2017_2018学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版选修4_5

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第一讲 不等式和绝对值不等式

（时间90分钟，满分120分）
(本大题共10小题， 每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．“|
x
|≤2”是“|
x
＋1|＜1”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B |
x
＋1|＜1?－1＜
x
＋1＜1?－2＜
x
＜0?|
x
|＜2?|
x
| ≤2.反之不成立，
故选B.
2．设
a
，
b
∈R，若a
－|
b
|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．
b
－
a
＞0
C．
b
＋
a
＞0
B．
a
＋
b
＜0
D．
a
－
b
＜0
22
22
解析：选C 由
a
－|
b
|＞0知
a
＞|
b
|≥－b
，于是
a
＋
b
＞0，故选C.
11
3．若<<0，则下列结论不正确的是( )
ab
2
A．
a
<
b

C.＋>2
2
B．
ab
<
b

D．|
a
|－ |
b
|＝|
a
－
b
|
2
ba
ab
解析：选D 法一(特殊值法)：令
a
＝－1，
b
＝－2，代入A、B、C、D，知D不正确．
11
22
法二：由 <<0，得
b
<
a
<0，所以
b
>
ab
，
ab
>
a
，故A、B正确．
ab
a
b
又由>1，>0，且≠，
即＋>2正确．
从而 A、B、C均正确，对于D，由
b
<
a
<0?|
a
|<|< br>b
|.
即|
a
|－|
b
|<0，而|
a< br>－
b
|≥0，故D错．

1
b
a
ba< br>ab
ba
ab

4．设
x
，
y
∈R
＋
，且满足
x
＋4
y
＝40，则lg
x
＋lg
y
的最大值是( )
A．40 B．10 C．4 D．2
解析：选D 因为
x
，
y
∈R
＋
，
∴4
xy
≤
x
＋4
y
2
.
∴
xy
≤
x
＋4
y
4
＝10.
∴
xy
≤100.∴lg
x
＋lg
y
＝lg
xy
≤lg 100＝2.
5．若
a
＞
b
＞c
，且
a
＋
b
＋
c
＝0，则( )
A．
ab
＞
bc
B．
ac
＞
bc

C．
ab
＞
ac
D．
a
|
b
|＞
c
|
b
|
解析：选C ∵
a
＋
b
＋
c
＝0，
a＞
b
＞
c
.
∴
a
＞0，又
b
>
c
，
∴
ab
>
ac
.
6．函数
y
＝
x
2
＋
3
x
(
x
＞0)的最小值是( )
A.
3
3
2
18 B.
3
3
2
3
2
C.18 D.
3
18
解析：选A
y
＝
x
2
＋< br>3
33
93
3
x
＝
x
2
＋
3
2
x
＋
3
2
x
≥3
x
2
×
9
4
x
2
＝3
4
＝
2
18，
当
x
2
＝
31
2
x
，即
x
＝
3
2
12时，取等号．
7．已知
x
>1，
y
>1，且lg
x
＋lg
y
＝4，则lg
x
lg
y
的最大值是( )
A．4 B．2 C．1 D.
1
4

解析：选A 由
x
>1，
y
>1，故lg
x
>0，lg
y
>0.
∴4＝lg
x
＋lg
y
≥2lg
x
lg
y
.
∴lg
x
lg
y
≤4，当且仅当
x
＝
y
时取等号．
8．若不等 式|
ax
＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数
a
等于( )
A．8 B．2 C．－4 D．－8
解析：选C 由|
a x
＋2|＜6?－8＜
ax
＜4.当
a
＞0时，－
84a
＜
x
＜
a
.
∵解集是(－1,2)，
2

?
?
－
8
?
a
＝－1，
∴
?
?
4
a
＝2，


解得?
?
?
a
＝8，
?
?
a
＝2，

两值矛盾；
当
a
＜0时，
4
＜
x
＜ －
8
aa
.
?
?
4
a
＝－1，
由
?
＝－4.
?
?
－
8
a
＝2

?
a
9．不等式|
x
＋log
3
x
|<|
x
|＋|lo g
3
x
|的解集为( )
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,1)
解析：选D 在|
a
＋
b< br>|≤|
a
|＋|
b
|中，当
ab
＞0或至少有一者为 零时取等号，
∴当|
a
＋
b
|＜|
a
|＋|
b
|时，
ab
＜0，
∴
x
·log
3
x
＜0，
∵
x
＞0，
∴log
3
x
＜0，
故0＜
x
＜1.
10．若0＜
x
＜
1
2
，则
x
2
(1－2
x
)有( )
A．最小值
1
27
B．最大值
1
27

