-



-








222
又双曲线渐近线为
y=±


x
,所以0
3
<

,故0
3


.

答案A
4
.
若
P
是双曲线

=
1的右支上一点,
M
,
N
分别是圆(
x+
5)
+y=
4和(
x-
5)
+y=
1上的点,则
|PM|-





2222
|PN|
的最大值为(

)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析两圆圆心分别为双曲线的左右焦点
F
1
(
-
5,0),
F
2
(5,0)
.
要使
|PM|-|PN|
取到最大,应使
|PM|
取到
最大 ,
|PN|
取到最小,这时
|PM|-|PN|=
(
|PF
1
|+
2)
-
(
|PF
2
|-
1)
=|PF
1
|-|PF
2
|+
3
=
6
+
3
=
9
.

答案D
5
.
已知双曲线
C
:



=< br>1(
a>
0,
b>
0)的左、右焦点分别为
F
1,
F
2
,点
P
为双曲线
C
右支上一点,直线< br>PF
1

与圆
x+y=a
相切,且∠
F
1
PF
2
=
∠
PF
1
F
2
,则双曲 线
C
的离心率为(

)
A.

00


222




B.


C.


D.2
解析如图,

设直线
PF
1
与圆
x+y=a
相切于点
M
,则
|OM| =a
,
OM
⊥
PF
1
,取
PF
1
的中点
N
,连接
NF
2
,
由∠
F
1PF
2
=
∠
PF
1
F
2
,可得
|PF
2
|=|F
1
F
2
|=
2
c,则
NF
2
⊥
PF
1
,
|NP|=|NF1
|
,

由
|NF
2
|=
2|OM|=
2
a
,则
|NP|=




-







-


=
2
b
,即有
|PF
1< br>|=
4
b
,

222
由双曲线的定义可得
|PF
1
|-|PF
2
|=
2
a
,即:4
b-
2
c=
2
a
,2
b=c+a
,
可 得4
b=
(
c+a
),即4(
c-a
)
=
(
c+a
),解得



,即
e=

,故选C.
答案C
6
.
已知点
A
(
-

,0)和
B
(

,0),动点
C
到
A
、
B
两点的距离之差的绝对值为2
.

(1)求点
C
的轨迹方程;
(2)点
C
的轨迹与经过点( 2,0)且斜率为1的直线交于
D
、
E
两点,求线段
DE
的 长
.

解(1)
∵
点
A
(
-

,0)和
B
(

,0),
22222

动点
C
到
A
、
B
两点 的距离之差的绝对值为2
.

|AB|=
2


>
2,
∴
点
C
的轨迹方程是以
A
(
-

,0)和
B
(

,0)为焦点的双曲线,
且
a=
1,
c=

,
∴
点
C
的轨迹方程是
x
2
-

=
1
.

(2)
∵
点
C
的轨迹方 程是2
x-y=
2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为
y=x-
2< br>.




-


,
2
∴
联立 得
x+
4
x-
6
=
0,



- ,
设
D
(
x
1
,
y
1
),
E
(
x
2
,
y
2
),则
x
1
+x
2
=-
4,
x
1
x
2=-
6,
22


∴|DE|=

- - -
=
4


.

故线段
DE
的长为4


.

7
.
(选做题)已知双曲线
C
1
:
x-=
1
.


2



(1)求与双曲线
C
1< br>有相同的焦点,且过点
P
(4,

)的双曲线
C
2
的标准方程
.

(2)直线
l:
y=x+m
分别交双曲线
C
1
的两条渐近线于
A,
B
两点
.
当


=
3时,求实数
m
的值
.

解(1)双曲线
C
1
的焦点坐标为(

,0),(
-

,0),
设双曲线
C
2
的标准方程为



=
1(
a>
0,
b>
0),

解得

,
则


-

,

,











,


∴
双曲线
C
2
的标准方程为

-y
2
=
1
.

(2)双曲线
C
1
的渐近线方程为
y=
2
x
,
y=-
2
x .

设
A
(
x
1
,2
x
1
),
B
(
x
2
,
-
2
x
2)
.

由





,
可得
x=m
,
y=
2
m
,





,
∴
点
A
的坐标为(< br>m
,2
m
)
.

-

,
可得
x=-m
,
y=m.
由







,

∴
点
B
的坐标为
-

m
,

m
,
∴



=-

m
2
+

m
2
=m
2
.

∵



=
3,
∴m
2
=
3,即
m=±


.