C．最小值
1
3
D．最大值
1
3

解析：选B ∵0＜
x
＜
1
2
，∴1－2
x
＞0，
x
2
(1－2
x
)＝
x
·
x
·(1－2x
)≤
?
?
x
＋
x
＋－2
x
?
3
?
?
3
?

＝
?
?
1
?
3
?
?
3
1
?
＝
27
，
当且仅当
x
＝1－2
x
，即
x
＝
1
3
时，上式取等号，
∴当
x
＝
1
3
时，
x
2
(1－2
x
)有最大值
1
27
.
3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11．若
c
＞1，且
a
＝
c
＋1－
c，
b
＝
c
－
c
－1，则
a
与
b
的大小关系是________．
解析：
a
＝
c
＋1－
c
＝
1
c
＋1＋
c
，
b
＝
c
－
c
－1＝
1
c
＋
c
－1
.
∵
c
＋1＋
c
＞
c
＋
c
－1＞0 ，
∴
a
＜
b
.
答案：
a
＜
b

12．若存在实数
x
使|
x
－
a
|＋|
x
－1|≤3成立，则实数
a
的取值范围是________．
解析：∵|
x
－
a
|＋|x
－1|≥|(
x
－
a
)－(
x
－1)|＝|
a
－1|，
要使|
x
－
a
|＋|
x－1|≤3有解，可使|
a
－1|≤3，
∴－3≤
a
－1≤3，∴－2≤
a
≤4.
答案：
13．若
a
＞0，
b
＞0，
a
＋
b
＝2 ，则下列不等式对一切满足条件的
a
，
b
恒成立的是
_______ _(写出所有正确命题的编号)．
11
2233
①
ab
≤1；②< br>a
＋
b
≤2；③
a
＋
b
≥2；④
a
＋
b
≥3；⑤＋≥2.
ab
解析：两个正数，和定，积有最大值， 即
ab
≤
2
a
＋
b
4
2
＝1，当 且仅当
a
＝
b
时取等号，
故①正确；(
a
＋
b
)＝
a
＋
b
＋2
ab
＝2＋2
ab< br>≤4，当且仅当
a
＝
b
时取等号，得
a
＋
b
≤2，故②错误；由于
a
2
＋
b
2
2
≥< br>a
＋
b
4
2
＝1，故
a
＋
b
≥2成立，故③正确；
a
＋
b
＝(
a
＋
223 3
b
)(
a
2
＋
b
2
－
ab)＝2(
a
2
＋
b
2
－
ab
)，∵< br>ab
≤1，
∴－
ab
≥－1，
又
a
＋< br>b
≥2，∴
a
＋
b
－
ab
≥1，
1111
a
＋
bab
33
∴
a
＋
b
≥2，故④错误；＋＝(＋)＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当
a
＝
b
时< br>abab
22
b
2
a
取等号，故⑤成立．
答案：①③⑤
|
x
－1|
14．已知函数
y
＝的 图象与函数
y
＝
kx
－2的图象恰有两个交点，则实数
k
的 取
x
－1
值范围是________．
?
x
＋1，
x
≤－1或
x
>1，
|
x
－1|
?
解析 ：因为函数
y
＝＝
?
x
－1
?
－
x
－1，－1<
x
<1，
?
2
2
2222

所以函数
y
＝
kx
－2的图象恒过
点(0，－2)，根据图象易知 ，两个函数图象有两个交点时，0<
k
<1或1<
k
<4.

4

答案：(0,1)∪(1,4)
三、解答题(本大题 共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
31
*
15．(本小题满分12分)设不等式|
x
－2|<
a
(
a
∈N)的解集为
A
，且∈
A
，?
A
.
22
(1)求
a
的值；
(2)求函数
f
(
x
)＝|
x
＋
a
|＋|
x
－2|的最小值．
31
解：(1)因为∈
A
，且?
A
，
22
3113
所以－2<
a
，且－2≥
a
，解得<
a
≤.
2222
又因为
a
∈N，所以
a
＝1.
( 2)因为|
x
＋1|＋|
x
－2|≥|(
x
＋1)－(x
－2)|＝3，
当且仅当(
x
＋1)(
x
－2)≤ 0，即－1≤
x
≤2时取等号，所以
f
(
x
)的最小值为3 .
16．(本小题满分12分)设
f
(
x
)＝|
x
－1|＋|
x
＋1|.
(1)求
f
(
x
)≤
x
＋2的解集；
|
a
＋1|－|2
a
－1|
(2)若不等式
f
(x
)≥对任意实数
a
≠0 恒成立，求
x
的取值范围．
|
a
|
解：(1)由
f
(
x
)≤
x＋2得，
*
x
＋2≥0，
?
?
?
x
≤－1，
?
?
1－
x
－
x
－1≤
x
＋2
x
＋2≥0，
?
?
或
?
x
≥1，< br>?
?
x
－1＋
x
＋1≤
x
＋2，


x
＋2≥0，
?
?
或
?
－1<
x
<1，
?
?
1－
x
＋
x
＋1≤
x
＋2


解得0≤
x
≤2，
∴
f(
x
)≤
x
＋2的解集为{
x
|0≤
x
≤2}．
|
a
＋1|－|2
a
－1|1111
(2)∵ ＝1＋－2－≤1＋＋2－＝3，
|
a
|
aaaa
11
当 且仅当1＋2－≤0时，上式取等号．
aa
|
a
＋1|－|2
a< br>－1|
由不等式
f
(
x
)≥对任意实数
a
≠ 0恒成立，可得|
x
－1|＋|
x
＋1|≥3，
|
a
|

5

3
??
3
33
??解此不等式，得
x
≤－或
x
≥，即
x
的取值范围为?
－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
.
2< br>??
2
22
??
17．(本小题满分12分)设函数
f
(
x
)＝|2
x
－4|＋1.
(1)画出函数
y
＝
f
(
x
)的图象；
(2)若不等式
f
(
x
)≤
ax
的解集非空，求
a
的取值范围．

?
?
－2
x
＋5，
x< br>＜2，
解：(1)由于
f
(
x
)＝
?
?2
x
－3，
x
≥2，
?


则函数
y
＝
f
(
x
)的图象如图所示．

1
(2)由函数
y
＝
f
(
x
)与函数y
＝
ax
的图象可知，当且仅当
a
≥或
a
＜－ 2时，函数
y
＝
f
(
x
)
2
与函数
y
＝
ax
的图象有交点．故不等式
f
(
x
)≤< br>ax
的解集非空时，
a
的取值范围为(－∞，－
?
1
?
2)∪
?
，＋∞
?
.
?
2
?
18．(本小题满分14分)设函数
f
(
x
)＝|
x
－1| ＋|
x
－2|.
(1)画出函数
y
＝
f
(
x
)的图象；
(2)若不等式|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
| ≥|
a
|
f
(
x
)，(
a
≠0，
a
，
b
∈R)恒成立，求实数
x
的取值范
围．
2
x
－3，
x
≥2，
?
?
解：(1)< br>f
(
x
)＝
?
1， 1<
x
<2，
?
?
3－2
x
，
x
≤1.

图象如图所示．
|
a
＋
b< br>|＋|
a
－
b
|
(2)由|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
|≥|
a
|
f
(< br>x
)得≥
f
(
x
)．又因为
|
a
|
|
a
＋
b
|＋|
a
－
b
||a
＋
b
＋
a
－
b
|
≥＝2.
|
a
||
a
|
所以有2≥
f
(
x
)，即有|
x
－1|＋|
x
－2|≤2.

6

11
①若
x
≤1，则－
x
＋1－
x
＋2≤2，
x
≥，故≤
x
≤1；
22
②若1<
x
≤2，则
x
－1－
x
＋2≤2，恒成立，故1<
x
≤2；
55
③若
x
>2，则
x
－1＋
x
－2≤2，
x
≤，故2<
x
≤.
22
15
综上可知，
x
的取值范围为，.
22


7